弦截法在天然河道中的应用

弦截法在天然河道水面曲线计算中的应用摘要：本文提出了用弦截法来解决天然河道水面曲线的计算方法，对以前的水面曲线计算做了一定的改进。这种算法具有迭代过程简单、收敛速度快、精度高等优点。文中构造出了迭代函数，考察了弦截法的有效性，并给出了计算步骤和算例。关键词：弦截法，试算法，水面线，伯努利能量方程、天然河道水面曲线的计算，就是根据河道地形、纵横断面资料和河道糙率，推求河段在某一流量下各横断面处的水位值，据此即可连出一条对应于该流量的水面曲线。在河道上修建拦河坝、水闸或桥梁等水利工程，会使上游水位抬高，可能会造成部分城市、工矿及农村淹没，为了估计淹没范围需计算壅水水面沿河段的高度，即计算水面曲线；河道疏浚、截湾、分流等工程设计也需进行天然河道水面曲线的计算；在沿河防洪工程规划设计中需计算各设计流量对应的洪水水面曲线；根据河道的预报流量推求相应的水面曲线，为堤防的防洪抗洪措施提供重要的决策支持。由此可见，河道水面曲线的计算不仅是河道水力学计算中的重要问题，而且具有广泛的工程应用背景。目前，计算河道水面曲线的常用方法是试算法和图解法，这类方法沿河道顺序逐段推求各计算河段横断面的水位值，存在各计算河段的误差累积问题，也不便控制全河段总计算误差。为此，本文提出了通过弦截法来实现伯努利能量方程的求解,来达到准确高效的目的。1.试算法的原理 为了求解河道水面线的形状，人们通常沿河道水流方向取若干个断面，并有已知断面推算各个断面的水利要素，最后将各个断面的水位点光滑的连接起来便形成了河道的水面线，河道水面线的计算法有试算法和图解法两种，由于计算机的广泛应用，试算法已经成为计算水位线的常用方法，试算法的基本思想是把常微分方程变成差分方程，假设各个流段内的水利要素成线性变化，然后通过差分方程从已知断面依次求解其他各个断面的水利要素，将微分方程转换成差分形式可得 （1）式中 （2） （3） （4）下标和为上游断面和下游断面的标识符。将式（2）整理后移项得 （5）令 （6） （7）通过以上方程，如果知道河道某一断面的水利要素，可将其值代入或 进行计算，使 =，从而求解下游或（上游）。2.数值求解方法2.1常规计算方法假设计算流段内过水断面的形状、尺寸、糙率系数以及底坡变化不大，计算流段内无支流流入或流出。计算各断面间的距离长度适宜，相邻断面之间的水深不超过某一限定值 (如)。如希望计算值与实际值的误差，即：，其中： x为计算值，为真值，对于固定步长的计算方法可表示如下：取；依次取 直至。 此时，取即为所求断面的水位。以上求解水面线的方法是采用相同的步长，通过逐步试算直到求出满足条件的水位为止。该方法的计算思路明确，算法简单，但如果精度要求高，计算所需要的次数也较多，计算的效率较低，特别是河道较长，计算断面取得过多时，需要耗费大量的计算时间。2.2 弦截法的计算方法2.2.1 弦截法的计算原理对于这种方程的求根方法，我们采取了弦截法来获得一个尽可能精确地解。下面是弦截法的原理。弦截法是在牛顿法的基础上，做了部分改变，(利用差商近似代替导数)从而避免了需要计算导数值的麻烦。牛顿法的优点是收敛的速度快。因此，弦截法是一种非常可取的算法。为了避免导数的计算，建立在 （8）之上，得到离散形式 （9）（9）式的几何解释如图一所示，曲线上的横坐标为的点记作，则差商表示弦线的斜率。xyxP 容易看出，按公式（9）求得的实际上是弦线与轴的交点。为了考虑一种算法的有效性，需讨论它的收敛性和收敛速度。直接对迭代函数 （10）求导得 （11）当充分接近时，故弦截法是线性收敛的。因此，可以确定弦截法是收敛的，且具有线性收敛速度。2.2.2 河道水面线的计算河道洪水水面线常规算法认为河道水流是恒定的、渐变的、等流量的，并采用能量方程式作为基本公式，这种简化是能够满足一般工程要求的。考虑河道水位高程是不规则变化的，用水位变化来表征水面线更为方便直观。根据伯努利能量方程式的理论，推算水面线的基本公式为： （12）式中： 断面n的水位和流速； 断面的水位和流速； 断面到断面之间的水头损失； 沿程水头损失； 单位长度上水头损失； 断面和断面的平均流速、平均流速系数、平均水力半径(一般用平均水深代替水力半径)； 两断面间的距离； 局部水头损失 ； 河段的局部阻力系数;在顺直河段及收缩河段，逐步扩散河段,急剧扩散河段.将(12)式移项整理得到： （13）（13）式中，,均为已知，流速是一个与有关的变量，记作。令 （14）即求出一个，使得在已知的前提下，成立，这就转化成了一个方程求根的问题了。2.2.3 计算步骤（1） 准备：选取合适,，计算出。（2） 迭代：按公式 （15）迭代一次，得到新的近似值，计算。（3）控制：如果满足，则终止迭代，以作为所求的解。否则继续步骤（1）。3. 工程应用举例 如图1所示，已知渠道全长，渠道断面为梯形，边坡系数，底宽，底坡，过流量,闸前水深，计算的正常水深，临界水深，试推求此渠道的水面曲线。3.1 基础值的计算及结果设渠道水深接近均匀流水深，即，已知闸前水深，将渠道长分成5等分，根据以上两个水深，相应的，河面宽度，。3.2 水面曲线计算把渠道看做是均匀变化的，则有，。将以上各值代入式（14），分别解得，。并以个断面的计算结果绘制出整段渠道的水面高度曲线（如图1所示）。图1 弦截法得到的水深随渠道变化图3.3 结果分析 该图是通过matlab作图，利用弦截法得到的水深随渠道变化趋势，我们发现，在一定范围内，水深的变化时有规律可循的，因此是可以被推算出来的。我们把所研究的渠道分为五段，并找出了这五段的线性规律，而实际上，水深的变化并不完全是呈线性的。可能只在某一部分呈规则的线性变化。我们有信心利用我们的算法，能在任何给定的条件下，都可以很方便的予以解决。 4.结论试算法是求解天然河道和不规则渠道水面线的常用方法。但在解决实际问题中有很多不能避免的缺陷，因此我们进过讨论，一致认为弦截法在解决这类问题中运算更简单，与计算机的批量处理结合的更紧密，操作起来更方便。 在计算天然河道水面线时，用代替了，回避了对求导，是运算更简单。在解决具体问题时，我们要考虑的各种水利要素的影响，我们的算法能够添加各种水利要素参数，包括气候条件，风速的影响。具有很强的扩展性。参考文献1.王能超.数值分析简明教程（第二版）高等教育出版社，20112.姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.第三版.北京：高等教育出版社，20033.万五一，江春波，李玉柱.变步长法在天然河道水面曲线计算中的应用.哈尔滨大学学报2007,（4）：394.任苇.天然河道水面线能量方程的牛顿迭代法求解.陕西水利水电技术.2002.2，,475.涂传德.牛顿迭代法计算渠道非均匀流体水面曲线.重庆学报.1987，4：89