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声 明 为了方便大家复习，助教将第一章所有习题答案进行了整理，其中包括了对 作业答案的补充和更正。由于助教能力有限，所提供的答案难免会有疏漏和错误 之处，所以仅供参考并希望大家不要外传！若有问题可以及时提出并共同讨论！ 祝学习愉快！ 第一章 1.1 在黑体辐射中，对一个电热容器加热到不同温度，从一个针孔辐射出不同波长的极大 值，试从其推导 Planck 常数的数值： T/ 1000 1500 2000 2500 3000 3500 max/nm 2181 1600 1240 1035 878 763 解： 根据 Plank 推导的公式 1-1： m a x 0 0 .2 0 1 4CkT k hcc 00.2014Chkc 又 932 1 8 4 1 2 7 3 . 1 5 1 6 0 0 1 7 7 3 . 1 5 1 2 4 0 2 2 7 3 . 1 5 1 0 3 5 2 7 7 3 . 1 5 8 7 8 3 2 7 3 . 1 5 7 6 3 3 7 7 3 . 1 5 0 2 . 8 4 3 2 1 06 10 mKC 且 23 11.381 10 JKk 182.998 10 msc 346.50 10 Jsh 1.2 在地球表面，太阳光的强度是 1.0103W/m2， 一个太阳能热水器水箱涂黑面直对阳光。 按黑体辐射计算，热平衡时水箱内水温可达几度？（忽略水箱其它表面的热辐射） 解： 根据 Planck 辐射定律： 3 2 2( , ) ( 1)h kT hE v T ce 又 c 且 m ax 0.2014kT hc 即 10.2014hkT 其中 8 2 45 .6 7 0 1 0 W m K （ 这里积分得不到相对应的 值，需核实 ） 44 3 8( ) 1 0 3 6 4 . 4 2 9 1 . 35 . 6 7 0 1 0ETT K C 1.3 计算波长为 600nm(红光 ),550nm(黄光 ),400nm(蓝光 )和 200nm(紫光 )光子的能量。 解： 3 4 00 2 2( ) ( , ) ( 1 )h kT hE T E T d d Tce 根据公式： cE h h （其中 346.626 10h J s ， 812.998 10c m s ） 代入各类波长，得到相应的光子能量。 191 3.31 10EJ 192 3.61 10EJ 191 4.97 10EJ 191 9.93 10EJ 1.4 某同步加速器 ,可把质子加速至具有 100 109eV 的动能 ,试问此时质子速度多大？ 解： 271 .6 7 2 6 5 1 0pm kg 1eV=1.602 10-19J 注： 当粒子速度接近光速时，必须考虑粒子的相对论效应。 0221 mm vc 20221 mEcvc 得 22000221 mT E E c m cvc 2 4 2 7 2 8 40 2 2 1 1 1 9 2 2 7 2 8 40 ( 1 . 6 7 2 6 5 1 0 ) ( 2 . 9 9 7 9 2 5 1 0 )11( ) ( 1 0 1 . 6 0 2 1 0 ) ( 1 . 6 7 2 6 5 1 0 ) ( 2 . 9 9 7 9 2 5 1 0 )mcv c cT m c 810 . 9 9 9 9 5 6 2 . 9 9 7 8 1 0c m s 1.5 Al 的电子逸出功是 4.2eV，若用波长 200nm 的光照射 Al 表面，试求： （ 1）光电子的最大动能 （ 2） Al 的红限波长 解： 根据光电效应表达式： p h o to n K in e tic e n e rg y hcE W E 3 4 8 7 1 96 . 6 2 6 1 0 2 . 9 9 8 1 0 4 . 2 2 . 02 1 0 1 . 6 0 2 1 0hcT W e V 当动能 T=0 时得到红限波长： 3 4 8 196 . 6 2 6 1 0 2 . 9 9 8 1 0 2 9 5 . 24 . 2 1 . 6 0 2 1 0hc nmW 1.6 具有 0.2nm 波长的电子和光子，它们的动量和总能量各是多少？ 解：微观粒子具有波粒二象性。对于一切粒子均满足： hp 故： 34 2 4 1 106 . 6 2 6 1 0 3 . 3 1 1 02 1 0hp k g m s 对于电子： 319.11 10em kg 22 000 22, 1 mE m c E m c m vc 2 2 22 2 4 2 4 2 4 2 2 2 2 20 0 0 02 2 2 211m v cE E c m c m c m v c p cv c v c 2 2 2 2 40E p c m c 相对论中的能量 -动量关系。 根据 上述 关系 ： 2 2 2 2 40E p c m c，可得： 2 2 2 4 2 4 8 2 3 1 2 8 40 ( 3 . 3 1 1 0 2 . 9 9 8 1 0 ) ( 9 . 1 1 1 0 ) ( 2 . 9 9 8 1 0 )E p c m c 1 4 58 .1 9 1 0 5 .1 1 1 0J eV 对于光子： 3 4 8 3 1 0 1 96 . 6 2 6 1 0 2 . 9 9 8 1 0 6 . 2 1 02 1 0 1 . 6 0 2 1 0hcE e V 1.7 计算下列粒子的德布洛意波长 (1) 动能为 100eV 的电子 ; (2) 动能为 10eV 的中子 ; (3) 速度为 1000m/s 的氢原子 . 解：粒子的德布洛意波长的计算公式： 2h h hp m v mT 319.11 10em kg 271.673 10pm kg 271 .6 7 4 1 0Hm kg 34 3 1 1 9 6 . 6 2 6 1 0 0 . 1 2 2 6 1 2 2 . 62 2 9 . 1 1 1 0 1 0 0 1 . 6 0 2 1 0h n m p mmT 34 2 7 1 9 6 . 6 2 6 1 0 0 . 0 0 9 0 5 9 . 0 52 2 1 . 6 7 3 1 0 1 0 1 . 6 0 2 1 0h n m p mmT 34 276 . 6 2 6 1 0 0 . 3 9 61 . 6 7 4 1 0 1 0 0 0h nmmv 1.8 质量 0.004kg 子弹以 500ms-1 速度运动，原子中的电子以 1000ms-1 速度运动 ,试估计它们 位置的不确定度 , 证明子弹有确定的运动轨道 , 可用经典力学处理 , 而电子运动需量子力学 处理。 （速度的不确定度是多少？） 解： 根据测不准关系： 4 x hxP ，或有 xx P h ，诸粒子坐标的不确定度分别为 : 子弹： 34 346 . 6 2 6 1 0 3 . 3 1 3 1 00 . 0 0 4 5 0 0hxmmv 电子： 34 7 316 . 6 2 6 1 0 7 . 2 7 3 1 09 . 1 1 1 0 1 0 0 0h mv 对于子弹由 不确定关系所决定的坐标不确定度远远小于实际测量的精确度（宏观物 体精确到 10-8m），其运动中的波动性可完全忽略，其坐标和动量能同时确定，即可用经典 力学处理。 对于电子不确定度所决定的坐标不确定度远远大于原子本身（原子大小数量级一般 为几十到几百 pm）。电子运动中的波动性不能被忽略，应该用量子力学进行处理。 1.9 用测不准原理说明普通光学光栅 (间隙约 10-6m)观察不到 10000V 电压加速的电子衍射。 解： 根据不确定度关系，电子位置的不确定度为： （ =2xp meU 的理解？） 34 3 1 1 9 4 11 6 . 6 2 6 1 0 2 2 9 . 1 1 1 0 1 . 6 0 2 1 0 1 0 1 . 2 2 6 1 0 x hhx p m eU 这个不确定度约为光学光栅间隙的 10-5 倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约 为光学光栅间隙的 10-5 倍，显然，用光学光栅观察不到电子衍射。 （从第一衍射极小值的偏离角的角度分析见 周公度习题集 1-9 解答过程） 1.10 小球的质量为 2mg , 重心位置可准确到 2m, 在确定小球运动速度时 ,讨论测不准关 系有否实际意义 ? 解 : 根据不确定度关系，小球速度的不确定度为： 34 22 666 . 6 2 6 1 0 1 . 6 6 1 02 1 0 2 1 0hv mx 对于小球由不确定关系所确定的速度不确定度远远小于实际测量的精确度，其运动中的 波动性可完全忽略，其坐标和动量能同时确定，所以在这种情况下讨论测不准关系没有实际 意义。 1.11 一个粒子的某状态波函数为 21/ 42() axax e ， a 为常数， ,x 证明 xxp 满足测不准关系。 证明： 解法一： 根据测不准关系： 若 ,AB为厄米算子， 为归一化的波函数，则有： 11,22A B A B d A B （等式两边只是积分符号的简写表示） 其中， ,AB 为对易子， 表示取积分的复数模 ( ,AB 一般情况为复数 )。 , xxp为厄米算子， 21/ 42() axax e (一维谐振子的零级波函数 )也为归一化 的波函数。 （ ） 又有 , xx p i 由上述表达式有： 1 1 1,2 2 2 2 x x xx p x p d x p i 故， xxp 满足测不准关系 证明测不准关系的表达式： i. 预备的知识点： 方差和标准差的定义 设 A 为厄米算子， 为归一化的波函数 方差： 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )A A A d A A A A 标准差： A ，方差的正平方根。 方差的计算表达式 2222 12axxx aad x e d x a 222 2 2 2 1 / 20 0 0 01 1 1 12 2 ( )2222a x a x a y a y ze d x e d x e d y e d y z e d z ay a a , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xx p x x p x p x x x i x i x x i xxx 22 2 2 2( ) ( )A A A A d A d 证明： 22 2 2 2 2 22 2 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 22 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 柯西 -施瓦茨 (Cauchy-Schwartz)不等式 : 21 1 2 2 1 2 其中 12 为内积 （证明见线性代数） 类比理解： 向量的内积： cosa b a b 显然 a b a b 2 2 2a b a b 2,a a b b a b 复数的相关知识： Z a ib 则： Z a ib ， 2Z Z ib ii. 证明： 条件： ,AB为厄米算子， 为归一化的波函数 22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A A A A A A A A A A A 为厄米算子， A 为一实数， ()AA 也为厄米算子 由厄米算子的性质可得 ( ) ( ) ( ) ( )A A A A A A A A 其中 ()AA 整体看成一个新的函数。 同理： 2( ) ( ) ( )B B B B B 利用柯西 -施瓦茨 (Cauchy-Schwartz)不等式 ： 222 ( ) ( )A B A A B B 复数 得证。 注：上 式已经说明： ,0AB时，力学量不能同时被测定， AB 满足测不准关系。 故，该题实际上证明 , 0 xx p i即可说明 xxp 满足测不准关系。 ( ) ( )B A A B B 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1( ) , 2 2 2 mA B I A A B B A A B B B B A A A B A B B A A B B A B A A B B A A B B A A B B A A B * 应用公式 22A A A 分别求出 , xxp，证明 0 xxp 即可。 解法二： 最好且最容易接受的方法 22 14x x x a 22x x xp p p a 故 xxp 满足测不准关系。 1.12 判断下列算符是否是线性厄米算符： （ 自变量的取值范围应该为： ( , )x ） （ 1） ddx （ 2） 2 （ 3） 12xx （ 4） 2xe 一个算符如果满足乘法分配律，则称为线性算符。即： 1 2 1 2R R R 11R c cR R 如果满足下式，则称为自共轭算符，即 1 2 2 1()R d R d （ 12 21RR -类比于 共轭矩阵 ， 1 2 2 1 2 1( ) ( )R d R d R d 自共轭算符满足： 1 2 1 2R d R d ） （ 1） i.算符 ddx 满足 1 2 1 2 c = cd d d d dd x d x d x d x d x 且 故，算符 ddx 为线性算符。 2 2 2 1 / 4 1 / 4 2 2 2 2 2 11 22 22 0 0 0 2 2 2( ) ( ) 8 2 1 1 3 1 1z ( ) 2 2 42 2 2 a x a x a x a y a y z a a ax x x x d x x d x x d x aa d y y d y d z aa a a e e e ye e e 2 2 2 2 2 2 2 2 1 / 4 1 / 422 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 1 12 ( ) 2 ( 2 ) 4 ( 2 22 ( a x a x a x a x x a x a x a x a x a y d a d a a dp x x d x d x a x d x d x d x d x a d a aa x d x a a x d x a d y a y dx yy e e e e e e e e e 200 2 2 21 1 1 32 ( ) 2 ( ) 22 ay dy a a a e 2 2 21 / 4 1 / 4 22 2 2( ) ( ) =0a x a x a xa a ax x x x d x x d x x d xe e e 2 2 21 / 4 1 / 4 222 2 2( )( ) ( ) ( ) 2 0a x a x a xx d a d a ap x i x d x i d x i a x d xd x d xe e e 142xx p aa ii. 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1ddd x d d d xd x d x （应用了分部积分以及波函数平方可积的性质） 综上，算符 ddx 为线性算符但非厄米算符。 （ 2） i.算符 2 2ddx 满足 2 2 2 2 2 1 2 1 22 2 2 2 2c = cd d d d dd x d x d x d x d x 且 同理 2 2ddy 和 2 2ddz 也存在上述关系，故算符 2 为线性算符。 ii. 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 12 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 12 ddd x d d d x d x d x ddd d d x d x d x （应用了分部积分以及波函数单值、连续、平方可积的性质） 同理 2 2ddy 和 2 2ddz 也存在上述关系，故算符 2 为厄米算符。 （ ） 综上，算符 2 2 22 2 2 2x y z 为线性厄米算符。 （ 3） 12xx i. 算符 12()xx 满足下面的关系： 算符 12()xx 为线性算符。（应用了 算子加法的定义 以及 1x 和 2x 分别为 线性算子的性质 ） ii. 故，算符 12()xx 为厄米算符。 综上，算符 12()xx 为线性厄米算符 （ 4） 2xe i. 算符满足下面的关系： 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )( ) c = c c ( )x x x x x x x x x x x xx x x x c x c x c x x 且 2 2 2 2 2 221 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 0 0 0() d d dd d d x d y d zx y z d x d y d z 2 2 22 2 2 2 2 2 2x y z x y z 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 () ( ) ( ) x x d x x d x x d x x d x x d x x x d x x x d x 2 2 2 2 21 2 1 2 c = cx x x x xe e e e e 且 算符 2xe 为线性算符。 ii. 故，算符 2xe 为厄米算符。 综上，算符 2xe 为线性厄米算符 故，（ 2）、（ 3）、（ 4）均为线性厄米算符。 说明：若 (3)中 12,xx不代表坐标函数，而代表复数向量，则 12()xx 为一复数，将不再 满足厄米性质！ 1.13 下列函数是否是 ddx 的本征函数？若是，求其本征值： （ 1） ikxe （ 2） coskx （ 3） k （ 4） kx ikx ikxd e ikedx ikxe 是算符 ddx 的本征函数，本征值为 ik c os sind kx k kxdx coskx 不是算符 ddx 的本征函数 00d kkdx k 是算符 ddx 的本征函数，本征值为 0 d kx kdx kx 不是算符 ddx 的本征函数 1.14 氢原子 1s 态本征函数为 0/1 ras Ne （ a0 为玻尔半径），试求 1s 态归一化波函数。 解： 球极坐标中 2 sind r drd d 根据题意，求 1s 态归一化波函数，即 11 1ssd 0 0 0 32 2 / 2 / 2 /2 2 2 2 2 3 2 2 3 2001 1 00 0 0 0 0 0022s i n 4 4 ( ) ( ) ( 3 ) 122r a r a r ass aa rrd N e r d r d d N e r d r N e d N a Naa 30 1N a 故： 1s 态归一化波函数为 0/1 30 1 ras ea 注解： 函数的相关知识点 数学分析中 函数定义为 1 0( ) , 0txx e t dt x 几个重要的性质 (1) 1 2 2 21 2 1 2 2 1= ( )x x xe d x e d x e d x ( 1) ( )z z z ( 1 ) ! , 0 ,1, 2 ,n n n ( ) (1 ) sinzz z 1()2 121 2 1( 2 ) 2 ( ) ( )2zz z z 1.15 已知一维谐振子的本征函数为 222)1()( ）（）（ ）（ xnnxnnn exd dea 其中 an 和 都是常数，证明 n=0 与 n=1 时两个本征函数正交。 解： n=0 时， 2220 0 0( ) 2xxxa e e a e （ ） （ ）（ ） n=1 时， 222 1 1 1( ) 2() xxxda e e a x e dx （ ） （ ）（ ） 2 2 2 20 1 0 10 1 0 1 42( ) ( ) 4 0 x y ya a a ad x a a x e d x y e d y e d y （ ） 故： n=0 与 n=1 时两个本征函数正交 。 1.15 已知函数 1 sin( )nxa ， 2 cos( )nxa ， na、 为常数，证明两个函数相互正交。 证明： 12 12s i n ( ) c o s ( ) s i n ( ) 02n x n x n xd x d x d xa a a 故，两个函数相互正交。 1.16 判断下列函数的奇偶性： cos sin cos xAe 2xx 解：函数的奇偶性质：奇函数 ( ) ( )f x f x 偶函数： ( ) ( )f x f x cos( ) cos cos 是偶函数 1sin c os sin 22 sin ( 2 ) sin 2 sin 是奇函数 均不关于原点和 y 轴对称，故非奇非偶 1.17 计算 Poisson 方括 , xpx , , 2 xpx 解： , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x xx p x x p x p x x x i x i x x i xxx , xx p i 22 , , , 2 2 ( ) 2x x x x x x x xx p x p p p x p i p p i i p i i xx 1.18 证明 Poisson 方括的下列性质 : (1) BCACBACBA , (2) 0, BACACBCBA 证明： , , , A B C A B C C A B A B C A C B A C B C A B A B C A C B 1.19 计算下列算符的对易子 2 1 / 2 1 / 2( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ,22d d x i p x i px x a a a ad x d x 解： ,d d dx x x d x d x d x ,1d x dx 2 2 2, ( ) 2d d dx x x x d x d x d x 2,2d xx dx 另： 2, , , 2d d dx x x x x x d x d x d x 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2, 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) 22 x ip x ip x ip x ipa a a a a a d d d dx x x x d x d x d x d x ,aa 1.20 角动量算符定义为 : yzx zpypL , zxy xpzpL , xyz ypxpL 2222 zyx LLLL 证明 : (1) zyx LiLL , (2) 0, 2 zLL 证明： ()xL i y zzy ()yL i z xxz ()zL i x yyx (1) 2 2 2 222 2( ) ( ) ( )xyL L i y z i z x y y z y x z x zz y x z x z x z y x y z 2 2 2 222 2( ) ( ) ( )yxL L i z x i y z z y z x y x x zx z z y x z x y z y z y 2 , ( ) ( ) ( )x y x y y x x y zL L L L L L y x i y p x p i pxy 故得证 (2) 2 2 2 2 2 2 2 , , , , , , , , , 0 z x y z z x z y z z z x x z x z x y y z y z y x y y x y x x y L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L i L L i L L i L L i L L 得证 1.21.在什么条件下 22 )()( qpqpqp ? 解： 2 2 2 2 ( ) ( ) , p q p q p q p p q q p q q p 使得 22 )()( qpqpqp 成立，则 , 0qp 故当满足 ,pq两算符可对易，即 两物理量可同时测定 时，式子成立。 1.22 计算下列波函数动量平均值 2(1 ) ( 2 ) c o s ( 3 ) xikx kx ee 解： 根据平均值的定义： x pdp d ( ) ( ) () ikx ikx x ikx ikx e i e d xxpk e e d x 2 (co s ) ( ) co s s i n 2 0 (co s ) co s 2 co sx kx i kx d x i k kx d xxp kx kx d x kx d x 22 22 2 2 2 2 2 2 2 0 22222 02( ) ( ) ()2 0( ) ( ) ( ) xx yyxx x x x x x x x x e i e d x i e d y e d yi e d xi xe d xxp e e d x e e d x e e d x e d x 1.23 已知作圆周运动的粒子归一化波函数为 1 2() ime ，其中 m=0, 1, 2, 3 02 ,计算平均值 解：根据平均值的计算公式： 222 0 0 ( ) ( ) 1 1 1() 2 2 2 2( ) ( ) i m i m d e e d d 1.24 已知一维势箱粒子的归一化波函数为 2( ) sinn nxx ll n=1, 2, 3 (其中 l 为势箱长度 ) 计算 (1)粒子的能量 (2)坐标的平均值 (3)动量的平均值 解： 回顾一维势箱粒子的归一化波函数的推导： Schrdinger 方程 HE 故有： 解得波函数的通解为： 再考虑边界条件，得到一维势箱粒子的归一化波函数： 对比通解 与 ()nx 得到： 故有 228 0d mEdx h 22 1288c o s s i nm E m Ec x c xhh 2 2 2 228 mE nhl 22 28nhE ml 对于此题，已知波函数，直接利用 即可求出能量 E 。 （ 2）坐标的平均值 动量的平均值 1.25 试比较一维势箱粒子 (波函数同上题 )基态 (n=1)和第一激发态 (n=2)在 0.4l0.6l 区间内出 现的几率。 基态： n=1 时 粒子在 0.4l0.6l 区间内出现的几率： 第一激发态： n=2 时 粒子在 0.4l0.6l 区间内出现的几率： 1.26 已知三维势箱自由粒子的波函数为 ，求归一化 因子 A。 解： 由归一化条件知： 2 00 2 2 222 022 00 0 21 co s 22( ) ( ) s i n 2 22 ( ) co s s i n co s 4 2 2 2 2 ll nn l n nn nx nx lx x x x d x x d x x d x l l l x l l l ly yd y y y y l l n n 0 2 00 2( ) ( ) s i n ( ) s i n 2s i n co s 0 2 l x n x n l n n x d n xp x p x d x i d x l l d x l i n n x id x y l l l l 1 2( ) sin xx ll 2 22( ) sin xx ll 0.60.6 2 11 0 . 4 0 0.4 1.2 0.8 21 co s 2 2 2( ) ( ) s i n 22 1 s i n 0 . 2 0 . 1 8 7 0 . 3 8 7 2 lll l l x xx lP x x d x d x d x l l l l l y l 0.60.6 2 22 0 . 4 0 0.4 2.4 1.6 41 co s 2 2 2 2( ) ( ) s i n 22 1 s i n 0 . 2 0 . 1 5 1 4 0 . 0 4 9 4 lll l l x xx lP x x d x d x d x l l l l l y l ( , , ) s i n s i n s i nyxzx y z nyn x n zA a b c ( , , ) ( , , ) 1x y z x y z d xd yd z 2 22 dHEm dx 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2( s i n ) ( ) s i n s i n2 2 8 8d d n x h n n x n h n xm d x m d x l l m l l l m l l l 22 28nhE ml 故： 即： 1.27 当粒子处在三维立方势箱中 (a=bc),试求能量最低的前 3 个能级简并度。 解： 三维势箱中粒子能量的表达式为 当 a=bc 时， 当 1x y zn n n 时体系处于基态 （非简并态） 当 1, 2x y zn n n 时体系处于第一激发态 （非 简并态） i. 2 , 1 ; 2 , 1x y z y x zn n n n n n （二重简并态） ii. 1, 3x y zn n n （非简并态） 当 即 时为 i 情况； 当 即 时为 ii 情况； 当 即 时体系为三重简并。 1.28. 写出一个被束缚在半径为 a 的圆周上运动的质量为 m 的粒子的薛定锷方程，求其解 。 解： 222 2 2 2 21 1 1 ( ) ( s i n ) ( )2 s i n s i nr V r Em r r r r r 其中 ( , , ) ( ) ( ) ( )r R r ( ) 0; ; 2V r r a ()Rr ， () 均为实数函数 2 2 2 2 ( , , ) ( , , ) 0 0 0 2 s i n s i n s i n 12 2 2 a b cyxz x y z x y z nyn x n zd xd yd z A d x d y d z a b c a b cA 8A abc 22 2 2 2 2 2()8 yxzx y z nh n nE E E E m a b c 2 2 2 2 2 ( 2 ( ) )8 xzhaE n nm a c 22 0 48hhE ma mc ( 1)ac 22 1 42hhE ma mc 22 2 588hhE ma mc 22 2 948hhE ma mc 22EE 3 18 ac 22EE 38ac 22EE 38ac 2 2 ()2H T V V rm 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1c o t s i nx y z r r r r r r 22 222 Ema 即 222 0ma E 上式即为满足题意的 薛定锷方程 。 上式属于二阶齐次线性微分方程，其特解为： ( c o s s i n )inA e A n i n 通过波函数归一化可求得 A 值，即： 2 2 22 2 2 0 0 0( ) 2 1i n i n i n i nd A e e d A e e d A 故： 12A 由边界条件知： ( ) ( 2 ) 即： 11( c o s s i n ) c o s ( 2 ) s i n ( 2 ) 22n i n n i n 必须有 0,1,2,n ，即 n 必须为整数。 综上，方程的解为： 1 2 ine ( 0, 1, 2 )n 又 2 22ma En 22 22nE ma ( 0, 1, 2 )n 1.29 一个细胞的线度为 10-5m， 其中一粒子质量为 10-14g。按一维势阱计算，该粒子在 n1=100, n2=101， 能级各多大？ 解： 一维势阱的能量表达式为： 其中 ， 当 时， 当 时， 1.30 一个氧分子封闭在一个盒子里，按一维势阱计算（势阱宽度 10cm） （ 1）氧分子的基态能量是多少 （ 2）设该分 子 T 300K 时平均热运动能量等于 3/2kT，相应量子数 n 为多少？ (3) 第 n 激发态与第 n+1 激发态能量相差多少？ 22 28nhE ml 510lm 1710m kg 1 100n 375.49 10EJ 2 101n 375.60 10 22 28nhE ml 解： 一维势阱的能量表达式为 其中： 当 时，体系处于基态，能量为 T 300K 时分子具有的能量为 由 (3) 1.31. 若用一维势箱自由粒子模拟共轭多烯烃中 电子 , (a)丁二烯 (b)维生素 A (c)胡萝卜素 分 别为无色、桔黄色、红色，试解释这些化合物的颜色。 解： 如上图各分子的结构式，可以看出各分子形成了 44 ， 1010 ， 2222 大 键 ，其基态占据 的分子轨道数分别为： 2; 5; 11n n n ；对于一维势箱粒子中的电子从基态到第一激 发态的跃迁，相应的能量差为： 相应的波长等于： 由于 一维势箱的长度以 2l 影响波长，所以随着共轭链的增加， 吸收 光波长红移。所以 对于无色， 吸收 光应该在紫外区域 ，根据互补色光可知：桔黄色和红色物质的吸收光 为绿蓝色 (480-490nm)和蓝绿色 (490-500nm)，吸收光波长红移 。 1.32 若用二维箱中粒子模型 , 将蒽 (C14H10)的 电子限制在长 700pm, 宽 400pm 的长方箱中 , 计算基态跃迁到第一激发态的波长 . 解： 二维势箱中粒子能量的表达式为： 对于蒽分子共有 14 个 电子，基态要占据能量最低的 7 个 轨道 ，那么基态跃迁到第一 激发态即为 78 的跃迁。 根据粒子能量表达式，可以得到蒽分子在二维箱中，能级图为： 2 2109392chh mb 即 260 . 1 , 3 2 5 . 3 5 2 5 1 0pl m m m k g 1n 401.025 10EJ 2 3 2 13 1 . 5 1 . 3 8 1 1 0 3 0 0 6 . 2 1 4 5 1 02E k T J 2 9 28 7 .7 8 5 1 0m l En h 2 2 2 2 30 22 ( 1 ) ( 2 1 ) 1 . 6 1 088n n h n hEJm l m l 22 2 2 2 2 2 2 2 2 4( ) ( ) 8 8 7yxx y x ynh n hE E E n nm a b m b 222 2 2 87 4 4 1 0 9 ( ) 5 1 ( ) 9 48 7 7 3 9 2hhE E E m b m b cEh 2 2 2 2 2 1 2 2 2( 1 ) ( 2 1 )8 8 8nn n h n h n h cE E E hm l m l m l 2288( 2 1 ) ( 2 1 )m c l m c ln h h n 2 3 1 1 0 2 8 7 343 9 2 3 9 2 9 . 1 1 1 0 ( 4 1 0 ) 2 . 9 9 8 1 0 2 . 3 7 1 0 2 3 71 0 9 1 0 9 6 . 6 2 6 1 0m b c m n mh
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