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求数列通项公式措施类型1 解法：把原递推公式转化为，运用累加法(逐差相加法)求解.例1 已知数列满足，求数列通项公式.变式：1.已知数列满足，求数列通项公式.2. 已知数列满足，求.类型2 解法：把原递推公式转化为，运用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列满足，求.例3:已知， ，求.变式：1已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an通项 2. 已知数列满足，求数列通项公式.类型3 （其中p，q均为常数，）.解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再运用换元法转化为等比数列求解。例4:已知数列中， ，求.变式：在数列中，若，则该数列通项_类型4 （其中p，q均为常数，）（或,其中p，q， r均为常数）.解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法处理.例5:已知数列满足，求数列通项公式. 变式 ：已知数列中，,，求.类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法(待定系数法)：先把原递推公式转化为,其中s，t满足例6：已知数列中,，求数列通项公式.例7:已知数列中，,，求.变式： 1.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列通项公式；2.已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列通项公式及前项和.类型6 递推公式为与关系式。(或)解法：这种类型一般运用与消去 或与消去进行求解.例8：已知数列前n项和.（1）求与关系；（2）求通项公式.变式：1.已知数列中，,求通项.2. 已知数列前n项和为,求通项.3. 已知数列前n项和Sn满足,求通项公式.4. 已知数列前n项和Sn=1+2an,求通项公式.求通项.5. 已知数列中,求通项.6.已知数列前n项和满足,求通项.7.已知,求通项.8.已知正项数列an,其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列求数列an通项an 类型7 解法：这种类型一般运用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为等比数列。例9:设数列：，求. 例10：已知数列满足，求数列通项公式。 例11：已知数列满足，求数列通项公式。例12： 已知数列满足，求数列通项公式。类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再运用待定系数法求解。例13：已知数列中，求数列类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为.例14：已知数列an满足：，求数列an通项公式.变式：1.若数列递推公式为，则求这个数列通项公式.2.已知数列满足时，求通项公式. 3.若数列a中，a=1，a= nN，求通项a 类型10周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期例15：若数列满足，若，则值为 .变式：已知数列满足，则=（ ）A0BCD 求数列通项公式措施类型1 解法：把原递推公式转化为，运用累加法(逐差相加法)求解.例1 已知数列满足，求数列通项公式。解：由得则因此数列通项公式为.评注：本题解题关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列通项公式。变式：1.已知数列满足，求数列通项公式.解：由得则因此评注：本题解题关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列通项公式. 2. 已知数列满足，求.类型2 解法：把原递推公式转化为，运用累乘法(逐商相乘法)求解.例2:已知数列满足，求。例3:已知， ，求。变式:（，I,理15）1.已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an通项 解：由于因此用式式得则故 因此由， 取n=2，则=1，代入得. 因此，通项公式为评注：本题解题关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当体现式，最终再求出数列通项公式.2. 已知数列满足，求数列通项公式。解：由于，因此，则，故因此数列通项公式为评注：本题解题关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列通项公式.类型3 （其中p，q均为常数，）.解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再运用换元法转化为等比数列求解。例4:已知数列中，求.变式:（，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列通项_ 类型4 （其中p,q均为常数）（或,其中p,q，r均为常数）解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法处理。例5：已知数列满足，求数列通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是觉得首项，觉得公差等差数列，由等差数列通项公式，得， 因此数列通项公式为。评注：本题解题关键是把递推关系式转化为，阐明数列是等差数列，再直接运用等差数列通项公式求出，进而求出数列通项公式.变式 ：已知数列中，,，求.类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足例6：已知数列中， ，求数列通项公式.例7:已知数列中，,，求.变式： 1.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列通项公式； 2.已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列通项公式及前项和.类型6 递推公式为与关系式.(或)解法：这种类型一般运用与消去 或与消去进行求解.例8：已知数列前n项和.（1）求与关系；（2）求通项公式.（2）应用类型4（其中p，q均为常数，）措施，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差等差数列，因此变式：1.已知数列中，,求通项.2.已知数列前n项和为,求通项.3.已知数列前n项和Sn满足,求通项公式.4.已知数列前n项和Sn=1+2an,求通项公式.求通项.5.已知数列中,求通项.6.已知数列前n项和满足,求通项.7.已知,求通项.8. （，陕西,理,20本小题满分12分) 已知正项数列an,其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列an通项an 类型7 解法：这种类型一般运用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为等比数列.例9 ：设数列：，求.例10：已知数列满足，求数列通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是觉得首项，以2为公比等比数列，则，故。评注：本题解题关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列通项公式，最终再求出数列通项公式.例11：已知数列满足，求数列通项公式。解：设将代入式，得 整顿得。令，则，代入式得 由及式，得，则，故数列是觉得首项，以3为公比等比数列，因而，则.评注：本题解题关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列通项公式，最终再求数列通项公式.例12：已知数列满足，求数列通项公式。解：设 将代入式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入式，得 由及式，得则，故数列为觉得首项，以2为公比等比数列，因而，则。评注：本题解题关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列通项公式，最终再求出数列通项公式。类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再运用待定系数法求解。例13：已知数列中，求数列类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为.例14：已知数列an满足：，求数列an通项公式.变式：1.若数列递推公式为，则求这个数列通项公式.2.已知数列满足时，求通项公式.3.若数列a中，a=1，a= nN，求通项a 类型10周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期.例15：若数列满足，若，则值为 .变式:（，湖南,文，5）已知数列满足，则=（ ）A0BCD
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