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2022-11-31,2,1,)(ipxXPiiiiipx.)(iiipxXE1.1.离散随机变量的数学期望离散随机变量的数学期望定义定义:设离散随机变量X的概率函数为若级数绝对收敛则随机变量X的数学期望数学期望(简称期望期望或均值均值)为否则，称X的数学期望不存在.),),|(iiipx即即数学期望数学期望2022-11-32注注1 E X 是一个常数是一个常数,它是一种它是一种加权平均加权平均.与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了它从本质上体现了X 取取可能值的可能值的真正的平均值真正的平均值,也称也称均值均值.注注2 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不随保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变级数各项次序的改变而改变.因为数学期望是反映随机变量因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的取可能值的平均值平均值,它不因可能值的排列次序而改变它不因可能值的排列次序而改变.)(iiipxXE数学期望数学期望2022-11-33则X的数学期望数学期望（或均值均值）为 .)()(dxxxfXEdxxxf)(绝对收敛2.2.连续随机变量的数学期望连续随机变量的数学期望若积分否则，称X的数学期望不存在.,dxxf|x|)(即定义定义.设连续随机变量X的概率密度为f(x),2022-11-34任一随机变量X都有数学期望（或均值）吗？反例：反例：设X服从柯西分布(Cauchy distribution),.,)1(1)(2xxxf求数学期望E(X).解:.（不绝对收敛）（不绝对收敛）不存在不存在密度函数为dxxfx)(dxxx1120212dxxx02)1ln(1x)1ln(lim12xx思考思考2022-11-35定理定理 设X是一个随机变量,Y g(X),则 当X为离散型时,P(Xxi)pi,(i 1,2,);为连续型.为离散型;XxxfxgXpxgXgEYEiii,d,当X为连续型时,X的密度函数为f(x).随机变量函数的数学期望：公式法随机变量函数的数学期望：公式法2022-11-36数学期望的性质数学期望的性质；为常量CCCE,)()1(；为常量则存在若CXCECXEXE),()(,)()2(；，)()()()()()3(YEXEYXEYEXE则存在与若，为常量存在若nC,2nCCXEXEXE121)(,),()()3(，存在与相互独立与若)()()4(YEXEYX；niiiniiiXECXCE11)()(则.)()()(YEXEXYE则2022-11-37例例.设X服从超几何分布H(n,M,N),求E(X).问题还原：设有一批产品共N件，其中有M件次品和N-M件合格品，不放回地抽取n件样品，n件样品中的次品数X的数学期望。求抽出的解：设Xi表示第i次取出的样品中的次品数，则Xi服从“0-1”分布：iXip01NMN NMni,2,12022-11-38Xi的数学期望)(iXE则X的数学期望niiXX1)E(X 常见的基本方法：常见的基本方法：可以将一个比较复杂的随可以将一个比较复杂的随机变量机变量 X 拆成有限多个比较简单的随机变量拆成有限多个比较简单的随机变量 Xi 之和之和,再利用期望性质求得再利用期望性质求得X的期望的期望.NMNMN10n次抽样中的次品数X,)(1niiXEniiXE1)(NMn.NnM.NM2022-11-39方差方差 (Variance 或或 Dispersion).XEXEXD2)()()(XD(),X 定义定义.设X是一随机变量，则称EX-E(X)2称为X的方差方差记作D(X)即方差的算术平方根称为 X 的标准差标准差，记作即).()()()(2XXDXDX或若EXE(X)2存在，2()X或2022-11-310注注:(2)方差D(X)用来体现随机变量X取值分散的程度,反映了X偏离其数学期望E(X)的程度.(3)如果D(X)值越大(小小)，表示X取值越分散(集中集中),以E(X)作为随机变量X的代表性越差（好好）.0;(1)由定义知，D(X)=EX-E(X)22022-11-311 方差的计算方差的计算 iiipXExXD2)()(,2,1,)(ipxXPXii的分布列为其中dxxfXExXD)()()(2(1)利用随机变量函数的数学期望公式离散随机变量的方差连续随机变量的方差).(的概率密度为其中xfX2022-11-312(2)利用方差公式.22)()()(XEXEXD)(XD)(2XEXE且E(X2)也存在,则证明:)()(222XEXXEXE22)()()(2)(XEXEXEXE.)()(22XEXE定理：设随机变量X的数学期望E(X)存在，2022-11-313；为常量CCD,0)()1(；为常量则存在,若CXDCCXDXD),()()()2(2则存在与且相互独立与若，)()()3(YDXDYX.)()()(YDXDYXD方差的性质方差的性质则为常量,相互独立,若n2C,C,121,)3(CXXXn.)()(121niiiniiiXDCXCD2022-11-314U(a,b)e(e()其其它它,0;,1)(bxaabxfP()2a b2()12b a!)(kekXPk 121B(n,p)(01)p pq np npqkkqpkXP1)(knknkqpCkXP)(1,10,1,0qppk1,10,1,0qppnk,1,0,0k,0;()0,0.xexf xx 常用随机变量的期望与方差常用随机变量的期望与方差分布分布分布列或密度函数分布列或密度函数期望期望方差方差2022-11-315原点矩与中心矩原点矩与中心矩1.k 阶原点矩：阶原点矩：)(kXE)(kXEXE2.k 阶中心矩：阶中心矩：特别地，k=1,E(X)为数学期望.k=2,EX-E(X)2为方差.k=2,E(X2)为2阶原点矩,其计算公式.22)()()(XEXDXE特别地，k=1,EX-E(X)=0.2022-11-3161.1.协方差协方差).()()(YEYXEXEX,Ycov协方差和相关系数协方差和相关系数.YEXEXYE)()()()(X,Ycov若若X与与Y相互独立，则相互独立，则X与与Y一定不相关一定不相关;注：两个随机变量独立与不相关的关系注：两个随机变量独立与不相关的关系不一定成立不一定成立.反之反之,X与与Y不相关不相关 cov(X,Y)=0.)(X,YR)()()(YDXDX,Ycov2.2.相关系数相关系数
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