《采样控制系统》PPT课件.ppt

第七章 采样控制系统 7.1采样系统的基本概念 7.2 信号的采样与保持 7.3 Z变换理论 7.4离散系统的数学模型 7.5 采样系统分析 第七章 采样控制系统 7.1.1 引言 连续控制系统 离散控制系统 采样控制系统和数字控制系统 采样控制系统是指间断地对系统中某些变量 进行测量和控制的系统。 7.1采样系统的基本概念 离散系统 ： 系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码 计算机控制系统的优缺点 离散系统类型： 采样系统 时间离散，数值连续 数字系统 时间离散，数值量化 (1)控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律； (2)抗干扰性强； (3)一机多用，利用率高； (4)便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。 (1)采样点间信息丢失，与相同条件下的连续系统相比，性能 会有所下降； (2)需附加 A/D, D/A转换装置。 )( sG )( sH )( tr )( te )( ty - s t )( te )(* te t K 执行电机 放大器与 s 1 燃料供应阀 1 1 sT e s 炉 炉温 给定信号 误差 信号 - 电机 转速 阀门 开度 放 大 器 与 执 行 电 机 燃 料 炉 - 误 差 信 号 离 散 误 差 信 号 t t 计算机控制系统 计算机控制系统 analog digital 计算机控制系统 计算机控制系统 analog digital 字长足够 认为 e*(kt)=e(kt) （ 1） A/D 过程 采样 时间上离散 量化 数值上离散 T 认为采样瞬时完成 理想采样过程 （ 2）计算过程描述 零阶保持器 (ZOH) （ 3） D/A 过程 计算机控制系统的描述方法 7.2 信号的采样与保持 7.2.1 采样过程 s T )( tx )( * tx t x(t) t )( * tx p )( * tx 0 T T2 T3 0 T T2 T3 理想采样过程的数学描述： )()()(* ttete T 0 )()( nT nTtt 00 * )()()()()()()( nnT nTtnTenTttettete 采样信号的 Laplace变换： 00 0 * )()()( )()()()( n n T s n n enTenTtLnTe nTtnTeLteLsE 例 1 设 ，求 的 L变换 )(1)( tte )(* te )1( 1 1 1 1)()( 2 0 * Ts Ts Ts Ts TsTsn T s e e e e eeenTesE atete at ,0,)( 例 2 设 为常数，求 的 L变换 )(* te )1( 1 1 )( )( )( 0 )( 0 * Tas aTTs Ts Tas n Tasnn T sanT e ee e e eeesE 香农采样定理 ： 如果采样器的 输入信号 具有有限带 宽，具有最高频率为 的分量，只要采样周期满足以 下条件： )(te h )2( hs )( 2 2 sT h s 信号 可以从采样信号 中恢复过来。 )(te )( * te 信号保持 ： D/A转换器的输出信号是台阶型的，在其内部是 “保持器”在起作用。 每个采样值能保持到下一个 采样值到来之前，信号幅值 没有变化。 2.2.2 香农采样定理 采样信号的频谱 T(t) = n jn n tsec s=2/T为采样角频率 , Cn是傅氏系数 ,其值为： n jn* tse)t(e T 1)t(e 00n T1dt)t(T1C T(t) = n jn tse T 1 )n(jET1)j(E n s * n s * )jns(E T 1)s(E 连续信号的频谱为 )j(E 采样信号的频谱为 )j(E* h -h 0 )j(E h -h 0 s 2s 3s -3s -2s -s )j(E* T1 h -h 0 )j(E* T1 s -s h -h 0 s 2s 3s -3s -2s -s )j(E* T1 s = 2h 滤波器的宽度满足什么 条件时能从 得到 )j(E* )j(E ?! s 2h 或： T/h 在设计离散系统时，香农采样定理是必须严格遵守的一 条准则，因为它指明了从采样信号中不失真地复现原连 续信号 所必须的理论上的 最小采样周期 T。 是等价的。达式与复现出来。采样定理表 中可以完满地从采样信号，信号列条件： 满足下样周期的频率分量，则只要采并且有直到 具有有限带宽，果采样器的输入信号香农采样定理指出：如 m a x * m a x m a x 2 )()()( 2 2 )/( )( s txtxsT Tsr ad tx 2 s 2 s 0 )( jG 因此在离散控制系统中，为了不失真地复现采样器输入端原信号， 应满足两个主要条件。 s2 1 的信号通过，而角频率高于 1/2ws的信号均被滤掉。 理想滤波器的频率特性 采样角频率的选择，应满足香农采样定理。 采样信号应通过理想低通滤波器，它只允许角频率低于 0 )(1)(1)()( k h TkTtkTtkTxtx 0 1)()( k Ts k T s h s eekTxsX （ 1）零阶保持器的传递函数 零阶 保持器 )( tx )(* tx )(* tx p )( tx h )(1)( * sXsesX Ts h 7.2.3 信号的保持 零阶保持器的数学模型 t 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T )( tx h )( * tx p )( tx h 零阶保持器传函为 s e sX sXsG Tsh h 1)( )()( * （ 2）零阶保持器的频率特性 j ejG jT h 1)( 0 s s 2 s 3 )( jG h )( jG h 零阶保持器具有如下特性 由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减， 说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，但与理想滤波器 特性相比，在 其幅值只有初值的 63.7%，且截止频 率不止一个，所以零阶 2/s 保持器允许主要频谱分量通过外，还 允许部分高频分量通过。 由相频特性可见，零阶保持器要产生相角迟后，从而使闭环系 统的稳定性变差。 定不利。的延迟环节，对系统稳为系统增加一个延迟时间 ，相当于给上要迟后表明输出比输入在时间 其平均响应为梯信号零阶保持器的输出为阶 2/ 2/),2/( )( T TTtx tx h 低通特性 ： 相角特性 ： 时间迟后 ： 7.3 Z变换理论 1 Z变换定义 离散信号的拉氏变换为 0 * )()( n n T senTxsX 式中 )()( * txsX 上式中各项均含有 sTe 因子，为便于计算定义一个新变量 sTez ，其中 T为采样周期， z是复数平面上定义的一个复变量 通常称为 z变换算子。 z T sez sT ln1 0 * 0 0 * 0 * * )()( )( )()() )()( )()( )()( )()()()()( )()( )()( k s K T s K Tst st k k st st k T st eKTxsX edteKTt KTfdttfKTt dteKTtKTx dteKTtKTx dtetxsX KTtKTxttxtx txtx dtetxsX （ 质广义脉冲函数的筛选性 换为，故采样信号的拉氏变 ，有号周期采样，成为离散信经过满足采样定理的等连续信号 为换的，则拉氏变换定义设连续函数是可拉氏变 0ln 1 * )()()( k n zTs znTxsXzX )()()( * txZtxZzX 记作 2 z变换方法 （ 1）级数求和法 级数求和法是直接根据 z变换定义将上式写成展开形式 0 21 )()2()()0()()( n nn znTxzTxzTxxznTxzX 对于常用函数 z变换的级数形式都可以写出其闭合形式。 （ 2）部分分式展开法 利用部分分式法求 z变换时， 先求出已知连续时间函数 x(t)的拉氏 变换 X(s)， 然后将有理分式函数 X(s)展成部分分式之和的形式 ， 最后求出（或查表）给出每一项相应的 z变换。 变换求已知例 zsssX ,)1( 1)(1.3 )(1( )1( 1 )( 1 1 ; 1 1 1 11 )1( 1 )( )( T T T T ezz ez ez z z z zXz ez z z s z z z s z ssss sX sX 变换为于是 变换为的 变换为的变换表得：查 分式按它的极点展开为部分解：将 n i Tsss ez zsXszX i1 )(Re)( 关于函数 Ts ez z sX )( 在极点处的留数计算方法如下： 若 i s 为单极点 ，则 )()(l i m)(Re Tsi ss ssTs ez z sXss ez z sXs i i 若 Ts ez z sX )( 有 i r 阶重极点， 则 1 1 )()( l i m )!1( 1 )(Re i ii i i r sT r i r ss i sssT ds ez z sXssd rez z sXs (3)留数计算法 已知连续信号 x(t)的拉氏变换 X(s)及它的全部极点 ,可用下列的 留数计算公式求 X(z)。 例 3.2 已知 ，应用留数计算法求 X（ z） 。 )1( 1)( sssX 解： X（ s） 的极点为单极点： ， 按计算公式求 X（ z） 1,0 21 ss )(1( )1( 1 )1( )1( 1 lim )1( 1 lim )1( 1 Re )1( 1 Re )(Re)( 10 10 2 1 2 T T T Ts s Ts s Ts ss Ts ss i sT ss ezz ez ez z z z ez z s ssez z s ss ez z ss s ez z ss s ez z sXszX i i 例 3.2 已知 ，应用留数计算法求 X（ z） 。 )1( 1)( sssX 解： X（ s） 的极点为单极点： ， 按计算公式求 X（ z） 1,0 21 ss )(1( )1( 1 )1( )1( 1 lim )1( 1 lim )1( 1 Re )1( 1 Re )(Re)( 10 10 2 1 2 T T T Ts s Ts s Ts ss Ts ss i sT ss ezz ez ez z z z ez z s ssez z s ss ez z ss s ez z ss s ez z sXszX i i 例 3 . 3 ttx )( 0t ，求 )( tx 的 z 变换 )( zX 解： 2 1 )( s tLsX X （ s ）有两个 s = 0 的极点，即 2,0 11 rs 2 0 2 2 0 )1( lim 1 lim )!12( 1 )( z Tz ez z ds d ez z s s ds d zX Ts s Ts s 4 z变换性质 1) 线性定理 )()()()( ),()(),()( 2121 2211 zbXzaXtbxtaxZ bazXtxZzXtxZ 则有 ，和对于任何常数若 2）实数位移定理 实数位移定理又称平移定理。实数位移含义，是指整个 采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期，其中向 左平移为超前，向右平移为延迟。 )()()( )()( ),()( 1 0 n k kn n zkTxzXznTtxZ zXznTtxZ zXtxZ 及 则有 若 )()( )()( )()( )()()()( 21 0 2 0 1 0 2 0 1 2 0 121 zbXzaX zkTxbzkTxa zkTbxzkTax zkTbxkTaxtbxtaxZ z k k k k k k k k k k 变换定义证明：由 3）复域位移定理 )()(),()( zeXtxeZzXtxZ aTat 则若 。取代原算子中，以变换表达式 的变换，就等于在的乘以指数序列含义是函数 zzezX ztxzetx aT at )( )()( .3.3 变换的函数试用复数位移定理计算例 zte at 2 2 ) 2 )( )1( ( )( )1( )()( ,)( aT aT aT aT ataT ez T z e ze zeT teZzeX z Tz tZzX ttx 根据复数位移定理，有 查表知解：令 )( )( )()( 0 0 zeX zekTx zkTxetxeZ z aT k kaT k ka k Tat 变换定义证明：由 4）复数微分定理 dz zdXTzttxZzXtxZ )()(),()( 则若 5）初值定理 )(lim)0(,0)(0),()( zXxtxtzXtxZ z 则时，且当若 6）终值定理 )()1(lim)( )()1(),()( 1 zXzx zzXzzXtxZ z 位圆内，则 平面的单的全部极点位于且若 7）卷积定理 )()()()( ),()(),()( 0 2121 2211 m mTkTxmTxZzXzX zXtxZzXtxZ 则若 。试用终值定理确定 变换函数为设例 )( , )208.0416.0)(1( 792.0 )( 5.3 2 2 x zzz z zX z 1 208.0416.0 792.0 lim )208.0416.0)(1( 792.0 )1(lim)( 2 2 1 2 2 1 zz z zzz z zx z z 解：由终值定理得 (1) 幂级数展开法 由 z 变换表知， z 变换函数 X （ z ）通常可以表示为按 1 z 升幂 排列的两个多项式之比： )( 1 )( 2 2 1 1 2 2 1 10 nm zazaza zbzbzbb zX n n m m 其中 ji ba , 均为常系数。通过对上式直接作综合除法，得到 按 1 z 升幂排列的幂级数展开式 5 z反变换 5.1 z反变换定义 5.2 z反变换方法 )()( 1 zXZkTx 如果得到的无穷级数是收敛的，则按 z 变换定义可知 （ 0 * )()()( k k zkTxtxZzX ）上式中的系数 k C （ k=0 ， 1 ， ）就 是 采样脉冲序列 )( * tx 的脉冲强度 x （ kT ）。因此可直接写出 )( * tx 的脉冲序 列表达式 0 * )()( k k kTtCtx 上式就是我们要求的通过 z 反变换得到的离散信号 )( * tx 。 求解时应注意 在进行综合除法之前，必须先将 X （ z ）的分子，分母多项式 按 z 的降幂形式排列。 实际应用中，常常只需计算有限的几项就够了。 因此用这种 方法计算 )( * tx 最简便，这是这一方法优点之一。 要从一组 x （ kT ）值中求出通项表达式，一般是比较困难的。 0 2 2 1 10)( k k k k k zczczczcczX 例 5 . 1 已知 5.05.0 5.02 )( 2 2 zz zz zX ，试用幂级数法求 X （ z ） 的 z 反变换。 解： 用综合除法得到 321 875.025.15.02)( zzzzX 因为 0 1* )()()()( k kTtkTxzXZtx 又因为 875.0)3(,25.1)2(,5.0)(,2)0( TxTxTxx 所以有 )3(8 7 5.0)2(25.1)(5.02)( * TtTtTttx 例 5 . 2 设 )(1( )1( )( aT aT ezz ze zX ，试求 x （ kT ）。 解： aT aT aT ez B z A ezz e z zX 1 )(1( 1)( (2)部分分式展开法 在 z变换表中， 所有 z变换函数 X（ z）在其分子上都普遍含有 因子 z，所以应将 X（ z） /z展开为部分分式，然后将所得结果 每一项都乘以 z，即得 X（ z）的部分分式展开式。 经计算有 A = 1 ， B = - 1 所以有 aT ezzz zX 1 1 1)( aT ez z z z zX 1 )( 查 z 变换表得 )2,1,0(1)( kekTx a k T 根据 z 变换定义有 0 )()( k k zkTxzX 根据柯西留数定理有 n i zz k i zzXskTx 1 1 )(Re)( 式中 i zz k zzXs )(Re 1 表示 1 )( k zzX 在极点 i z 处的留数。 关于函数 1)( kzzX 在极点处的留数 计算方法如下 ： 1 11 1 1 11 )()( lim )!1( 1 )(Re )( )()(lim)(Re i ii i i i i r kr i r zz i zz k i k k i zz zz k i dz zzXzzd r zzXs rzzX zzXzzzzXs z 阶重极点，则有若 为单极点，则若 （ 3）留数计算法 例 5 . 3 设 z 变换函数 23 5.0 )( 2 zz z zX ，试用留数法求其 z 反变换。 解： 因为函数 )2)(1( )5.0( )( 1 zzz zz zzX k k 有 0,2,1 021 zzz 三个极 点，极点处的留数 k k z z k zzz zzz zzz zz s )1(5.0 )2)(1( )5.0)(1( lim )2)(1( )5.0( Re 1 1 k k z z k zzz zzz zzz zz s )2(75.0 )2)(1( )5.0)(2( lim )2)(1( )5.0( Re 2 2 )(25.0 )2)(1( )5.0( limRe 0 0 k zzz zzz s k z z 上式中 z=0 的极点只有在 k = 0 时存在，当 k 大于 0 时，这个 极点就消失了。式中 00 01 )( k k k 所以有 kk kkTx )2(75.0)1(5.0)(25.0)( 相应的采样函数 0 * )()()( k kTtkTxtx