《矢量场的散度》PPT课件.ppt

一、矢量的通量： 1 、矢量场的矢量线： 常用带方向 (箭头 )的场线来形象地表示矢量场在空 间的分布情况 .那么 ,这些场线就称为 矢量线 或 流线 . 线上每一点的切线方向代表该点的 矢量场的方 向 ；线的疏密程度就表示该点的 矢量场的大小 . 如点电荷产生的电场中的电力线 . 1. 矢量场的 散 度 2 、矢量线的 微分方程 ： 在直角坐标系中 ,设某一矢量函数 为： A ),(),(),(),( zyxAezyxAezyxAezyxAA zzyyxx 由定义 :矢量线上任一点的切向长度元 与 该点的矢量场 平行 . A ld 则 0 ldA zzyyxx AeAeAeA 而 dzedyedxeld zyx 0 dzdydx AAA eee ldA 1)4(1 zyx zyx 可写成 zyx A dz A dy A dx 即 求出通解，就可 画出矢量线。 3 、矢量的 通量 ： ASd dSeSd n （ 1-4-3） 方向的确定： ne 是 开表面 的面元，而开表面的边界为闭合曲线 C， 选定 C 的绕行方向，则由右手螺旋定则，四指指向 C 的 绕行方向，大拇指指向 的方向，也即 方向。 Sd Sd ne ne Sd 是 闭合面 的面元，则 为该闭合面的 外法线 方向。 n dSASdA c o s 面元足够小，视其上的 A为常数 A Sd 有向面元 记作 : dSASdAd c o s A Sd 矢量场 的通量为 标量 ,其正、负 与面元 的 取向有关。 A ne 穿过面积 S 的通量为： 若 S为开表面，则穿过曲面 S的通量为： SS n SS dSAdSeASdAd c o s 若 S为闭合面，则穿出 S的通量为： S n SS dSeASdAd （ 1-4-5） （ 1-4-6） 讨论 : S为闭合面 S内没有 净源 . :0 S内必有吸收通量线的源 负源 :0 S内必有发出通量线的源 正源 :0 S n SS dSeASdAd 二、矢量场的散度 、散度的定义 0 l i m S A d S Adi v 散度的意义：表示场中任意一点 M处， 通 量对体积的变化率 。也称为 “ 通量源密度 ”。 在场空间 中任意点 M 处作一个闭合曲面，所围的体积 为 ，则定义场矢量 在 M 点处的散度为： ()Ar ()Ar 讨论： Adi v 0： 该 点 有发出通量线的 正源 ； Adi v 0： 该 点 有吸收通量线的 负源 ； Adi v 0： 该 点 无源。 散度是标量。 Adi v S SdA 0 lim 2 、散度在直角坐标系中的表示式： z A y A x AAdi zyx v 即 AAdi v )()( zzyyxxzyx AeAeAezeyexeAdi v 矢量微分算子 ： “ ” zeyexe zyx 5 、 高斯散度定理： S A d A d S 散度定理把一个 体积分 变换成一个 闭合面积分 ,因 此散度定理广泛用于将一个电磁场通量形式的积 分方程转换为一个散度形式的微分方程。 证明： 任取一体积 ，其相应的闭合表面为 S。 现将体积元 分成 N个体积元： Ni , 21 对任一体积元 而言 i i i i i i S d d SdA A i i i 00 limlim 即 i S i ASdA i i )(lim 0 同理：对 相邻的体积元 j i j S j ASdA j j )(lim 0 从 、 组成的体积中穿出的通量为 ： ji jiji AA ji )(lim)(lim 00 ji SS SdASdA 相邻两个体积元有一个公共表面，而公共 表面上的通量对这两个体积元来说，其 方向 恰好相反，故求和时相互抵消。结果，上式右边 的积分只剩下 、 外表面上的通量 ，因 此，当体积 由 N 个小体积元组成时，穿出体积 的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。 n i j N i S N i i j i SdAA 11 0 )(lim 即 S SdAdA )( 证毕 例：长方体区域由 0, 3z 0, 2;y x ;1,0 六个面组成，设其内矢量场 yx exexyA 22 试就此验证散度定理的有效性。 解： 由题意知 A 矢量为二维矢量，且和 3,0 zz 的表面 平行，因此只需要计算其余表面的通量。 12 ed x d zAed x d zA ed y d zAed y d zASdA yyyy xxxx s 3 0 1 0 2 3 0 1 0 0 3 0 2 0 1 3 0 2 0 0 )()()()( )()()()( 又因 yzAyAxAA zyx 2 yx axaxyA 22 于是体积分 1222 3 0 2 0 3 0 2 0 1 0 y d y d zy d x d y d zdVA V 以上计算表明： 散度定理成立 。 y o z 例：球面 S 上任意点的位置矢量为 ,zeyexeA zyx 求 . S SdA 解：根据散度定理 S SdAdA 3 z A y A x A A A zyx 的散度为而 .4 3 433 33 RRddASdA S