《随机过程》第5章布朗运动.pdf

LOGO 随机过程 第五章 布朗运动 1 布朗运动的 基本概念 2 布朗运动 的首中时 及最大值 3 布朗运动 的应用 定 义 性 质 推 广 1 基本概念 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 2 最初由英国生物学家布朗 (Brown)于 1827年提出这种物理现 象； 1905年爱因斯坦首次对这一现象的物理规律给出数学描述； 1918年维纳 (Wiener)运用数学理论严格描述这种无规则运 动 ， 并用随机过程理论和概率理论建立了数学模型 。 因此 布朗运动又称维纳过程； 是具有 连续时间参数 和 连续状态空间 的一类随机过程； 在金融领域的证券市场中 （ 如债券 、 期权等 ） ， 有着极其 重要的应用 。 将布朗运动与股票价格行为联系在一起 ， 进 而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意 义的金融创新 ， 在现代金融数学中占有重要地位 。 背 景 背 景 性 质 推 广 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 3 定义： 若随机过程 * , 0+满足： (1) 关于 是连续函数 (2) * , 0+具有平稳独立增量 (3) , 0, . + (0,2) 则称随机过程 * , 0+为 布朗运动 （ 或 维纳过程 ） 。 当 = 1时 ， 称随机过程 * , 0+为标准布朗运动 ， 记为 * , 0+ 1 基本概念 定 义 若 0 = 0，则 0, . (0,2) 若 0 = 0，则 0, . (0,) 增量服从 正态分布 背 景 性 质 推 广 例： 设布朗运动 (0,2)， 求其均值 、 方差 、 协方差及相关函数 。 中南民族大学经济学院 4 解： 随机过程 第 5章 -布朗运动 1 基本概念 由布朗运动定义可得： () = = 0, ()2 = = 2 当 1 2时 ， 1,2 = 22 1,2 = 2 min 1,2 1,2 = 1,2 1 2 = 2 min 1,2 定 义 定 义 背 景 推 广 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 5 设 * , 0+为标准布朗运动 ， 在时刻 的概率密度函数为 ; = 12 2 2 2 1 (1 2)的概率密度函数为 ;2 1 = 12( 2 1) 2 2(21) 概率密度函数 1 基本概念 性 质 定 义 背 景 推 广 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 6 设 * , 0+为标准布朗运动 ， 对 0 = 0 1 ， ( 1 , )的联合概率密度函数为 1,;1, = 1; 1 =1 其中 ， 0 = 0 = 0且 0 = 0 ; = 12 2 2 有限维联合分布 1 基本概念 性 质 定 义 推 广 背 景 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 7 证明： 有限维联合分布 1 基本概念 性 质 由布朗运动的独立增量性，令 1 = 1 , = 1 , 2 ，则 1,相互独立，且 (0, 1)。所以 (1,)的联合概率密度函数为 1, = 12( 1) 2 2(1) =1 = =1 , 1 ( 1 , )的联合概率密度函数为： 1,;1, = 1, 其中 = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 , = 1 1,;1, = 12( 1) 2 2(1) =1 = 1; 1 =1 定 义 背 景 推 广 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 8 设 * , 0+ 为 标 准 布 朗 运 动 ， 对 1 0 ， 当给定 = 时 + 的 条件 概率密度函数为 ;| = ; = 12 ()2 2 由正态分布的特性 ， 有 + = = + = = 12 对称性 1 基本概念 性 质 解释： 当给定 初始条件 = 时，对于任意 0 ，标准布 朗运动在时刻 +的位置高于或低于初始位置的概率相等， 即标准布朗运动的对称性。 定 义 背 景 推 广 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 10 平移不变性： 设 * , 0+为布朗运动 ， 则 * + (), 0+(a为常数 )也是布朗运动 。 尺度不变性 ： 设 * , 0+为布朗运动 ， 则 * , 0, 0+也是布朗运动 。 平移不变性 1 基本概念 性 质 定 义 背 景 推 广 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 11 正向马尔可夫性： 设 * , 0+为标准布朗运动 ， 对 1 ， 在给定 1 , 1 下 的条件概率 密度函数与只给定 1 下 的条件概率密度函数相同 。 中间关于两边的马尔可夫性 ： 设 * , 0+为标准布朗运动 ， 对 1 ， 在给定 1 , 1 , +1 , 下 ( 1 ) 的 条 件 概 率 密 度 函 数 与 只 给 定 1 , +1 下 的条件概率密度函数相同 。 马尔可夫性 1 基本概念 性 质 定 义 推 广 背 景 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 12 证明： 马尔可夫性 1 基本概念 性 质 设 * , 0+为一布朗运动，则由其独立增量性可知，在时间区间 , + 上的增量 + ()与过程在时间 前的状态独立，因此对 于 , ，有： + = = , = ,0 = + = = , = ,0 = ( + = | = , = ,0 ) = ( + = ) + = = = + = = = ( + = ) + = = , ,0 0, . ,2 , 0, 则称 * , 0+为 带有 （ 线性 ） 漂移的布朗运动 。 可定义为： = + , 0 也是一个 正态过程 。 且有 = , , = 2 min , , , 0 带有漂移的布朗运动 1 基本概念 推 广 性 质 定 义 背 景 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 16 设随机过程 * , 0+为标准布朗运动 ， 称 = + , 0 为 几何布朗运动 。 几何布朗运动不是正态过程 。 = + 2 2 , , = + 2 2 + (2 1) 几何布朗运动 1 基本概念 推 广 LOGO 随机过程 第五章 布朗运动 1 布朗运动的 基本概念 2 布朗运动 的首中时 及最大值 3 布朗运动 的应用 最 大 值 过 零 点 率 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 18 定义： 设随机过程 * , 0+为 标准布朗运动 ， 且 0 = 0， 令 = inf *: = , 0+表示首次击中 的时间 ， 即 首中 时 。 分布： 首中时 的分布函数为 = 22 2 2 + d 且 = +, 首 中 时 显然有 = 0 = 由布朗运动的对称性知，在 （ 即 = ）的条件下 ， * +和 * +是等可能的，即： = 0时 = 22 2 2 + d = 22 2 2 + d = 2(1 ) 当 0 2 首中时及最大值 过 零 点 率 最 大 值 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 20 证明： 常返性 d + 0 = 22 2 2 0 dd + 0 = 22 d 2 2 0 2 2 d + 0 = 2 2 2 1 2 2 2 d + 0 2 2 2 1 2 2 2 d 1 0 2 212 2 1 2d 1 0 = 首 中 时 2 首中时及最大值 过 零 点 率 首 中 时 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 22 定义： 设随机过程 * , 0+为 标准布朗运动 ， 对任意 0， 令 = max0() 表示标准布朗运动在 ,0,-上的 最大值 。 分布： 当 0时 ， 存在事件的等价关系 * + *() + = = 22 2 2 + d 的密度函数为 () = 2 32 2 2 , 0 0 , 0 2 首中时及最大值 最 大 值 最 大 值 首 中 时 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 23 定义： 设随机过程 * , 0+为 标准布朗运动 ， 对任意 1 2， 记事件 0 1,2 = *至少有一个 1,2 ， 使 = 0+ 即在 1,2 内至少过一次零点 ， 称 0 1,2 = 0 1,2 | 1 = + 1 21 2 21d 为 过零点概率 。 2 首中时及最大值 过 零 点 率 最 大 值 首 中 时 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 24 反正弦定理： 记 0 1,2 = *至少有一个 1,2 ， 使 = 0+ 0 1,2 = *没有 一个 1,2 ， 使 = 0+ 则 0 1,2 = 2arcsin 1 2 且当 1 = ,2 = ,0 x 0 = = 2 32 2 2d 0 最 大 值 首 中 时 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 26 证明 (续 )： 反正弦定理 2 首中时及最大值 过 零 点 率 0 1,2 = 0 1,2 | 1 = + 1 21 2 21d = 2 ( 2 1) 12 1 2 21d + 0 = 22 1 2 3 2 2 2d 21 0 2 21d + 0 = 1 1 3 2 2 2 ( 1 + 1 1)d + 0 d 21 0 = 1 1 3 2 1 + 1 2 2 ( +1 1 )d, 2 2 ( +1 1 )- + 0 d 21 0 = 1 1 3 2 1 + 1 2 2 ( +1 1 ) +0 d 21 0 = 1 1 1 2 1 + 1 d 21 0 最 大 值 首 中 时 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 27 证明 (续 2)： 反正弦定理 2 首中时及最大值 过 零 点 率 令 = 12, 1,2 = 21 1 ，则 0 1,2 = 1 1 21 1( 1 +12) d (1,2) 0 = 2 11+2 d (1,2) 0 = 2arctan 1,2 = 2arccos 2 1 0 1,2 = 1 0 1,2 = 2arcsin 1 2 LOGO 随机过程 第五章 布朗运动 1 布朗运动的 基本概念 2 布朗运动 的首中时 及最大值 3 布朗运动 的应用 股票 期权 价值 股票 期权 实施 商品 价格 模型 BSDE 问题 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 29 例： 设 ( 0)表示企业破产或投资者 “ 死亡 ” 的时间 ， 是一个随机变量 。 再设 * , 0+是具有独立增量的随机过 程 。 令随机过程 * , 0+为 = (0)() , + 0 = + 0 = () ln( + ) + 0 = 12 2 2 + ln(+ ) dd + 0 解 ： 股票 期权 价值 企业 破产 过程 商品 价格 模型 BSDE 问题 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 31 例： 假设某投资者持有敲定价格为 的 美 式买入期权 。 设此 股票价格变化遵循带有负漂移系数 ( 0 若期望最大的投资收益，则有 = 12 解 ： 股票 期权 实施 股票 期权 价值 企业 破产 过程 股票 期权 实施 BSDE 问题 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 32 例： 设 表示某商品在时刻 的价格 ， 且价格比 1 是独立同 分布的随机序列 。 令 = 1 , 1,0 = 1 则有 = 12 ln = =1 ln近似于布朗运动 ， 即商品价格近似于几何布朗运动 。 3 布朗运动的应用 商品 价格 模型 商品 价格 模型 股票 期权 价值 企业 破产 过程 股票 期权 实施 中南民族大学经济学院 随机过程 第 5章 -布朗运动 33 例： 设一个自融资金且无消费的单身汉 ， 为其成家的日期 ， 他在 ,0,-期间的决策是：在时刻将他财产 ()之中的 ()用 于 买 股 票 ， () 用 于 买 债 券 ， 则 其 财 产 ,0 满足 d = , d d() 其中 , = + +( )( ) 0为债券利率 ， 是市场贷款利率 。 一般 ， 当 = 时 ， , = + 。 若他计划在 时结婚 ， 自己的财产要达到 元 ， 则此决策问题 转化为： d = , d d() = 求解 ( , )0 。 3 布朗运动的应用 BSDE 问题 倒向参数随机微分方程 LOGO 随机过程 第五章 布朗运动 1 布朗运动的 基本概念 2 布朗运动 的首中时 及最大值 3 布朗运动 的应用