立体几何(传统方法)

立体几何（传统方法）知识精要1 直线与平面问题，主要是对空间中的直线与平面的位置关系、距离、角以及它们的综合 问题进行研究这些问题往往与代数、三角、组合等知识综合，因而在解题过程中，要 力求做到概念清晰，方法得当，转化适时，突破得法2四面体是一种最简单的多面体，它的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得 来较复杂的多面体常转化为四面体问题加以解决解决这一类问题的所常用的数学思 想方法有：变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等方法3解决旋转体的有关问题要注意截面的知识的应用在解决球相切问题时，注意球心连线 通过切点，球心距等于两球半径之和因此，研究多球相切问题时，连结球心，从而转 化为多面体问题例题 1 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条，使得其中任意两条线段所在直线都 是异面直线，求k的最大值.解答 考察如图所示的正方体上的四条线段 AC， BC1， D1B1， A1D ，它们所在直线两两都是异面直线又若有5 条或 5 条 以上两两异面的直线，则它们的端点相异且个数不少于10， 与正方体只有8个顶点矛盾.故K的最大值是4.练习 1 在正方体的 8 个顶点、12 条棱的中点、6 个面的中 心及正方体的中心共计 27 个点中，问共线的三点组的个数 是多少 解答 两端点都为顶点的共线三点组共有 =28个；两端点都为面的中心共线三点组共 有与1 = 3个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有耳3 = 18个，且没有别的类型的共线三点组，所以总共有28 + 3 +18 = 49个.例题2已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于J，求sin a .所以 sin a二 sin ZADHAH丁解答 如右图所示，平面 BCD 与正方体的 12 条棱的夹角都 等于 a ， 过 A 作 AH 垂直平面 BCD. 连 DH， 则 a =ZADH .设正方体的边长为b则练习2如图所示，正四面体ABCD中，E在棱AB 上, F在棱CD上，使得解答当P-ABC为三棱锥时，x的最小极限是P、A重合，取值为0若APBC绕BC顺时针旋转，PA变大，最大极限是P、A、B、C共面时，PA为菱形ABPC的对角线，长度为珂.所 以无最值练习3若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱否有最值解答若P在底面的射影为O,易知PO越小，侧棱越小.故P、O重合时，侧棱取最小极限 3值亍，PO无穷大时，侧棱也无穷大所以无最值.例题4在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D/最短，求 AP+D1P的最小值.解答将等腰直角三角形AA.B沿A.B折起至AAB，使三角形AAB与四边形A1BCD1共 1 1 1 1面，联结AD，则AD的长即为AP+D1P的最小值，所以，11AD = f 12 +12 一2xlxlxcos135o = ：2 + 嘗21练习4已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1的对棱BBD1上有两个动点E、F，BE=D1F=九(0 X -).设EF与AB所成的角为Q ,与BC所成的角为0，求O +卩的最小值.1兀解答当九=-时，么+卩=-不难证明a + p= f(k)是单调减函数因此a + p的最小 兀值为.例题 5 在正 n 棱锥中，求相邻两侧面所成的二面角的取值范围解答 当顶点落在底面的时候，相邻两侧面所成的二面角为兀.当顶点在无穷远处的时候，(n 一 2)兀正n棱锥变为正n棱柱，这时相邻两侧面所成的二面角为n练习5已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3,角BAD=6Oo，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，求MN的中点P的轨 迹（曲面）与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积.解答 联结DP、DN,在三角形MDN为直角三角形，且DP=MN/2=1,又由已知角BAD=60o, 角ADC=12Oo,所以点P的轨迹以点D为球心，半径为1的1/6球面，所以其与顶点D以及1 42三个面围成的几何体的体积为：x戸兀x13 =兀.6 39