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1 第四章 多變數函數的微分學 4.1 偏導數定義定義 4.1.1 極限值 ApVpfAp00)(lim)(pf2定理4.1.1 極限值的基本定理 (1)極限值的唯一性:若 存在，則 其值必為唯一。(2)若 且 (與 為常數)，則 且 為常數且 )(limpfAp)(limpfApmpgAp)(limm)(lim()(lim()()(limpgpfpgpfApApApmpgpfpgpfApApAp)(lim)(lim()()(lim0)(,)(lim)(lim)()(limpgmpgpfpgpfApApAp0mkkpfkpkfApAp,)(lim()(lim(Rk 3(3)若 為多項式函數，則 (4)若 為有理函數，則 其中 與 均為多項式函數 且 。(5)若 存在且點 以及點 ，則 反之亦然。)(pf)()(limAfpfAp)(ph)(pg)(pf0)(,0)(Agpg)(limpfAp),(yxP),(lim(lim),(lim(lim0000yxfyxfxxyyyyxx),(00yxA),(lim),(),(00yxfyxyx)()()()(lim)(limAgAfpgpfphApAp4 一般而言，我們可以利用下面所提供的方法判斷極限值是否存在:若點 及點 ，則(1)若 且 ，而且 ，則 不存在。(2)若 ，則 不存在。(3)若 ，則 不存在。),(yxP),(00yxA),(lim),(),(00yxfyxyxmyxfyxyx),(lim),(),(00m)(limpfAp),(lim),(lim0),(),(0),(),(000000yxfyxfyxyxyxyx)(limpfAp),(lim(lim),(lim(lim0000yxfyxfxxyyyyxx)(limpfAp5例1.試求下列各題的極限值。(1)若函數 但 ，試決定 。(2)若函數 但 ，試決定 。(3)若函數 但 ，試決定 。(4)若函數 但 ，試決定 。222),(,),(RyxVyxxyyxf)0,0(),(yx),(lim)0,0(),(yxfyx2),(,),(RyxVyxxyyxf)0,0(),(yx),(lim)0,0(),(yxfyx2),(,),(RyxVyxyxyxf)0,0(),(yx),(lim)0,0(),(yxfyx24422),(,),(RyxVyxyxyxf)0,0(),(yx),(lim)0,0(),(yxfyx6解:(1)我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則 若 ，則我們有 若 ，則我們有 得知 不存在 Rmmxy,),(yx),(lim)0,0(),(yxfyx4422)0,0(),(4422)0,0(),()()(limlimmxxmxxyxyxyxyx42)0,0(),(4442)0,0(),(1lim)(limmmmxxxmyxyx0m00101lim),(lim42)0,0(),()0,0(),(mmyxfyxyx211111lim),(lim42)0,0(),()0,0(),(mmyxfyxyx1m),(lim)0,0(),(yxfyx7 (2)我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則 Rmmxy,),(yx),(lim)0,0(),(yxfyxmxxmxxyxxyyxyx)(limlim)0,0(),()0,0(),()1(lim2)0,0(),(mxmxyx01lim)0,0(),(xmmyx8(3)我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則 若 ，則我們有 若 ，則我們有 得知 不存在 Rmmxy,),(yx),(lim)0,0(),(yxfyxmxxmxxyxyxyxyx)0,0(),()0,0(),(limlimmmmmyx1111lim)0,0(),(0m1010111lim),(lim)0,0(),()0,0(),(mmyxfyxyx2m212111lim),(lim)0,0(),()0,0(),(mmyxfyxyx),(lim)0,0(),(yxfyx39(4)我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則 若 ，則我們有 若 ，則我們有 得知 不存在 Rmmxy,),(yx),(lim)0,0(),(yxfyx4422)0,0(),(4422)0,0(),()()(limlimmxxmxxyxyxyxyx42)0,0(),(4442)0,0(),(1lim)1(limmmxmxmyxyx0m00101lim),(lim42)0,0(),()0,0(),(mmyxfyxyx1m211111lim),(lim42)0,0(),()0,0(),(mmyxfyxyx),(lim)0,0(),(yxfyx10 定義4.1.2 連續 函數 在點 連續 在上面的定義裡，我們有明確的數學定義，即 此時必須滿足下列三個條件:(1)函數值 存在(即點 必定在函數 的定義 域內)。(2)極限值 存在。(3)(即“極限值等於函數值”)。當然，倘若函數 在其定義域 中的任意點均連續，則稱函數 在 中為連續函數。)(pfA)()(limAfpfApApVAfpfAp00)()(lim)()(Afpf)(AfA)(pf)(limpfAp)()(limAfpfApfDDf11 定理4.1.2 連續的基本性質 (1)倘若 與 在點 均為連續函數，則 與 與 以及 (為常數且 )在點 均為連續函數。(2)倘若 為單變函數且 為多變數函數，使得 在點 連續且 在 連續，則合成函數 亦在點 連續。(3)多變數多項式函數與多變數有理函數在它們的定義 域內均為連續函數。ffgggAAA)(gf)(fg)0)(ggf)(kfkRk A)(AfgofA12 例3.試討論下列各函數的連續性。(1)若 且 (2)332),(yxyxyxf)0,0(),(yx0)0,0(f21),(xyxyxf13 解:(1)點 的定義域 又 考慮通過原點之直線 上的點 ，則 在點 之外均為連續。),()0,0(yxfRmmxy,),(yx332)0,0(),()0,0(),(lim),(limyxyxyxfyxyx333)0,0(),(332)0,0(),()1(lim)()(limxmmxmxxmxxyxyx0)0,0(13fmm),(yxf)0,0(14 (2)點 的定義域，且 又 在任何實數點 均為連續。)(),(00 xfyxRxV0Ry 0),(lim)0,0(),(yxfyx),(11lim000002)0,0(),(yxfxyxxyxyx),(yxf),(00yx15 4.2 偏導數與微分 定義.2.1 第一階偏導數 假設函數 被定義在點 的某個鄰 域 內，則函數 在點 對 的第一 階偏導數為 而函數 在點 對 的 第一階偏導數為 ),(yxf),(bapD),(yxfpxhbafbhafpfDh),(),(lim)(01),(yxfpyhbafkbafpfDk),(),(lim)(0216 定義4.2.2 第一階偏導數 假設函數 的定域義為 ，則函數 對 的第一階偏導數為 而函數 對 的第一階偏導數為 同理，函數 對 的偏導數為 。事實上，的偏導數還有其它的通用符號:),(yxfD),(yxfxhyxfyhxfyxfDh),(),(lim),(01),(yxfykyxfkyxfyxfDk),(),(lim),(02),(zyxfzyx,fDfDfD321,),(zyxfxffffDx11yffffDy22zffffDz3317例1.試求下列各函數的第一階偏導數。(1)解:(1)yxyxxyyxfsectancos),(yxxyxyyxfyxfD21sec21sin),(yxyxytansecyxyxxyxyfyxfD2232sec2sin),(yxyxyxtansec218定理4.2.1 倘若 為包含兩個自變數的函數，則 與 亦為包含兩個自變數的函數，而且 與 的第一階偏 導數 亦存在。定理.2.1 裡四個函數稱為函數 的第二偏導數，其常用的符號為 ffD1fD2fD1fD2)(),(1211fDDfDD)(),(,2221fDDfDDf11221111)()(ffxfxfxfDDfDxx1221212)()(ffxyfxfyfDDfDxy2122121)()(ffyxfyfxfDDfDyx22222222)()(ffyfyfyfDDfDyy19 同理，多變數函數的高階導數亦有其明確的定義，例如倘若 為包含三個自變數的函數，則我們將有九個第二階導數以及二十七個第三階導數，其他情況依此類推，例如1113322111111)()(ffxfxfxfDDfDxxx12322123123)()(ffxyzfxyfzfDDfDxyzyxzxyxzfxfDDfDf4321312131)()(2131ffyxzxf20例2.若 ，試求 ，與 解:xyzezyexzyxf2),(123fyxf2323yzf)2()(212xyzezyxeyxfyxyffxyzezxze12)21()(2221xyzezexxyfxyxffxyzezxze12yzxyzezxezzexyyfyyf22222)1()()12()(123123xyzezxzezfDfxyzyzezxyzexe2122)12()(223xyzezxzexyxfxyxfxyzezze12)()(222223yzezxzyfzyzfyzyzezyxzex222221定理4.2.2 假設 為包含兩個變數的函數，倘若 與 在二度空間某開區域 為連續，則 ;同理，倘若函數 的高階偏導數在某開區域 為連續，則 ，同理，倘若 的高階偏導數為連續函數，則我們有 ffD12fD212RfDfD2112f2R221212122112121211,ffffff221111222112122121211212ffffff),(zyxf3211311231212311211321311132131213211132112312131231231213132123fffffffffffffffff22例3.若 ，若 而且 ，試 證明 與 均存在但不相等。證明:2222)(),(yxyxxyyxF)0,0(),(yx0)0,0(F)0,0(12F)0,0(21FxyxFyxF),(),(1222223222)(2)()3)(yxxyxxyyyxyx2225324)(4yxyyxyxyyxFyxF),(),(2222222322)()2)()3)(yxyyxxyxyxyx22245)(5yxxyx23 我們得證 000lim)0,0()0,(lim)0,0(001hhFhFFhh000lim)0,0(),0(lim)0,0(002kkFkFFkkkFkFFk)0,0(),0(lim)0,0(1101210)(lim450kkkkhFhFFh)0,0()0,(lim)0,0(2202110)(lim450hhhh)0,0()0,0(2112FF24 定義4.2.3 可微分(的)假設 為 與 的函數且定義在點 的某個鄰域 ，倘若存在常數 以及 與 的函數 與，使得對任意向量 且 而言，恒有 (1)。(2)當 。則稱函數 在點 為可微分的。fxy),(baP DNM,hkj kihvDkbha),(khNkMhvpf21),(0limlim21)0,0(),(khfp25定義4.2.4 微分 假設 為 與 的函數且定義在點 的某個鄰域 ，倘若存在常數 以及 與 ，則對任意向量 且 而言，我們稱函數 在點 的微分或全微分為 因此，假設 為 與 的函數，而且其第一階偏導數 與 均存在，則函數 的全微分為 fxy),(baP NM,Dhkj ki hvDkbha),(fpkNhMvpdf),(kpfDhpfD)()(21fxy),(1yxfD),(2yxfD),(yxfdyyyxfdxxyxfyxdf),(),(),(dyyxfDdxyxfD),(),(2126 例4.試求函數 (即 )在各 定點 與向量 的全微分。解:jivpxyyxf),1,2(,tan),(11,1khpv22221)(1),(yxyxyxyyxfD2222)(11),(yxxxyxyxfDkpfDhpfDvpdf)()(),(215111221121222227定理4.2.3 倘若函數 在點 為可微分的(differentiable)，而且 ，則 證明:且 當 時我們有#fpj ki hv0),(),(lim)0,0(),(vvpdfvpfkhkhvpdfvpf21),(),(222221),(),(khkhhvvpdfvpf12210khh22220khk)0,0(),(kh)0,0(),(21vvpdfvpfkh),(),(lim)0,0(),(0)(lim222221)0,0(),(khkkhhkh28 由定理4.2.3，我們因此得到 亦即我們有 其中 。),(),(),(bafkbhafvpf),(vpdfkpfDhpfD)()(21),(),(),(vpdfbafkbhafkpfDhpfDbaf)()(),(21),(bap 29 例5.試利用微分法求 的近似值。解:設 則 ,取 則 即 22)03.4()98.2(22),(yxyxf221),(yxxyxfD222),(yxyyxfDkij kihvp03.002.0),4,3()03.4,98.2(f)03.0()4,3()02.0()4,3()4,3(21fDfDf22)03.4()98.2(012.5)03.0(54)02.0(53530 例6.一等腰三角形的三邊長為 呎、呎、呎且其頂角為 弳。倘若把此三角形的兩等腰 長增加一吋且頂角增加 徑，試問其面積 改變若干?解:兩腰長為 且頂角為 之等腰三角形的面積為 取 則其面積的改變量為 平方呎 3333602.0Axsin21),(2xxAcos21),(,sin),(221xxADxxADjij ki hvp)02.0(121),6,3(),(),(vpdAvpAkpADhpAD)()(21)02.0()6,3(121)6,3(21ADAD)02.0()6cos321(121)6sin3(2203.031 例7.倘若 ，若 而且 ，試證明 與 均存在，但是函數 在點 是不可 微分的。證明:取 4422),(yxyxyxF)0,0(),(yx0)0,0(F)0,0(1FD)0,0(2FDF)0,0(hFhFFDh)0,0()0,0(lim)0,0(01000lim0hhkFkFFDk)0,0(),0(lim)0,0(02000lim0kkj ki hvp),0,0(32 則 即不存在 由定理4.2.3得知 在點 為不可微分的。0)()(),(21kpFDhpFDvpdF)0,0()0,0(),(FkhFvpF4422khkhvvpdFvpFkh),(),(lim)0,0(),(224422)0,0(),(0limkhkhkhkh224422)0,0(),()(limkhkhkhkh),(yxF)0,0(P33 定理4.2.4 倘若函數 在點 為可微分的，則函數 在點 為連續。證明:函數 在點 為可微分的 取 ，則由定理7.2.3得知 即由定義7.1.2得知函數 在點 為連續。#f),(baP fPf),(baP j kihv0),(),(lim)0,0(),(vpdfvpfkh),(),(),(vpfbafkbhaf),(lim)0,0(),(kbhafkh),(lim),()0,0(),(vpfbafkh),(lim),()0,0(),(vpdfbafkh)()(lim),(21)0,0(),(kpfDhpfDbafkh),(baff),(baP 34定理4.2.5 假設 為二變數函數且定義在點 的某個鄰 或 。倘若其一階偏導數 與 在 存在且在點 為連續函數，則函數 在點 為可微分的。總之，倘若 為多變數函數，則我們得知 (1)倘若函數 在點 為可微分的，則函數 在點 為連 續。(2)倘若函數 的一階導數存在且在點 為連續，則函數 在點 為可微分的。即，若 與 均連續，則 必 可微分。(3)倘若函數 的二階導數為連續函數，則 ;倘 若函數 的三階導數為連續函數，則有 ，高階導數則依此類推。f),(baP FDfD1fD2DPfPfffPPfffPP),(yxfx),(yxfyffDfD2112f221212122112121211,ffffff35 4.3 鏈導法則與隱函數的導數(the chain rule)定義7.3.1 若 為 之一可微分函數，而 又為 之可微分函數，則 於 的導數存在，而且為 定義7.3.2 偏微分(偏導數)若 為 之一可微分函數，令 而且 對於 之偏微分均存在，而且為 ;wxxtwtdtdxdxdwdtdwwx),(vuxx xvu,uxxwuwvxxwvw36 定理4.3.1 鏈導法則(the chain rule)(1)若 為 與 之一可微分函數，而且 及 均為 之可微分函數，則 對於 而言均為 可微分函數，而且為(2)若 為 與 之一可微分函數，令 與 而且 與 對於 之偏微分均存在，則 對於 之一階偏導數均存在，而且為 ),(yxfw xy)(txx)(tyy t)(),(tytxfw tdtdyywdtdxxwdtdw),(yxfw xy),(vuxx),(vuyy xyvu,),(),(vuyvuxfw vu,uyywuxxwuwvyywvxxwvw37 由上面定理 4.3.1 得知，如果 而且 ，則我們有 ;同理，如果 而且 ，則我們有),(zyxfw)(),(),(tzztyytxxdtdzzwdtdyywtxxwdtdw),(zyxfw),(),(tszztsxxszzwsyywsxxwzwtzzwtyywtxxwtw38例1.試求 ，若 解:dtdwzxyyzxwcossin1,23ttzeytxtzxxyzyzxxwsin2sin21zxyyzyxyywcos21cos2zxzxyyzzxyzwsin2cos2dtdzzwdtdyywdtdxxwdtdw)sin2sin21)(3(2zxxyzyzxt)cos21cos2)(2(2zxyyzyxzet)sin2cos2()1(12zxzxyyzzxyt39 例2.試求 與 ，若 解:uzvzuvyvuxyxzln,ln,tan1vuvxvuux,ln21uvvyuvuyln21,uyyzuxxzuz)ln21)(2111(vuxyyx)(211(32uvyxyxvyyzvxxzvz)(2111(vuxyyx)ln21)(211(23uvyxyx40例3.倘若我們有 試求 解:rtztsysrxyxzwcot,sin,cos,222twswrw,0,sin,costxsrsxsrxtstytsyrycos,sin,0rtzszrtrzcot,0,csc2rzzwryywrxxwrw)csc(2)(cos)(22222222rtyxzsyxxzszzwsyywsxxwsw)(sin)(2)sin()(222222222tyxyzsryxxztzzwtyywtxxwtw)(cot2)cos()(22222222ryxztsyxyz41定理4.3.2 隱函數的導數 (1)若 為 與 之一可微分函數，且 為 之一可微分函數，則 對於 而言為一微分 函數，而且 以及0),(yxFwxy)(xfy x0),(yxfwx0),(dxdyyFxFdxdyyFdxdxxFyxFDx)(xfyFxFdxdy42(2)若 為 與 以及 之一可微分函數，且 為 與 之一可微分函數，則 對於 與 而言為一可微分函數，而且 以及0),(zyxFwxyz),(yxfz xy0),(zyxFwxy0),(xzzFxFxzzFdxdxxFzyxFDx0),(yzzFyFyzzFdydyyFzyxFDxzFyFyzzFxFxz,43例4.若 滿足方程式 試求 與 解:令 則 ),(yxfz 05443232xzzyyxxzyz5),(443232xzzyyxzyxF3342xxyxF32223yzyxyF32243zzyzF322334342zzyxxyzFxFxz3223224323zzyyzyxzFyFyz44定義4.4.1 極值(extrema)設 為二變數函數，為 定域義的子集合且 為 上一點，則(1)當 ，我們稱 為函數 在 的極大值(maximum value)。(2)當 ，我們稱 為函數 在 的極小值(minimum value)。(3)當 為函數 在 的極大值或極小值，我們稱 為 在 的極值(extreme value 或 extremum)。ffS),(00yxSSyxVyxfyxf),(),(),(00),(00yxf),(yxfSSyxVyxfyxf),(),(),(00),(00yxf),(yxfS),(00yxf),(yxfS),(00yxf),(yxfS45定義4.4.2 相對極值(relative extremum)設 為二變數函數，而且存在以 為半徑且以點 為圓心之點 的鄰域 ，則(1)若 ，我們稱 為函數 在 的相對極大值(relative maximum value)或 局部極大值(local maximum)。(2)若 ，我們稱 為函數 在 相對的極小值(relative minimum value)或 局部極小值(local minimum)。(3)若 為函數 在 的相對極大值或相極小值，則我們稱 為函數 在 的相對極值或局部 極值。fr),(00yxA A),(rAB),(),(),(),(00rAByxVyxfyxf),(00yxf),(yxf),(rAB),(),(),(),(00rAByxVyxfyxf),(00yxf),(yxf),(rAB),(00yxf),(00yxf),(yxf),(yxf),(rAB),(rAB46 定義4.4.3 絕對極值(absolute extremum)設 為二變數函數且定義域為 以及點 ，則 (1)若 ，我們稱 為函數 的絕對 極大值(absolute maximum)。(2)若 ，我們稱 為函數 的絕對 極小值(absolute minimum)。(3)若 為函數 的絕對極大值或絕對極小值，則我 們稱 為函數 的絕對極值。fDDyx),(00DyxVyxfyxf),(),(),(00DyxVyxfyxf),(),(),(00),(00yxf),(00yxf),(00yxf),(00yxf),(yxf),(yxf),(yxf),(yxf47定理4.4.1 極值檢驗法(test for extrema)設 為二變數函數且定義域為一開集合(open set)，而且在 內函數 的第一階與第二階偏導數均為連續。令函數 的定義域為 且 ，倘若存在一點 使得 與 ，則 (1)若 且 ，則 為函數 的相 對極大值。(2)若 且 ，則 為函數 的相 對極小值。(3)若 ，則 ，則 不為函數 的 極值，此時 為函數 圖形上的一馬鞍點 (saddle point)或稱為鞍點。(4)若 ，則無法判斷 是否為函數 的極 值。fDDf),(yxFD2122211),(),(),(),(yxfyxfyxfyxFDyx),(000),(001yxf0),(002yxf0),(00yxF0),(0011yxf),(00yxf),(yxf0),(00yxF0),(0011yxf),(00yxf),(yxf0),(00yxF0),(00yxF),(00yxf),(yxf),(00yx),(yxf0),(00yxF),(00yxf),(yxf48 例1.試求下列各函數的極值。(1)(2)33812),(yxyxyxf)sin(sinsin),(yxyxyxf49解:(1)且 令 且令 與 則 或 不為 的極值且 為 圖形上的一鞍 點。且 為 的相對極小值。yxyxf123),(21xyxf6),(1112),(12yxf222412),(yxyxfyyxf48),(22144288144486),(xyyxyxF0),(1yxf0),(2yxf0002412012322yxyxyx12yx0144)0,0(F)0,0(fff)0,0(0)1,2(F0)1,2(11f8)1,2(ff50 (2)令 且令 與)cos(cos),(1yxxyxf)cos(cos),(2yxyyxf)sin(sin),(11yxxyxf)sin(),(12yxyxf)sin(sin),(22yxyyxf)sin()(sinsin(sin),(yxyyxxyxF0),(1yxf0),(2yxf51則 且 且 且 或 或 無法判斷 下否為 的極值。且 為相對極大值。0)cos(cos0)cos(cosyxyyxxyx 02coscosxxyx 0)1cos2(cos2xx1(cosxyx)21cosxyx33yx0),(F),(ff049)3,3(F0)3,3(11f233)3,3(f52例2.試求點 與平面 之間的最短距離。解:設平面 上的一點 ，而且設點 ，則我們有 由 得到 令函數)2,1,1(423zyx423zyx),(cbaQ)2,1,1(P423cba222)2()1()1(cbaPQ222)42123()1()1(babaPQ222)42123()1()1(),(bababaf)42123(3)1(2),(1baabaf31023213ba22523)42123()1(2),(2bababbaf25),(,23),(,213),(221211bafbafbaf53 且 令 與 平面 上點 與點 有最短的距離為 ),(),(),(),(122211bafbafbafbaF014)23(2521320),(11baf0),(1baf0),(2baf7874218022523031023213cbababa423zyx)78,74,218(Q)2,1,1(P222)278()174()1218(PQ441561454例3.欲製造一具能容納 立方 米液體之無蓋長方體容器 ，則長、寬、高各為多少 米，可使表面積材料為最 少?解:設此長方體容器的長、寬、高分別為、米，則體 積為 依題意，使用最少的材料做此長方體意謂求表面積 的 極小值。VxyzxyVzxyzVAyzxzxyyxA22),(VyxxyxyVyxxyyxA)11(2)(2),(55N525;令 且令 與 此長方體底為一正方形且高為底之邊長的一半時 可使用最少的材料，此時長為 米、寬為 米、高為 米。VyxyxAVxyyxA22212),(,2),(1),(),(,4),(2112311yxAyxAVxyxAVyyxA3224),(1)4()4(),(33VyVxyxF0),(1yxA0),(2yxA020222VyxVxyyxVzVyx212122123332V32V3221V
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