四章线系统的根轨迹分析

4-1 4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4-2 4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹4-4 4-4 迟后系统的根轨迹迟后系统的根轨迹4-5 4-5 利用根轨迹分析系统的性能利用根轨迹分析系统的性能)8(ssK例：已知单位反馈系统开环传递函例：已知单位反馈系统开环传递函 数，求数，求K K1 1从从00变化时，系统闭变化时，系统闭环根轨迹环根轨迹当当K1K1从从0 0到无穷变化时，两根在根平面上的轨迹是两条连到无穷变化时，两根在根平面上的轨迹是两条连 续曲线续曲线 -系统闭环根轨迹系统闭环根轨迹解：系统闭环特征方程为：解：系统闭环特征方程为：D(sD(s)=S)=S2 2+8S+K+8S+K1 1=0=0 特征根为：特征根为：S S1 1,S,S2 2=-4=-4 1K16 根 K1 0 0 16 16 16 S1=-4+1K16 0 0-4 -4-4+-4+j S2=-4-1K16 -8-8-4 -4-4-4-j 16K1j16K1j重根共轭复根两根对称根轨迹如下：根轨迹如下：实根-1616，根轨迹进入复平面。，根轨迹进入复平面。即：此时系统阶跃响应会振即：此时系统阶跃响应会振荡（荡（dd不为零）不为零）；K K1 1越大越大振荡越厉害（振荡越厉害（小）、振荡小）、振荡频率越高（频率越高（dd大）大）3 3、K K1 1=16 =16 时系统阶跃响应临时系统阶跃响应临界振荡界振荡根轨迹提供的信息：根轨迹提供的信息：根轨迹可以提供有关根轨迹可以提供有关系统性能的信息系统性能的信息0)()(1SHsG1Pi)(S)Z(SK）（n1im1jj1SHSG)(一、一、绘制根轨迹的基本条件绘制根轨迹的基本条件系统闭环特征方程为：系统闭环特征方程为：)(sG)(sH)(sC)(sR)()(1)()(sHsGsGsGB)()(1sHsGSD）（1Pi)S()ZS(K）（n1ipim1jjzjSHSG)(系统闭环特征方程的根为：系统闭环特征方程的根为：1)()(SHsG2,1,0),12180)()(0qqSHsG（1)()(SHsG1n1i-m1jK1|PiS|ZjS|180*1)(2qPi)(S)Z(Sn1ijm1j幅值条件幅角条件1k1dcba幅角应满足：180)12(4321q左例：幅值应满足：绘制根轨迹的两个基本条件绘制根轨迹的两个基本条件 :幅值条件和幅角条件幅值条件和幅角条件z2z1P1P2abcdjSa由于由于S S是复数，所以是复数，所以D(sD(s)也也是复数；上式两边的幅值是复数；上式两边的幅值和幅角应分别相等；从而，和幅角应分别相等；从而，得到绘制根轨迹的两个基得到绘制根轨迹的两个基本条件：本条件：幅值条件幅值条件和和幅角幅角条件条件规则二规则二 根轨迹起始于开环极点，终止在开环零点根轨迹起始于开环极点，终止在开环零点规则一规则一 根轨迹连续且对称于实轴根轨迹连续且对称于实轴因为因为K K1 1连续变化；系数为实数，有复根必共轭连续变化；系数为实数，有复根必共轭1n1im1jjKPi)(S)Z(S1根据绘制根轨迹的两个基本条件，根据绘制根轨迹的两个基本条件，演绎出八条绘制根轨迹的基本规则；演绎出八条绘制根轨迹的基本规则；根据这些规则绘制根轨迹不必计算根据这些规则绘制根轨迹不必计算 特征根而只要做简单的计算和判断特征根而只要做简单的计算和判断。以以 K K1 1 为参变量的根轨迹：为参变量的根轨迹：是是K K1 1 从从0(0(起点起点)到到(终点终点)变化时变化时系统闭环极点在根平面上的轨迹系统闭环极点在根平面上的轨迹起点和终点确定方法如下页：起点和终点确定方法如下页：二、二、绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则根根根 轨轨轨 迹迹迹 法法法K1从0变化，根轨迹起点在K1=0处根轨迹终点在K1=处0n1iPi)(S根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点 P Pi i0m1jj)Z(S根轨迹终止在开环零点根轨迹终止在开环零点 Z Zj j1 1n n1 1i im m1 1j jj jK K1 1P Pi i)(S S)Z Z(S S根根根 轨轨轨 迹迹迹 法法法不妨假设极点不妨假设极点p p1 1,p,p2 2,p,pm m;分别终止在分别终止在z z1 1,z,z2 2,z,zm m n n条条轨迹从开环极点出发，只能有轨迹从开环极点出发，只能有m m条条终止在开环零点终止在开环零点,nm,nm,另外另外n-m n-m 条应终止何处？条应终止何处？余下余下n-mn-m条根轨迹将终止在无穷远处条根轨迹将终止在无穷远处11KPn)(S)PmPm)(S(S)P)(SP(SZm)(S)Z)(SZ(SKPn)(S)P)(SP(SZm)(S)Z)(SZ(S12121212111 那麽，余下那麽，余下n-mn-m个极点只能是个极点只能是S S 即：终止在无穷远处即：终止在无穷远处例如，上一节的二阶系统例子例如，上一节的二阶系统例子 根根根 轨轨轨 迹迹迹 法法法规则三规则三 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹180*1)(2qPi)(S)Z(Sn1ijm1j例如，某系统开环零极点分布例如，某系统开环零极点分布 如图。现在要判断实轴上的如图。现在要判断实轴上的 某点某点SaSa是不是根轨迹上的点是不是根轨迹上的点由幅角条件很容易得到实轴上的根轨迹由幅角条件很容易得到实轴上的根轨迹：各开环零、极点的幅角：各开环零、极点的幅角：实轴上试验点实轴上试验点右边右边的零、极点的零、极点其幅角为其幅角为180180 幅角为零的零、极点在实轴上试验点左边幅角为零的零、极点在实轴上试验点左边根根根 轨轨轨 迹迹迹 法法法共轭零、极点的幅角共轭零、极点的幅角其和为零其和为零 P10jZ2Z1P5P4P3P2Sa观察左边等式有如下结论：观察左边等式有如下结论：要判断实轴上的要判断实轴上的 某点某点SaSa是不是根轨迹上的点，只要计算是不是根轨迹上的点，只要计算一下它右边的实轴上零极点的幅角和是否符合幅角条件一下它右边的实轴上零极点的幅角和是否符合幅角条件21 00()P(S)P(S)P(S)ZS2a1a5a2a180180180()P(S)P(S)ZS4a3a1a实轴上的某一点如果在根轨迹上，实轴上的某一点如果在根轨迹上，那麽，在它右边的零、极点总数那麽，在它右边的零、极点总数应为奇数个。应为奇数个。根根根根根根 轨轨轨轨轨轨 迹迹迹迹迹迹 法法法法法法规则三规则三设实轴上试验点右边有设实轴上试验点右边有 M M个零、个零、N N个极点，根据幅角条件则有：个极点，根据幅角条件则有：M M*180180O O -N-N*180 180O O=-(2q+1)180=-(2q+1)180O O得得 (M+N)(M+N)*180 180O O=-2q+1=-2q+1*180180O O两边同时加上两边同时加上 2 2N N*180 180O O 得得 M+N=2q+1 M+N=2q+1 即即M+NM+N为奇数为奇数由此可知，上图由此可知，上图中，实轴上的根中，实轴上的根轨迹如右图轨迹如右图P10jZ2Z1P5P4P3P2Sa规则四规则四 无穷远处根轨迹渐进线无穷远处根轨迹渐进线 与实轴的夹角计算公式与实轴的夹角计算公式规则五规则五 无穷远处根轨迹渐进线无穷远处根轨迹渐进线 与实轴的交点计算公式与实轴的交点计算公式180)12(mnqamnzpm1jjn1iia证：证：当当nm nm 时时,有有n-mn-m条根轨迹是趋向条根轨迹是趋向无穷远无穷远,在无穷远处在无穷远处,根轨迹趋向一根轨迹趋向一条直线条直线,该直线由它和实轴的夹角和该直线由它和实轴的夹角和交点确定交点确定180*1)(2qPi)(S)Z(Sn1ijm1j由幅角条件：由幅角条件：由于根由于根SaSa在无穷远处，所以，它到有限的零、极点的矢量相互平在无穷远处，所以，它到有限的零、极点的矢量相互平行，也就是说：各个矢量与实轴的夹角都是相等的，设为行，也就是说：各个矢量与实轴的夹角都是相等的，设为 a则有则有 180*)12(*qnmaa180*m-n)12(qa即：1-m-nm-n1SSK)(mn(G(s)H(s)a )ba(G(s)H(s)1-m-nm-n1SSKn1iim1jj)P()Z(G(s)H(s)1-nn1iin1-mm1jjm1n21m211S)(-PSS)(-ZSK)P(S)P)(SP(S)Z(S)Z)(SZ(SK渐进线与实轴的交点：渐进线与实轴的交点：1-nn1-mm1SSS(SKa)bG(s)H(s)记为：记为：又由于，在无穷远处：又由于，在无穷远处：|an1m21S|S|2S|S|ZS|ZS|ZS|PPPm-na1nama1)(SK)(S)(SKG(s)H(s)分子除分母得：分子除分母得：多项式展开，得：多项式展开，得：对比两式系数得：对比两式系数得：即：mnbaamnam1jjn1ii)(Z-)(P例例4-24-2：已知：已知)2S)(1S(SG(s)H(s)1K试绘制根轨迹试绘制根轨迹规则三规则三 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹规则二规则二 根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点规则四、五规则四、五 渐进线与实轴的夹角、交点渐进线与实轴的夹角、交点p p1 1=0,p=0,p2 2=1,p1,p3 3=2 2001,1,22解：根据规则解：根据规则6060o o-6060o o-180180o oK1K1K1K1K1 三条三条渐进线渐进线如图如图1 ,0 180,60180*m-n)12(取qqa103)0()210(mnam1jjn1ii)(Z-)(Pj0k1=0-2-1k1=0k1=0规则六规则六 根轨迹的会合点与分离点根轨迹的会合点与分离点0)s(D)s(NK1)s(G1(s)F1闭环特征根闭环特征根 S S 随随 K1 K1 变化而改变，在某个变化而改变，在某个K1K1下根轨迹可能相下根轨迹可能相交交(相交处称会合或分离点相交处称会合或分离点)，作为系统特征方程的解，在该，作为系统特征方程的解，在该处有重根，因此，问题转换为求特征根的重根。处有重根，因此，问题转换为求特征根的重根。0 )s(D)s(N)s(N)s(D 0ds(s)Fd即：可以令：得到这个式子也可以用令0dsdK1例：上例中用上式求分离点：例：上例中用上式求分离点：S2S3S)2S)(1S(S)s(D231)s(N解得 0)2S6S3(2577.1S423.0S21由规则三可知，由规则三可知，-1.577-1.577处没有根轨迹，故舍去，所以，处没有根轨迹，故舍去，所以，分离点是分离点是 -0.423-0.423代入得代入得：或者，将或者，将-1.577-1.577代入代入F(s)=0,F(s)=0,可求出可求出K1=-0.385,K1=-0.385,显然不合显然不合题意，舍去题意，舍去综合例：综合例：)22)(3()()(G21SSSSKsHs求以求以K1K1为参变量的系统根轨迹。为参变量的系统根轨迹。解：解：)1)(1)(3()()(G1jSjSSSKsHs1 1、根轨迹起点、根轨迹起点：0 0，-3-3，-1-1 j j2 2、实轴上根轨迹、实轴上根轨迹：0 0 -3-3由特征方程为：由特征方程为：01685234kSSSS0)5.1475.3(4dsdK231SSS4 4、分离点、分离点：求出重根为：求出重根为：S S1 1、2 2 =-2.3-2.3135,45180)12(mnqa25.1040)1130(11mnzpmjjniia分离点分离点-2.3-2.3根根根 轨轨轨 迹迹迹 法法法3 3、渐近线、渐近线：-1.251.25j-jP2-10j -3P1P4P3复数极点附近根轨迹形态怎样？复数极点附近根轨迹形态怎样？在复数极点附近取一个试验点在复数极点附近取一个试验点SaSa，各零、极点到试验点，各零、极点到试验点SaSa的的矢量幅角和应满足幅角条件，当矢量幅角和应满足幅角条件，当SaSa点无限趋近该复数极点时，点无限趋近该复数极点时，可求出根轨迹从该点出射方向。可求出根轨迹从该点出射方向。180*1)(2q-4321上例中，为求根轨迹从上例中，为求根轨迹从P P3 3点处的出射角，点处的出射角，在在其附近找一个其附近找一个 实验点实验点SaSa，并认为该点在根轨，并认为该点在根轨迹上，则，它应满足幅角条件：迹上，则，它应满足幅角条件：00 93135有：42175根据上式，可以求得：375点的出射角：可以知道根据根轨迹的对称性，44P 规则七规则七 根轨迹的出（入）射角根轨迹的出（入）射角j-jP2-10j-2.73P1P31432sa如果如果SaSa无限靠近无限靠近 P P3 3j-jP2-10j -3P1P4P3根轨迹的出（入）射角用下式求得根轨迹的出（入）射角用下式求得:)()(180)12()()(180)12(1111niikmkjjjkznkiiikmjjkppSZSqpSZSqkk根根根 轨轨轨 迹迹迹 法法法75-75-2.3-1.251K1K1K1K规则八规则八 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点上例中当上例中当 K K1 1 增大到某值后，根轨迹将进入根平面的右半面增大到某值后，根轨迹将进入根平面的右半面,在它与虚轴相交处，特征根是一对虚根在它与虚轴相交处，特征根是一对虚根 S=S=jjn n因此，可以采用两种方法来求：因此，可以采用两种方法来求：第一种方法，采用第一种方法，采用RothRoth判据判据第二种方法，用第二种方法，用S=S=jj代入特征方程，令实部为零，代入特征方程，令实部为零，求出求出 K K1 1 代入虚部得代入虚部得根据上述规则已经可以画出大致的系统闭环根轨迹根据上述规则已经可以画出大致的系统闭环根轨迹,为更准确些还为更准确些还可以确定其特殊点的位置可以确定其特殊点的位置:根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点综合例：综合例：)22)(3()()(G21SSSSKsHs求以求以K1K1为参变量的系统根轨迹。为参变量的系统根轨迹。解：解：)1)(1)(3()()(G1jSjSSSKsHs1 1、根轨迹起点、根轨迹起点：0 0，-3-3，-1-1 j j2 2、实轴上根轨迹、实轴上根轨迹：0 0 -3-3由特征方程为：由特征方程为：01685234kSSSS0)5.1475.3(4dsdK231SSS4 4、分离点、分离点：求出重根为：求出重根为：S S1 1、2 2 =-2.3-2.3135,45180)12(mnqa25.1040)1130(11mnzpmjjniia分离点分离点-2.3-2.3根根根 轨轨轨 迹迹迹 法法法3 3、渐近线、渐近线：-1.251.25j-jP2-10j -3P1P4P3j-jP2-10j -3P1P4P3在上例中，采用第一种方法：其特征方程为：在上例中，采用第一种方法：其特征方程为：ROTH阵列：0010053455204015340651811kKkk令：由第三行组成方程由第三行组成方程：6.6.8S8S2 2+k1=0+k1=0得得 S S1 1、2 2=j1.1 j1.1根据八条规则完成系统根轨迹如右根据八条规则完成系统根轨迹如右7575-75-75-2.3-2.3-1.251.251K1K1K1K01685234kSSSS0534552041 Kj1.1得 k1=8.16根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点43 广义根轨迹广义根轨迹一、参数根轨迹一、参数根轨迹二、多回路根轨迹二、多回路根轨迹三、正反馈和零度根轨迹三、正反馈和零度根轨迹一、参数根轨迹一、参数根轨迹以系统中任意一个参数（开环零点、开环极点、时间常数、反以系统中任意一个参数（开环零点、开环极点、时间常数、反馈比例系数等）馈比例系数等）绘制的根轨迹。绘制的根轨迹。研究参数根轨迹的目的研究参数根轨迹的目的 分析参数变化对系统性能的影响分析参数变化对系统性能的影响0)()(1)()(1)()(111sDsNKpszsKsHsGniimii绘制参数根轨迹图基本原理绘制参数根轨迹图基本原理常规根轨常规根轨迹方程：迹方程：0)()(1sQsP参数根轨参数根轨迹方程：迹方程：等效开环等效开环传递函数传递函数以以为可变参数绘制的根轨迹即为参数根轨迹为可变参数绘制的根轨迹即为参数根轨迹例：例：系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为)22()()()(21ssssKsHsG绘制以绘制以为参数的参数根轨迹，并讨论为参数的参数根轨迹，并讨论值对系统稳定性的影响。值对系统稳定性的影响。解：解：（1）以）以为参量的等效开环传递函数为参量的等效开环传递函数系统特征方程系统特征方程0)22()(121ssssK0)()22(12sKsss0)22(112KsKsss0)22(1121sKsssK等效开环等效开环传递函数传递函数1)21)(21()22(1)22()()(112121KjsjssKsssssKsssKsHsG开环极点开环极点21210221jpjpp实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹0,渐近线渐近线32030)21()21(0)1,0(180,60180)12(110jjmnzpqmnqmiiniiaa根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点:特征方程特征方程03223sss0123026231ssss006062222ss交点为交点为73.13js出射角出射角:劳斯表劳斯表njiiijmiijjpppzpk11)()()12(3090)73.1180(1800arctg对于对于-1+j1.73处的极点有处的极点有对于对于-1-j1.73处的极点有处的极点有30)270()73.1180(18030arctg-2-1.5-1-0.500.511.52-2-1.5-1-0.500.511.52Real AxisImag Axis 控制系统开环传递函数 ，试绘制以为参变量的根轨迹以及同时变化K时的根轨迹。)(1()()(sssKsHsG0)(1(1)()(1sssKsHsG0)1()1(2Kssss以为参变量的根轨迹方程0)1(12ssK1)1()1(2Kssss画以K为参变量的根轨迹来求出方程的极点1)1()1(2Kssss不同K值，可得到系统不同根轨迹图，即根轨迹簇0123ssssKaKaaa!)1(110Ka0)1(K根轨迹与虚轴交点2411K以为参变量的根轨迹方程二、多回路根轨迹二、多回路根轨迹根轨迹不仅适合于单回路根轨迹不仅适合于单回路,也适用于多回路。也适用于多回路。)2(1ssKs)(sC)(sR)(sE系统的开环传递函数系统的开环传递函数SKssKsEsCsG11)2()()()(系统特征方程系统特征方程0)2(11KSKss0)2(111KssSK以以为参数为参数-9-8-7-6-5-4-3-2-101-8-6-4-202468Real AxisImag Axis10K20K50K4212 ss6.0sKf)(sC)(sRcK1.0s研究以研究以KC、Kf为变量的根轨迹为变量的根轨迹系统有两个环，内环的极点就是外环的开环零点！系统有两个环，内环的极点就是外环的开环零点！1）绘制内环的根轨迹图）绘制内环的根轨迹图内环的开环传递函数内环的开环传递函数)42)(6.0()()(211sssKsHsGf根据根轨迹绘制规则绘制出以根据根轨迹绘制规则绘制出以Kf为参数的内环根轨迹图为参数的内环根轨迹图-2-1.5-1-0.500.51-3-2-10123Real AxisImag Axis2)确定内环的闭环极点确定内环的闭环极点假定内环的反馈系数假定内环的反馈系数 3.2Kf3.5内环的特征方程内环的特征方程0)42)(6.0(2fKsss可选可选Kf=3.36,则求得内环的闭环极点为则求得内环的闭环极点为83.15.083.15.06.1321jpjpp3)绘制外环的根轨迹图绘制外环的根轨迹图外环的开环传递函数外环的开环传递函数)6.3)(6.1()1.0)(6.0()()(2sssssKsHsGc)()()(1)()()(2111sHsHsGsGKsHsGc-2-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.511.52Real AxisImag Axis三、正反馈和零度根轨迹三、正反馈和零度根轨迹)(sG)(sH)(sC)(sR)(sGc1、局部正反馈系统的框图、局部正反馈系统的框图)()(1)()()(1sHsGsGsRsC正反馈回路的闭环传递函数正反馈回路的闭环传递函数特征方程特征方程0)()(1sHsG0)s(H)s(G1)s(D1)s(H)s(Gm个零点n个极点（nm）1)ps()zs(K)s(H)s(Gn1iim1ii1pszsKn1iim1ii幅值条件“+”“+”“-”“-”“1 1”niimiiqpszs11)12()()(幅角条件（k=0,1,2,）“2k2k”根轨迹的分支数根轨迹的分支数 (相同相同)根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点 (相同相同)根轨迹的对称性根轨迹的对称性 (相同相同)实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上实轴上)开开 环实零、极点数目之和相应为偶数环实零、极点数目之和相应为偶数(0(0也视为偶数也视为偶数)。根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线：根轨迹渐近线与实袖的交点根轨迹渐近线与实袖的交点 (相同相同)根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为根轨迹的会合点和分离点根轨迹的会合点和分离点 (相同相同)根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角离开开环极点出射角离开开环极点出射角进入开环零点的入射角进入开环零点的入射角根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 (相同相同)mnk2anji1iijm1iijjp)pp()zp(k2mji1iijn1iijjz)zz()pz(k2正反馈系统的根轨迹的基本规则正反馈系统的根轨迹的基本规则2 2条根轨迹：一条终止于开环零点，另一条则沿正实轴条根轨迹：一条终止于开环零点，另一条则沿正实轴趋于无穷远处。趋于无穷远处。已知正反馈系统的开环传递函数，试绘制系统的根轨迹。已知正反馈系统的开环传递函数，试绘制系统的根轨迹。开环极点开环极点p1,2=-1p1,2=-1 j,j,开环零点开环零点z=-2 z=-2 1802mnqa45)()(221111ppzpqp452p2s2s)2s(K)s(H)s(G2实轴上实轴上 一一2 2，+为根轨迹，为根轨迹，n-m=1n-m=1渐近线渐近线出射角出射角与虚轴交点：与虚轴交点：0)K22(s)K2(s)s(D2K22sK2sK221s0121K S=jS=j、K=1K=1代入代入D(s)=0D(s)=0 =0=0例例1)ps()zs(K)s(H)s(Gn1iim1ii2s2s2sK202s4sds)s(dB)s(Ads)s(dA)s(B22s2s)s(A22s)s(B54.0b41.3s2！舍去2180b分离点（或会合点）：零度根轨迹的绘制零度根轨迹的绘制以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内回路系统如图所示，外回路是采用负反馈加以稳定，为了分析整个系统的性能，通常首先要确定内回路的零、极点，这就相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。)(sC)(sR)(sG)(sH)(1sG)(1sH)()(1)()()()(sHsGsGsRsCsWB1)()(sHsGqpszsoniimjj20)()(11等效为相角方程（幅角条件）和幅值方程（幅值条件）mjjniizspsK11*0)s(H)s(G1)s(Dm个零点n个极点（nm）1e)ps()zs(K)s(H)s(Gsn1iim1iise)s(H)s(G)s(H)s(G111sniimiiepszsK幅值条件3.57)12()()(11niimiiqpszs幅角条件（q=0,1,2,）1s1es很小第四节第四节 滞后系统的根轨迹滞后系统的根轨迹绘制滞后系统根轨迹的基本规则绘制滞后系统根轨迹的基本规则（3）、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧）、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上实轴上)开开 环实零、极点数目之和相应为奇数。环实零、极点数目之和相应为奇数。（4）、根轨迹的渐近线：）、根轨迹的渐近线：（1）、滞后系统的根轨迹是连续的并对称于实轴）、滞后系统的根轨迹是连续的并对称于实轴（2）、根轨迹的起点和终点）、根轨迹的起点和终点1111epszsKinijmj1111Kepszsinijmj起点起点,ips终点终点,jzs根轨迹渐近线有无数条，且平行于实轴1111epszsKinijmjezspsKjmjini111110KK根轨迹渐近线仅与虚轴相交，交点为niimiikpszs11)12(3.57)()(smzsmii1)(niinps1)(N3.573.57N,2,1,0,1,2 Ns0)(1miizsniips10)(0)(1dssGeddsdKs（5）、根轨迹的分离点：）、根轨迹的分离点：（6）、根轨迹的出射角和入射角：）、根轨迹的出射角和入射角：niimiikpszs11)12(3.57)()(njiiijmiijjpppzpk11)()()12(3.57mjiiijniijjzzzpzk11)()()12(3.57、210k（7）、根轨迹与虚轴的交点：）、根轨迹与虚轴的交点：求解0)(1sGes代入特征方程令js 例：例：设滞后系统的开环传递函数为设滞后系统的开环传递函数为1)1seKesGss（要求绘制此系统的根轨迹图。要求绘制此系统的根轨迹图。解：解：系统特征方程为系统特征方程为0111seKs绘制根轨迹的相角条件为绘制根轨迹的相角条件为)12()1(3.57ks、210k（1）根轨迹的起点和终点）根轨迹的起点和终点起点起点 p1=-1 ,=-终点终点 趋于无穷远趋于无穷远（2）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹 （-，-1-1（3）根轨迹的渐近线平行于实轴并与虚轴交于）根轨迹的渐近线平行于实轴并与虚轴交于3.57N,2,1,0,1,2 N（4）令）令k=0画出主根轨迹画出主根轨迹)12()1(3.57ks、210kk=0 的根轨迹，称为主根轨迹的根轨迹，称为主根轨迹k=1、2、的根轨迹，称为辅助根轨迹的根轨迹，称为辅助根轨迹3.57180)1(s作作图图方方法法1j11p1s13.571803.57)12()()(11niimiiqpszs幅角条件111sniimiiepszsKKepszssniimii111左边无穷远或根轨迹的起点：0K右边无穷远或根轨迹的终点：K所以根轨迹的起点处有无数条渐近线、终点处也有无数条渐近线P10jZ2Z1P5P4P3P2sd奇数偶数偶数奇数（）（）（左边渐近线：NmnNmnNmnqqnmK)()12(3.57)1218018018000000sdNmnqqnmK)(0)12(3.57)12180000000（右边渐近线：证明：证明：0 0 00()P(S)P(S)P(S)ZS212aaa5a180180180()P(S)P(S)ZS4a3a1a系统闭环极点如果全部处在系统闭环极点如果全部处在S S平面的平面的左半面，则系统稳定（绝对稳定）左半面，则系统稳定（绝对稳定）根根根 轨轨轨 迹迹迹 法法法设某高阶系统有一对共轭闭环极点设某高阶系统有一对共轭闭环极点 S Si i=-=-w wn nj jw wd d它对应的阶跃响应分量为：它对应的阶跃响应分量为：)()(21tSintebtCdiin各参数之间关系如图。各参数之间关系如图。jnjdnSi不稳定区稳定区如果如果：R Re e(S Si i)=-)=-w wn n0,0,当当tt时时该极点对应的阶跃响应分量将趋于零。该极点对应的阶跃响应分量将趋于零。2211 1dtgnjjd1jd2 极点在虚轴上（临界状态），其实部为零，阶跃响应分量呈等幅振荡极点在虚轴上（临界状态），其实部为零，阶跃响应分量呈等幅振荡,极点离实轴越远，极点离实轴越远，wdwd越大，振荡频率越大越大，振荡频率越大 极点在负实轴上，极点在负实轴上，wd=0,wd=0,该极点对应的阶跃响应分量不会振荡（单调）该极点对应的阶跃响应分量不会振荡（单调）j极点离实轴越远，极点离实轴越远，wd wd 越大，振荡越大，振荡频率越大频率越大j 极点离虚轴越远，极点离虚轴越远，|-zwn|-zwn|越大，衰减越大，衰减越快，反之，极点离虚轴近，越快，反之，极点离虚轴近，|-zwn|-zwn|小，阶跃响应中该分量衰减就慢，对小，阶跃响应中该分量衰减就慢，对过渡过程的时间影响大。过渡过程的时间影响大。极点在左半平面但不在负实轴上，极点在左半平面但不在负实轴上，wd0,wd0,该极点该极点对应的阶跃响应分量会振荡对应的阶跃响应分量会振荡,因为因为 -zwn-zwn0,0,振荡振荡幅值随时间衰减幅值随时间衰减,当当t t 时该分量将趋于零时该分量将趋于零从原点画射线与根轨迹相交，从原点画射线与根轨迹相交，该射线与负实轴夹角该射线与负实轴夹角=60=601COS从图上得交点坐标从图上得交点坐标7.0 j4.0S2,1372.2ZjSaPiSaKm1im1i1根根根 轨轨轨 迹迹迹 法法法设计的问题设计的问题例如：已知根轨迹，若要求系统有例如：已知根轨迹，若要求系统有z z=0.5=0.5的一对闭的一对闭环极点，求闭环极点的位置及相应的环极点，求闭环极点的位置及相应的K1K1的大小。的大小。由幅值条件得：由幅值条件得：j-jP2-10j-2.73P1P4P3j0.7-0.4S1主导极点的定义及使用主导极点的定义及使用主导极点在第三章已经下了定义，即：如果高阶系统中距离虚轴主导极点在第三章已经下了定义，即：如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部比其他极点的实部的最近的极点，其实部比其他极点的实部的1/51/5还要小，并且，该还要小，并且，该极点附近没有零点，则可以认为系统的响应主要由该极点决定。极点附近没有零点，则可以认为系统的响应主要由该极点决定。这些对系统响应起主导作用的极点，称为系统的主导极点这些对系统响应起主导作用的极点，称为系统的主导极点上述两个极点是否是系统的主导极点？上述两个极点是否是系统的主导极点？为此，应求出另两个极点再作判断。为此，应求出另两个极点再作判断。因为，已知系统的闭环特征方程是：因为，已知系统的闭环特征方程是：2.372 K 7.0 j4.0S12,101kS46.5S46.7S73.4S234现已知系统的有两个闭环特征根和此时的现已知系统的有两个闭环特征根和此时的K K1 1：可求出另两个闭环特征根：可求出另两个闭环特征根：)7.0 j4.0S)(7.0 j4.0S)(2SS)(S1(S372.2S46.5S46.7S73.4S 234令 28.2S 8.1S4357.54.028.2SRe(S55.44.08.1SRe(S)14)13可以认为可以认为S S1 1、S S2 2是系统的主导极点，因此，将系统近似为闭环极是系统的主导极点，因此，将系统近似为闭环极点为点为S S1 1、S S2 2的二阶系统，并估计出系统的阶跃响应性能：的二阶系统，并估计出系统的阶跃响应性能：64.0S8.0S)7.0 j4.0S)(7.0 j4.0S(2%3.16%p8.0 5.0n S S1 1、S S2 2是否是主导极点？是否是主导极点？与另外两个根进行比较一下与另外两个根进行比较一下根根根 轨轨轨 迹迹迹 法法法s105.743tns注意！注意！上述定义主导极点时提到上述定义主导极点时提到 “极点附近没有零点极点附近没有零点”的条件，到底零点对的条件，到底零点对系统的性能有什麽影响？实际上，系统的性能应当由零系统的性能有什麽影响？实际上，系统的性能应当由零极点共同决定，分析如下：极点共同决定，分析如下：根根根根根根 轨轨轨轨轨轨 迹迹迹迹迹迹 法法法法法法零极点抵消零极点抵消r1k2nknkk2q1iim1jj1)2S()SS()ZS(K)s(GS当当ZjZj=Pi=Pi时，零极点相消，该极点将不起作用。此时的时，零极点相消，该极点将不起作用。此时的零极点对称为零极点对称为偶极子偶极子零极点没有相消，但如果零点很靠近极点，它将影响该零极点没有相消，但如果零点很靠近极点，它将影响该响应分量的系数，即，影响该极点所决定的阶跃响应分响应分量的系数，即，影响该极点所决定的阶跃响应分量的初始值的大小。靠得越近，影响越大。量的初始值的大小。靠得越近，影响越大。当不存在零极点相消时，系统的稳定性仅由系统的极点决定当不存在零极点相消时，系统的稳定性仅由系统的极点决定（可当成两个传函串联）（可当成两个传函串联）开环传递函数上增加零点提高了系统的相对稳定性)(180)12(mnka渐近线与实轴倾角随着m数增大而增加根轨迹向左方向弯曲)()(mnzpiia渐近线与实轴交点随着Zc增大（Zc点在实轴上向右移）而左移3cZ增加一个零点的情况2cZ右移零点增加的零点相对靠近虚轴而起主导作用)()(ccpszscc零极点对应的矢量幅角)(cc附加提供一个超前角“超前校正”相当于附加零点的作用(使根轨迹向左弯曲，改善了系统动态性能。)|zc|zc|pc|pc|46 用用MATLAB绘制系统的根轨迹绘制系统的根轨迹一、求开环传递函数的零极点一、求开环传递函数的零极点例：例：已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数22152()()(221ssssKsHsG求系统开环零、极点的位置求系统开环零、极点的位置num=2 5 1;den=1 2 2;pzmap(num,den);titlepole-zero Map分子多项式分子多项式分母多项式分母多项式求零极点函数求零极点函数打印标题打印标题二、绘制常规根轨迹二、绘制常规根轨迹例：例：已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数22152()()(221ssssKsHsG绘制该系统的根轨迹图绘制该系统的根轨迹图num=2 5 1;den=1 2 2;rlocus(num,den);Title（控制系统根轨图控制系统根轨图）分子多项式分子多项式分母多项式分母多项式绘制根轨迹函数绘制根轨迹函数打印标题打印标题三、绘制带阻尼比和自然振荡频率栅格三、绘制带阻尼比和自然振荡频率栅格例：例：已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数22152()()(221ssssKsHsG绘制系统的根轨迹图及带阻尼比和自然振荡频率栅格。绘制系统的根轨迹图及带阻尼比和自然振荡频率栅格。num=2 5 1;den=1 2 2;rlocus(num,den);sgridTitle（控制系统根轨图和栅格控制系统根轨图和栅格）分子多项式分子多项式分母多项式分母多项式绘制根轨迹函数绘制根轨迹函数打印标题打印标题绘制栅格绘制栅格四、系统性能分析四、系统性能分析例：例：已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数22152()()(221ssssKsHsG绘制系统的根轨迹图并分析系统性能。绘制系统的根轨迹图并分析系统性能。num=2 5 1;den=1 2 2;rlocus(num,den);Sgrid;k,p=rlocfind(num,den);Title（控制系统根轨图和栅控制系统根轨图和栅格格）;分子多项式分子多项式分母多项式分母多项式绘制根轨迹函数绘制根轨迹函数打印标题打印标题绘制栅格绘制栅格求十字光标处的闭环极点求十字光标处的闭环极点第四章 完