《定积分的概念》PPT课件

1 定积分的概念,在很多数学和物理问题中，经常需要,求一类特殊的和式的极限，这类特殊,的和式的极限问题导出了定积分的概,念.,三个典型问题,S (A), 其中,2. 已知质点运动的速度为，求从时,3.已知非匀速分布线状物体的密度函数,求线状物体的质量 m .,显然,这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情况下，,刻 a 到时刻 b，质点运动的路程 s.,可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题,以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题,中心思想：,是“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形，如何,来解决这些问题呢？,合理地归为一类特殊的和式的极限.,把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每,个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替,代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的,一分为二,时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面,积.,一分为四,一分为八,一分为 n,可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边,梯形的面积.,过程呢？ 可以分三步进行.,1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形,如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的,2.近似:,3. 逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是,S 总有差别. 当分割越来越细时，和式,问题是：,越细？,就会越来越小.,下面依次讨论这两个问题.,来表示分割 T 越来越细,因为可能某些,的长度不趋于 0 .,就能保证分割越来越细.,总结以上分析，下面给出定积分定义.,对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和,的极限.,定义1,并称 J 为 f 在 a,b上的,及任意,定积分,记作,注1,列极限，也不是函数极限.,注2,中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时,显然要求,因此定积分既不是数,关于定积分定义，应注意以下几点：,f (x)在每个小区间 xi1, xi 上变化不大, 这相当于,要求 f (x) 有某种程度上的连续性.,a, b 上的一致连续性, 可证 f (x)在a, b上可积.,下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.,解,例1,存在. 为方便起见,令,以后将知道 f (x) 在a, b 上连续时, 利用 f (x) 在,则,此时黎曼和的极限化为,的极限.,于是,注 这里利用了连续函数的可积性.因为可积,所,以可取特殊的分割(等分)和特殊的介点,