数学物理方法第十章

0u 2222222111()(sin)0sinsinuuurrrrrr 偏微分方程偏微分方程常微分方程组常微分方程组分离变量分离变量 本征值问题本征值问题广义傅立叶级数广义傅立叶级数勒让德多项式勒让德多项式贝塞耳函数贝塞耳函数（特殊函数特殊函数）特殊函数特殊函数勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式；勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式；贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、超几何，合流超几何等函数。超几何，合流超几何等函数。2一般的球函数一般的球函数球函数方程：球函数方程：22211sin10sinsinYYl lY球函数球函数（l 称作球函数的阶称作球函数的阶）：）：sin0,1,2,cos,cos0,1,2,mmllmmlYPml 10.1 10.1 轴对称球函数轴对称球函数ddxxl ldxdx222(1)2(1)0 1sin10sinl l cosx 2 1sinsin()xxxx 30u2()(1)0r Rl lR (sin)(1)sin0(0),()l l 有有界界2(1)(1)0(1)xl l 有有界界cosx|()rauf 1llllRArB r ()lPx 0()(cos)llluR r P 0()()(cos)lllfR a P 轴对称轴对称拉普拉拉普拉斯斯方程的求解方程的求解4ddxxl ldxdx222(1)2(1)0 （一）勒让德多项式（一）勒让德多项式1x 处有限处有限0,1,2,l 2(1)(1)()(1)(2)(1)(2)(1)kkkk kl lkl klaaakkkk 2(1)2(21)lll laal2kl 2122 21 2ll llll()()!()(!)（1 1）代数表示）代数表示则对则对1(22)!(1)2(1)!(2)!llll 2(2)!2(!)lllal约定最高次幂系数约定最高次幂系数1(2)!2(21)2(1)!(2)!llllll 24223232214 232 2 23 212()()()()()!()()!()()!()!llllllllaallll 22412 224()!()!()!()!llll 222122()!()!()!()!klkllkaklklk 2211kkkkaaklkl()()()()5222122()!()!()!()!klkllkaklklk 22022122/()!()()!()!()!lklkllklkP xxklklk勒让德多项式：勒让德多项式：2/l ：小于、等于小于、等于l/2的最大整数的最大整数。2100()nP每项每项总含总含 x x222012()!()()!nnnnPnn 唯一不含唯一不含 x 的项的项2lk6)92cos204cos35()33035()()cos33cos5()35()()12cos3()13()(cos)(1)(6412481481321341221210 xxxPxxxPxxPxxPxP7勒让德多项式的图象勒让德多项式的图象012122()1()()(31)P xP xxP xx -1-0.50.51-1-0.50.510.511.522.53-1-0.50.5111(),()lP xx 0(cos),()lP80121223132()1()()(31)()(53)P xP xxP xxP xxx (2)(2)微分表示（罗德里格斯公式）微分表示（罗德里格斯公式）222012211222/()!()()()!()!()!lllklkllllkdlkP xxxl dxlkklk证：证：220111122()!()()()!llkl kllklxxlkkll20112()()()!lkl klkxlkk220111122()()()!()!llllklkllllkddxxl dxdxlkk/220(22)(221)(21)(1)2()!lklklklklklkxlkk 22022122lklklklkxlkklk/()!()()!()!22/2lklkl9(3)(3)积分表示（施列夫积分）积分表示（施列夫积分）221111(1)()(1)2!22()llllllllCdzP xxdzl dxizx 由科西公式由科西公式C 绕绕 z=x 点点。设半径为设半径为x21 C 上上21izxx e21idzix e d 22221211111111122221lililllCilzxx edzix e dizxix e ()()()()222221211122 1iilixxx exedx e ()21122iileexxd 2011lxixd cos11lP()11llP ()()2112lxixd sin102011llP xxixd ()cosx cos01llP xid ()cossincos01llP xid ()cossincos222201ld /cossincos22201ld /cossin011d 即即1lP x()第二类勒让德函数第二类勒让德函数222(1)2(1)0d ydyxxl lydxdx 勒让德方程的一般解勒让德方程的一般解12()()()lly xC P xC Q x 由朗斯基行列式导出第二个线性独立解由朗斯基行列式导出第二个线性独立解()2121()p z dzedzz 2212()()()xdxxllleQ xP xdxP x 112212221()()()()(1)()xdxxllllleQ xP xdxP xdxP xxP x 0211111()ln211211dxxQxdxxxxx 1122221111111()ln()ln12121(1)1dxxxQ xxxdxxP xxxxxxxx 在在x=1处均发散处均发散222(1)2(1)0(1)(1)-有限，有限d ydyxxv vydxdxyy本征值本征值 v=0,1,2,3,在在 x=0点邻域内，两个线性无关解点邻域内，两个线性无关解2210221201()()222()1(2)!()()221()(1)222()1(21)!()(1)22 nnnnnnvvnny xxvvnvvnnyxxvvn12（三）（三）正交关系正交关系1x()110klPx P x dx()()（四）（四）模模1221llNP xdx()11222111112lllllllddddxxxdxldxdx()()()!kl222(1)2(1)0(1)(1)-有限，有限d ydyxxv vydxdxyy习题习题9.3（5）P261在在 x=1点邻域内，两个线性无关解点邻域内，两个线性无关解201(1)1()()(1)2(!)nvnvnxP xvnn第一类勒让德函数第一类勒让德函数()vQx第二类勒让德函数第二类勒让德函数12()()()vvy xC P xC Qx 在在 x=1点解析点解析在在 x=1点点发散发散若还要求在若还要求在 x=-1点有界点有界，本征值本征值 v=0,1,2,3,1()()vy xC P x x=1点有界点有界131221llNP xdx()11222111112lllllllddddxxxdxldxdx()()()!1112221221111111112llllllllllllldddddxxdxxxdxldxdxdxdx()()()()()!第一项为零，即第一项为零，即11221221111112lllllllldddNdxxxdxldxdx()()()()!进行进行 l 次分步积分后次分步积分后1222222111112llllllldNdx xxldx()()()()!只有最高次幂才不为零，故只有最高次幂才不为零，故1222121112llllllNdx xxl()!()()()(!)再逐次进行分步积分，得再逐次进行分步积分，得2221lNl即即221lNl14（五）广义傅立叶级数（五）广义傅立叶级数定义在区间定义在区间-1,1的函数的函数f(x)可以展开为广义傅立叶级数可以展开为广义傅立叶级数 0lllf xf P x()(),展开系数为展开系数为11212lllff x P x dx()()或区间或区间 0,的函数的函数 f()展开为展开为0lllff P()(cos),系数为系数为0212lllffPd ()(cos)sin勒让德多项式的完备性：任意一个在区间勒让德多项式的完备性：任意一个在区间-1,1中分段连续的中分段连续的函数函数f(x)，在平均收敛意义下，可展开为级数在平均收敛意义下，可展开为级数0lllf xf P x()(),平均收敛：平均收敛：21010lim()()NllNlf xf P xdx151611()()0,()klPx Px dxkl 正交性正交性1212()()21lllPx Px dxNl 正交性应用例题正交性应用例题0,200,011112)()()(llllNdxxPxPdxxP1,32211,11111)()()(llllNdxxPxPdxxxP200,31222,3203123211211)()(NNdxPPPdxxPxllll模模例例1：在在-1,1中将中将 展开为广义傅立叶级数展开为广义傅立叶级数。3234f xxx()22022122lklkllklkP xxklklk/()!()()!()!()!解：解：比较比较展开式最多含三阶勒让德多项式。展开式最多含三阶勒让德多项式。01P x()1P xx()221312P xx()()331532P xxx()()3234f xxx()001 1223 3f Pf Pf Pf P23012311315322ff xfxfxx()()233021233135()()2222ffffxf xf x1621355f 04f 345f 31332ff 013214()4()()()55f xP xP xP x20f 17例例2()f xx)(xfx1121()()2lllff x P x dx0()(),lllf xf P x011021()()()2lllx P x dxxP x dx)()()()(2121001dxxPxxdxPxllldxxPxPxlll)()(21210是奇函数：是奇函数：21()kPx210kf1220412()2kkkfxPx dx122222041122kkkkkdxxdxkdx()(!)12121221220221210411122kkkkkkkkddxxxdxkdxdx()()(!)22221022241122kkkkkdxkdx()(!)x=1为二阶零点为二阶零点18222222212210202222011kkkkk nnnkkknddxCxdxdx()()因因找出找出221nk()项，它在项，它在 x=0 才不为零才不为零221122 120221kkkkkkdCxdx()12122kkkkC()()!121141 2212121kkkkkkfkk()()!()()!()!10012fxdx222212022241122kkkkkkdfxkdx()(!)19例例3020rruu,cos llllllBu rA rPr10(,)()(cos)解：解：由轴对称由轴对称球内含球内含r0 所以所以lB0 llllu rA r P0(,)(cos)rru 02cos llllu rA r P2000(,)(cos)cos （六）拉普拉斯方程的轴对称定解问题（六）拉普拉斯方程的轴对称定解问题边界条件与角边界条件与角 无关，可以推断无关，可以推断解也与角解也与角 无关。故无关。故m=0边界条件：边界条件：P x0()1 P xx221()(31)2PxPx22021()33 20llllA r PPP020021(cos)(cos)(cos)33 A013 Ar22023 ru rPPr2022012(,)(cos)(cos)33A r22 023 llllu rA r P0(,)(cos)例例 4u 0cos0qu0,20u 定解问题：定解问题：偶延拓：偶延拓：002r ruu cos()u 0cos 0002r ruu cos,()或或0001r ruu xx,或或00 xxu0llllu rA r P(,)(cos)0000llllu rA r P xu x(,)()21102114121122122kkkkkxP xPxkk()()!()()()()()!0000llllu rA r P xu x(,)()1002114121122122kkkkkuP xPxkk()()!()()()()()!21002210(41)(21)!(,)(1)()2(21)(22)!kkkkkukkru ruPxkkr 220llllu rA r P(,)(cos)例例 5 均匀电场中放置介电常数均匀电场中放置介电常数的球，求介质球的球，求介质球内、外内、外的电场的电场0E0E 解：解：无穷远处有边界条件，无穷远处有边界条件，球面处有衔接条件。球面处有衔接条件。取球坐标，取球坐标，z-方向沿方向沿0Er轴对称拉普拉斯问题轴对称拉普拉斯问题0,u 内外分别讨论，然后连接起来内外分别讨论，然后连接起来边界条件：边界条件：0coseruE r 衔接条件：衔接条件：iuiueueuInternal:External:00ir rer ruu电势连续：电势连续：电位移连续：电位移连续：0000ier rr ruurr(0)iu r 有限有限23轴对称拉普拉斯方程解的一般形式：轴对称拉普拉斯方程解的一般形式：10(,)()(cos)llllllBu rA rPr球内球内 有限：有限：(0,)u r 0(,)(cos)lilllu rA r P球外球外无穷远边值：无穷远边值：00(,)(cos)coslelllu rC r PE r 10CE 01lCl0010(,)cos(cos)lelllDu rCE rPr10llellllDu rC rPr(,)()(cos)24利用衔接条件：利用衔接条件：000 01000(cos)cos(cos)llllllllDA r PCE rPr10020001()(cos)cos(cos)lllllllllDlA rPEPr 00001ACDr11 00 020DArE rr 010llllDA rr110302DAEr 10201()lllllDlA rr 00AC解得解得00D 1032AE 310012Dr E 02llADl02010Dr 252l 0032(,)cosiu rAE r 300002112(,)coscoseu rAE rr Er 球内电场强度：球内电场强度：0032(,)izu rAEk iiiiiuuuEuijkxyz 032E 0E1 0iEE26（七）母函数（七）母函数定义：定义：0()(cos)lllF rr P 叫勒让德多项式的叫勒让德多项式的母函数。母函数。dr04 电荷在单位球的北极。电荷在单位球的北极。求球内任一点电势。求球内任一点电势。21112 cosdrr 它又是拉普拉斯方程的内解：它又是拉普拉斯方程的内解：2011 2(cos)cosllllAr Prr 令令0 011llrr故故1lA 2011 2(cos)coslllr Prr 2721111 2cos()rrr 令令0 0111111llrrrr所以所以1201112(cos)coslllPrrr 半径半径 R 的球：的球：122012(cos)cosllllrPRRrRr 122012(cos)cosllllRPrRrRr rRrR球外球外120112(cos)cosllllBPrrr 11r28例例6r 1rd解：解：利用已知结果。利用已知结果。导体内：等势。导体内：等势。导体外：导体外：无导体时022112cosqurrrr 有导体时，设有导体时，设0(,)uuv r 314 ()uqrr 0(,)u a 接地接地0u(,)0?u022112(,)cosqu arara (,)0v 0v 2211(,)2cosqv arara 00(,)u q1aqr2910(,)(cos)llllBv rPr1122001112llllllllBqaPqParrara (cos)(cos)cos2111lllaBqr 211122011112(,)(cos)coslllllqau rqPrrrrrr 又又21122011221112(,)()(cos)()cosllllaqraav rqPrrraarrrr uv是是 处电荷处电荷 的电势。这个电荷叫原电荷的的电势。这个电荷叫原电荷的镜像镜像。21ar1aqr是原电荷的电势与镜像电荷的电势的叠加。是原电荷的电势与镜像电荷的电势的叠加。30（八）递推公式（八）递推公式2011 2()lllr P xrxr两边对两边对r求导求导12 3/20()(1 2)lllxrlrP xrxr或或2120(1 2)()1 2lllxrrxrlrP xrxr2100()()(1 2)()llllllxrr P xrxrlrP x两边同幂两边同幂 的系数的系数111()()(1)()2()(1)()kkkkkxPxPxkPxxkPxkPx11(1)()(21)()()0kkkkPxkxPxkPx递推递推公式公式1r kr3132母函数应用：母函数应用：勒让德多项式模的计算勒让德多项式模的计算201(,)()12lllu x rr Pxrxr 1121100()()12lklklkdxr Pxr Px dxrxr 12111001()()ln(12)|2lklklkrPx Px dxrxrr 2,001ln(1)ln(1)lkl kllkrNrrr 22200001(1)21121nlnnlllnnlrNrrrnnl 2221lNl 1r 2121110()()()()xymxyl lm my2221210()()()mllld pdpxxl lpdxdx22()2(2)(1)()2(1)(1)2(1)mmmmlllld pxxpmxpm mpdx()(1)()222mmmllldpxxpmpdx 221121110()()()()()()()mmmlllxpmxpl lm mp221()()mmmllPxPx 10.2 10.2 连带勒让德函数连带勒让德函数221()()mxy x 222(1)(1)01ddmxl ldxdxx（一）函数（一）函数设设cosx(1)(1)表达式表达式0 1 2,ml33(2)(2)微分表示微分表示2112()!llllldPxl dx222112()()!ml mmllll mxdPxldxm情况：情况：222112()()!ml mmllll mxdPxldx2221101()()ddmxl ldxdxx 二阶微分方程至少有两个独立解，但满足特定边界条件的本二阶微分方程至少有两个独立解，但满足特定边界条件的本征解只有一个，故这两个解只相差一个常数。征解只有一个，故这两个解只相差一个常数。2222111121()!()()()()!()!()()!()!()()!l mmmlml mmll mmlll mldxxPlmlmdxldPlmxlmdx 比较最高次幂系数比较最高次幂系数34(3)(3)积分表示积分表示222211122()()!()cos!ml mmmlimllll mxdilmPxexixdlldx （二）正交关系（二）正交关系110()()mmklPx Px dx()kl（三）模（三）模1221()()mmllNPxdx12222111112()!()()()()!(!)l ml mmllll ml mlmddxxdxlmldxdx 多次分步积分：多次分步积分：122221()!1(1)(1)()!2(!)llllllllmddxxdxlmldxdx()!2()!21lmlml（四）广义傅立叶级数（四）广义傅立叶级数0()()mlllf xf Px1121()!()()2()!mllllmff x Px dxlm3512 1/21()(1)sinPxx 2 1/2(1)(3)xx12 1/2221()(1)(31)2Pxxx33sincossin22222 22222131313 131222Pxxxx/()()()()sin(cos)36连带勒让德函数连带勒让德函数10121122()0()1sin()313sin cosPxPxxPxxx 2/2()()(1)()mmmllPxxPx 20212222()0()0()3(1)3 sinPxPxPxx cos)(1)(0100 xPxP2(),2,3,4.lPx l 以以 为基，再为基，再-1,1-1,1区间展开函数区间展开函数例例1例例222221()1sin()3f xxPx ()f x101()010 xf xx22()()lllf xf Px221220121221211021(2)!(1)(1)2(2)!2!21(2)!(1)(1)2(1)2(1)2(2)!2!2!2!lllllllllllllllllllxdfxdxlldxllxdxx dxdxlldxldxldx2(1)2lP3722222223()3(1)3 sin()15(1)15 sincosPxxPxxx 2/22(1)()(1)2!mlmmllllmxdPxxldx 1212110(21)(2)!1(1)(1)222(2)!2!llllllllxlldxdxflldxdx2ln2(41)(22)!(22)!nnnfn012 nlllnnnlnxxdxdxnndxdxn n12222111200(1)(1)(21)!(1)(2)!(1)!2122212210(21)!(1)(1)()(1)(21)!nlnnkkknxxxnkk 2nx项系数有贡献项系数有贡献122222112200(1)(1)(21)!(1)(22)!(1)!llnnnlnxxdxdxnndxdxnn 1knkn22nx项系数有贡献项系数有贡献12121(43)(21)!(1)(2)!22(22)(21)2(23)!2!(1)!nnnnnnfnnnn n 每项含有每项含有x3810.3 10.3 一般的一般的球函数球函数（一）（一）球函数球函数,3,2,1,2,1,0cossin)(cos),(llmmmPYmlml（二）正交关系（二）正交关系0(,)(,)sin,mnlkSYYd dmnlk 或或（三）模（三）模2122210221sin()!(,)sin(cos)sincos()!mmmllSmlmYd dPddmlml （四）球面上的广义傅立叶级数（四）球面上的广义傅立叶级数0(,)cossin(cos)mmmlllmlmfAmBmP 20 020 0212212()!(,)(cos)cossin()!()!(,)(cos)sinsin()!mmllmmmllllmAfPmd dlmllmBfPmd dlm 39例例111sincos(cos)cosP1 1,ml11sinsin(cos)sinP例例22231(,)sincosf 注意：注意：cos,sinmm212312cos(,)sinf 22331222sinsincos 221331222(cos)sincos 2221(cos)(cos)cos22PP 11(cos)sinP12(cos)3sincosP2223(cos)sinP0(cos)1P 1(cos)cosP221(cos)(3cos1)2P40例例3偶极矩的电场中的电势偶极矩的电场中的电势qqsqxyzq),(zyx解解2220222141qu x y zxsyzxyz(,)()0s 2220()1(,)4qsu x y zxxyz3222024qsxxyz()13222024sincos()xprxyz111204(cos)cosxpPr沿x轴41沿沿y轴轴111204(,)(cos)sinypu x y zPr沿沿z轴轴11204(,)(cos)zpu x y zPr m=0沿任意方向沿任意方向1111111113200144(,)(cos)cos(cos)sin(cos)xyzp ru x y zp Pp Pp Prr(五五)拉普拉斯方程的非轴对称解拉普拉斯方程的非轴对称解例例4球内解球内解0u200(,)sincossinu ru 0101(,)cossin(cos)cossin(cos)lmmmlllmlmmmmllllmlmu rrAmBmPCmDmPr 422200122sincossinsinsinuu202126(cos)sinu P000(,)cossin(cos)lmmmlllmlmu rrAmBmP 202206uBr其余其余0mmllAB22022026(cos)sinu ruPr边界条件：边界条件：例例5球外解球外解0u220013(,)(sinsin)u ru 101(,)cossin(cos)mmmllllmlmu rCmDmPr 222001312133 2(sinsin)sin(cos)uu220133211322(sin)cos(cos)u20221232(cos)cos(cos)uPP2202CC43四极矩四极矩)0,0,(11xpp 取分量：取分量：113222024(,)()xxpxuprxyz一个偶极一个偶极矩的电势矩的电势22(,0,0)xss两个偶极两个偶极矩的电势矩的电势123222024()()()xxpxu rsxxyz20 xs222212125300313sincos144xxxxp sp sxrrr偶极矩偶极矩xyz)0,0,(11xpp 1(,0,0)xp4421222301 1242(,)(cos)cos(cos)xxp su x y zPPr一般的一般的1212122301121221121222121222121221(,)(2)(cos)4()(cos)cos()(cos)sin1()(cos)sin221()(cos)cos2 2xxyyzzxzzxyzzyxyyxxxyyu x y zp sp sp sPrp sp sPp sp sPp sp sPp sp sP 45加法公式：加法公式：(cos)lP用一般球函数用一般球函数展开展开(,)mlY sin(,)(cos)cosmmllmYPm 复数形式复数形式(,)(cos),mmimllYPemll (1,)M 00(1,)P OzOPOM00000(sincos,sinsin,cos)(sincos,sinsin,cos)矢量矢量OP与与OM的标积的标积000coscoscossinsincos()00002()!(cos)coscossinsin(cos)(cos)()!lmmlllmmlmPmmmmPPlm 0000421()*()!(cos)(cos)(,)(,)()!llimmmlllmlmmlmllmPPeYYlml 归一化球函数归一化球函数46