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在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理。选中以下空白地方查看答案：(1)D (2) C (3) B (4) D (5)C 几何勾股定理与弦图练习4选中以下空白地方查看答案：(1) B (2) D (3) C (4) B (5)D几何勾股定理与弦图练习5判断题在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角命题：“在一个三角形中，有一个角是30，那么它所对的边是另一边的一半”的逆命题是真命题勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形ABC的三边之比是1：1： ，则ABC是直角三角形答案：对，错，错，对；ABC中A、B、C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）A如果CB=A，则ABC是直角三角形B如果c2=b2a2，则ABC是直角三角形，且C=90C如果（ca）（ca）=b2，则ABC是直角三角形D如果A：B：C=5：2：3，则ABC是直角三角形答案：D1、下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）Aa=8，b=15，c=17Ba=9，b=12，c=15Ca= ，b= ，c= Da：b：c=2：3：4答案：D2、已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a= ，b= ，c= ； a=5，b=7，c=9；a=2，b= ，c= ； a=5，b= ，c=1答案：是，B；不是；是，C；是，A叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确如果a30，那么a20；如果三角形有一个角小于90，那么这个三角形是锐角三角形；如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；关于某条直线对称的两条线段一定相等答案：如果a20，那么a30；假命题如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题1、填空题任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 “两直线平行，内错角相等”的逆定理是 在ABC中，若a2=b2c2，则ABC是 三角形， 是直角；若a2b2c2，则B是 若在ABC中，a=m2n2，b=2mn，c=m2n2，则ABC是 三角形答案：逆命题，逆定理；内错角相等，两直线平行；直角，B，钝角；直角小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 答案：向正南或正北2、若三角形的三边是 1、2； ； 32，42，52 9，40，41； (m+n)21，2(m+n)，(m+n)2+1；则构成的是直角三角形的有（ ）A2个 B3个4个5个答案：B8若ABC的三边a、b、c，满足(ab)(a2b2c2)=0，则ABC是（ ）A等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形答案：C1如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值可以有( )A0个 B1个 C2个 D3个答案：C说明：若a为斜边长，则由勾股定理有22+42=a2，可得a=2 ；若a为直角边长，则由勾股定理有22+a2=42，可得a=2 ，所以a的取值可以有2个，答案为C2小明搬来一架2.5米长的木梯，准备把拉花挂在2.4米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )米A0.7 B 0.8 C0.9 D1.0答案：A说明：因为墙与地面的夹角可看作是直角，所以利用勾股定理，可得出梯脚与墙脚的距离为 = = =0.7，答案为A3一个直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为( )A6 B 8 C10 D12答案：C说明：设直角边长为x，则斜边为x+2，由勾股定理得x2+62=(x+2)2，解之得x=8，所以斜边长为8+2=10，答案为C选择题（123=36）1已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或252下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt的是（）A、a=1.5，b=2,c=3B、a=7,b=24,c=25C、a=6,b=8,c=10D、a=3,b=4,c=53若线段a，b，c组成Rt，则它们的比为（）A、234B、346C、51213D、4674Rt一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt的周长为（）A、121B、120C、132D、不能确定5如果Rt两直角边的比为512，则斜边上的高与斜边的比为（）A、6013B、512C、1213D、601696如果Rt的两直角边长分别为n21，2n（n1），那么它的斜边长是（）A、2nB、n+1C、n21D、n2+17已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积是（）A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm28等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）A、56B、48C、40D、329三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.10某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）A、450a元B、225a 元C、150a元 D、300a元1已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为（）A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、2cm22已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里1在RtABC中，C=90，若a=5，b=12，则c=_；若a=15，c=25，则b=_；若c=61，b=60，则a=_；若ab=34，c=10则SRtABC=_。2直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_。3在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是_m。4已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为（ ）cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.5已知：如图，ABC中，C = 90，点O为ABC的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于（ ）cm1如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2。2在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米。1.小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？2如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？1.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。2.已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且A=90，求四边形ABCD的面积。1已知，如图，在RtABC中，C=90，1=2，CD=1.5,BD=2.5,求AC的长.2如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b.利用这个图试说明勾股定理?3已知，ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明ABC是等腰三角形。4如图，在ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识说明：AB2AP2=PBPC。 如图16-2，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米? 有四边形EFGH的面积为EAH，FCG，EFB，DHG，ABCD的面积和，即为30+30+5=65平方厘米如图12，正方形的边长为10cm，AB=2cm，CD=3cm，求阴影部分的面积。 解答：平行两条线，做平行线。可知外侧形成四个旋转地小长方形，除去中间的长方形后阴影部分等分。所以（1010-23）2+23=53（平方厘米）关于完全平方数（已增升级题）(一)完全平方数的性质一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。性质7：不能被5整除的数的平方为5k1型，能被5整除的数的平方为5k型。性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：一个数的数字和等于这个数被9除的余数。关于完全平方数的数字和有下面的性质：性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：性质10： a2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。性质11：如果质数p能整除a，但p2不能整除a，则a不是完全平方数。性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若n2kn-m又因为89为质数，所以：n+m=89; n-m=1解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。分析 设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。证明 设这四个整数之积加上1为m，则m为平方数而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。3、求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。分析 形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即或在两端同时减去1之后即可推出矛盾。证明 若，则因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。若，则因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。综上所述，不可能是完全平方数。另证 由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。4、求满足下列条件的所有自然数：(1)它是四位数。(2)被22除余数为5。(3)它是完全平方数。解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。11N - 4或11N + 4或k = 1k = 2k = 3k = 4k = 5所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。5、甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？解：n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。1、矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。2、求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。3、求自然数n，使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。4、(1986年第27届IMO试题)5、设正整数d不等于2,5,13，求证在集合2,5,13,d中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。6、求k的最大值1、矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。解：设矩形的边长为x,y，则四位数N是完全平方数，11为质数 x+y能被11整除。又 ,得x+y=11。9x+1是一个完全平方数，而，验算知x=7满足条件。又由x+y=11得。2、求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。解：设符合题意的四位数为，则，为五位数，为三位数，。经计算得，其中符合题意的只有2401一个。3、求自然数n，使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。解：显然，。为了便于估计，我们把的变化范围放大到，於是，即。，。另一方面，因已知九个数码之和是3的倍数，故及n都是3的倍数。这样，n只有24,27,30三种可能。但30结尾有六个0，故30不合要求。经计算得故所求的自然数n = 27。1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。解：设此自然数为x，依题意可得x-45=m2.(1)x+44=n2.(2)(m,n为自然数)(2)-(1)可得n2-m2=89, (n+m)(n-m)=89但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。分析：设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n为整数。欲证n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。证明：设这四个整数之积加上1为m，则m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2=n(n+1)+(2n+1)2而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。1、如果m是整数,那么m2+1的个位数可能是_.2、如果n是奇数,那么n2-1除以4余数是_,n2+2除以8余数是_,3n2除以4的余数是_.3、如果k不是3的倍数,那么k2-1 除以3余数是_.1、m取什么值时,代数式x2-2m(x-4)-15是完全平方式2、m取什么正整数时,方程x2-7x+m=0的两个根都是整数3、a, b, c满足什么条件时,代数式(c-b)x2+2(b-a)x+a-b是一个完全平方式4、判断下列计算的结果,是不是一个完全平方数:四个连续整数的积; 两个奇数的平方和.1、已知四位数是平方数,试求a, b.2、已知:n是自然数且n1. 求证:2n-1不是完全平方数.3、已知:整系数的多项式4x4+ax3+13x2+bx+1 是完全平方数,求整数a和b的值.4、已知:a, b是自然数且互质,试求方程x2-abx+(a+b)=0的自然数解.1,求证:五个连续整数的平方和不是完全平方数.2,m取什么实数时,(m-1)x2+2mx+3m-2 是完全平方式3,已知: (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证: a=b=c.4. 已知方程x2-5x+k=0有两个整数解,求k的非负整数解.1、（2000六预）12+34+56+100+1012、（04六决）1.2345+0.7655+2.4690.76553、135792468（135792468135792467135792469）4、（04六决）自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数有（ ）个。5、（03江苏吴江）一个三位数abc是个完全平方数，它的前两位数ab也是完全平方数，个位c也是完全平方数，符合条件的全部三位数的和是（ ）。例1、例2、例3、例4是比较基础的完全平方数的题目，对于理解完全平方数问题的基本类型和基本方法都很有帮助。解决完全平方数问题的问题一般要从完全平方数的性质入手，比如完全平方数个位数的特点，质因数的特点，以及除以3、4、8的余数的特点等等。 例5、例6、例7是比较复杂的完全平方数的题目，但解题的关键之处仍然是完全平方数的各种性质，只是由于题目中的关键点不太容易发现，很难利用完全平方数的各种性质去解题。 例8、例9、例10、例11是比较基础的等差数列的题目，解决这类题目主要的方法是两个关于等差数列的公式，即总和=(首项+末项)项数2，末项=首项+公差(项数-1)。这两个公式不仅是解决等差数列问题的主要方法，也代表了解决这类问题的主要思想。 例12、例13、例14是比较复杂的等差数列的题目，这类题目中的等差数列并不明显，需要在题目中发现或者构造等差数列，然后再通过常规的方法进行计算。1、（02六决）1+2+3+2001+2002除以4的余数是（ ）。2、在1到2007之间的自然数中，恰有奇数个约数的数的总和是（ ）。3、（01福州“迎春杯”）将自然数的平方数从小到大依次排列成一串有序数列：1491625364964第11位上的数字是9，第88位上的数字是（ ）。4、（03江苏吴江）一个四位数是平方数，它的前两位数字相同，后两位数字也相同，这个四位数是（ ）。5、（02ABC）甲、乙两同学按先后顺序把多米诺骨牌，要求摆成一个正方形。由于每人手中一次只能拿10块，故每次每人摆10块。现已知最后一次甲摆了10块，而乙摆了不足10块。如果他们一共要摆3000多块，那么他们摆的准确数是（ ）块。学1、（04南京冬令营）一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是（ ）。2、已知123n+3是一个自然数的平方，n=()。3、（02河北香河）有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是（ ）。4、（97六预）一个四位数的数码都是由非零的偶数码构成，它又恰好是某个偶数码组成的数的平方，则这个四位数是（ ）。5、（02甘肃冬令营）有一个自然数，它与168的和恰好等于某个数的平方；它与100的和恰好等于另一个数的平方，这个数是（ ）。1、（03甘肃冬令营）祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是（ ）岁。2、（2000浙江五决）小明妈妈买了4张体育彩票，第一张的末三位是125；第二张的末位是4，倒数第四位是5；第三张的末位是1，倒数第四位是7；第四张的末三位是280。妈妈说这中间有一张是中奖的，中奖号码是一个四位数，就是彩票中的最后四位与它相同便是中奖彩票，且这个四位数正好是个平方数。小明确定中奖号码为（ ）。3、将16分解成若干个质数（可以相同）相加的形式，如果这些质数的乘积正好是平方数，那么这个平方数所有可能的值的和是（ ）。4、（03浙江夏令营）11111111的各位数字之和是（ ）。5、（01六预）一位一百多岁的老寿星，公元x年时年龄为x岁，则此老寿星现年（ ）岁。1、（03ABC）快乐小学为庆祝“六一”儿童节排练学生团体操，团体操要求全体参加排练的学生恰好能排成一个正方形队列，也能变成一个三角形队列。参加排练的学生至少要有（ ）人。2、（04浙江五决）某人今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，组成四位数与六位数的10个数字正好是0到9这10个数字。此人今年（ ）岁。3、（04“陈省升”杯）一个整数若能表示为两个整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=53，16就是一个“智慧数”。那么，从1开始的自然数列中，第2003个“智慧数”是（ ）。4、（04南京冬令营）将1，2，3，n（n为大于4的整数）这n个数分成两组，使每组中任意两数之和都不是完全平方数，整数n可以取得的最大值是（ ），并给出一种分组方法。1、自然数从小到大排列0,1,2,3,其中一个自然数是n的完全平方, 则它前面的一个完全平方数是( )(A)n-1 (B)n2-1 (C)n2-2n+1 (D)n2+2n+12、下列四个数中,只有一个是完全平方数,它是( )(A)513231 (B)121826 (C)122530 (D)6256813、2,9,8,0四个数中,完全平方数,偶数,合数,质数的个数依次是( )(A)2,3,2,1 (B)1,2,3,1 (C)2,3,1,2 (D)1,3,2,11.一个自然数如果加上60,则为一完全平方数,如果加上43, 则为另一完全平方数,求这个自然数.2.求一个能被180整除的最小完全平方数.3.一个两位数与它的反序数(个位数字与十位数字交换)的和是一个完全平方数,求这样的两位数.4.求一个四位数,使它前两位数字相同,后两位数字也相同, 且这个四位数是完全平方数.5.正整数的平方按大小排成1 4 9 16 25 36 49 ,那么第85 个位置上的数字是几6.已知a是正整数,且a2+2004a是一个正整数的平方,求a的最大值.证明3（5n+1）不是平方数（n为自然数）。证明：现在，假设n为奇数：不管n为哪个奇数，5n的末位数一定是5。这样，式子变成了3（5+1），等于18，末位是8。可是根据这一条完全平方数的性质，就能判别正误了。请看这边：完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6、9这6个数中的某一个。显然不对。看看偶数会怎么样。如果n为偶数，这样5n末位一定为0。式子现在又变成了：3（0+1），等于3。还是看上面完全平方数的定律，答案也是错。现在已经证明出来了。这一道题告诉我，当我遇到像这种证明题，看看用分类证明的方法是不是最好。其实，这题目也不是很难，关键在于我们是否能从数的末位去巧做完全平方数的题！35
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