2023年九年级相似三角形知识点总结

相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。注意：相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 相似图形不仅仅指平面图形，也涉及立体图形相似的情况。 我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的 若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例全等形3. 相似多边形的性质：假如两个多边形是相似形，那么这两个多边形的相应角相等，相应边的长度成比例。注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的相应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：bm：n（或）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如4、比例外项：在比例（或a：bc：d）中a、d叫做比例外项。5、比例内项：在比例（或a：bc：d）中b、c叫做比例内项。6、第四比例项：在比例（或a：bc：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。7、比例中项：假如比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:bb:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。8.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，假如其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: （两外项的积等于两内项积）2.反比性质： (把比的前项、后项互换)3.更比性质(互换比例的内项或外项)：4.合比性质：（分子加（减）分母,分母不变）注意：事实上，比例的合比性质可扩展为：比例式中档号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立如： 5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 假如，那么注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法 (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零 (3)可运用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再运用等比性质也成立知识点三：黄金分割1） 定义：在线段AB上，点C把线段AB提成两条线段AC和BC（ACBC），假如，即AC2=ABBC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中0.618。2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C是线段AB的黄金分割点.作法：过点B作BDAB，使；连结AD，在DA上截取DE=DB；在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为：.（只规定记住）3）矩形中，假如宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。知识点四：平行线分线段成比例定理(一)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的相应线段成比.例. 已知l1l2l3, A D l1 B E l2 C F l3可得2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的相应线段成比例. （1） 是“A”字型（2） 是“8”字型 经常考，关键在于找由DEBC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.3.推论的逆定理：假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的相应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. (即运用比例式证平行线)4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边相应成比例. 5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,假如在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。 三角形一边的平行线性质定理定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段相应成比例。几何语言 ABE中BDCE 简记： 归纳： 和推广：类似地还可以得到和 三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边相应成比例.三角形一边的平行线的鉴定定理三角形一边平行线鉴定定理 假如一条直线截三角形的两边所得的相应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.三角形一边的平行线鉴定定理推论 假如一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的相应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.平行线分线段成比例定理1平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的相应线段成比例.用符号语言表达：ADBECF,.2平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，假如在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表达：. 重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.知识点三：相似三角形1、 相似三角形1）定义：假如两个三角形中，三角相应相等，三边相应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；2） 性质：两个相似三角形中，相应角相等、相应边成比例。3） 相似比：两个相似三角形的相应边的比，叫做这两个三角形的相似比。 如ABC与DEF相似，记作ABC DEF。相似比为k。4）鉴定：定义法：相应角相等，相应边成比例的两个三角形相似。三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 三角形相似的鉴定定理：鉴定定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角相应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角相应相等，两三角形相似(此定理用的最多)鉴定定理2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边相应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边相应成比例且夹角相等，两三角形相似鉴定定理3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边相应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边相应成比例，两三角形相似直角三角形相似鉴定定理:.斜边与一条直角边相应成比例的两直角三角形相似。.直角三角形被斜边上的高提成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且提成的两个直角三角形也相似。 补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD=ADBD， AC=ADAB，BC=BDBA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）. 补充二：三角形相似的鉴定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底相应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四：直角三角形被斜边上的高提成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：假如一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的相应部提成比例，那么这两个三角形相似。相似三角形的性质 相似三角形相应角相等、相应边成比例. 相似三角形相应高、相应角平分线、相应中线、周长的比都等于相似比(相应边的比). 相似三角形相应面积的比等于相似比的平方.2、 相似的应用：位似1）定义：假如两个多边形不仅相似，并且相应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必然是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。两个位似图形的位似中心只有一个。两个位似图形也许位于位似中心的两侧，也也许位于位似中心的一侧。位似比就是相似比。2）性质：位似图形一方面是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对相应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。每对位似相应点与位似中心共线，不通过位似中心的相应线段平行。