复变函数工科复变21

1第二章第二章 解析函数解析函数 本章首先介绍连续函数与函数导数的本章首先介绍连续函数与函数导数的概念，重点研究解析函数，并探讨了解析概念，重点研究解析函数，并探讨了解析函数与调和函数的关系，最后介绍几个基函数与调和函数的关系，最后介绍几个基本的初等函数本的初等函数.21 1 复变函数的导数复变函数的导数2 2 解析函数解析函数32-1 2-1 复变函数的导数复变函数的导数如如果果极极限限，上上的的复复变变函函数数是是定定义义于于区区域域设设1 1定定义义 ,)(00DzzDzDzfw ).(,)(.)(000zfzzfzzf 记记作作的的导导数数在在这这个个极极限限值值称称为为可可导导在在存存在在，则则称称 )()(lim 000zzfzzfz (1)(1)导数的定义导数的定义4注意注意.)0(0的的方方式式是是任任意意的的即即 zzz.)()(,0000都趋于同一个数都趋于同一个数时时内以任意方式趋于内以任意方式趋于在区域在区域也即也即zzfzzfzDzz .)(,)(可导在区域内称则内的每一点可导在区域如果函数DzfDzf0000)()(limdd)(0zzzfzfzwzfzzz ).(zfD记为上的导数构成导函数，此时，在区域5.)(2的导数的导数求函数求函数zzf 1 1例例zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz z2 zz2)(2 6是否可导？是否可导？问问yixzf32)(2 2例例zzfzzfzfzz )()(limlim00解解yixyixiyyxxz32)(3)(2lim0yixyixz 32lim000 0 yxxz即即，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设xyoz0 y7xyoz0 yyixyixz 32lim022lim0 xxx0 xyixyixz 32lim033lim0 yiyiy不存在不存在的导数的导数所以所以.32)(yixzf 00 0 yxyz即即，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设8(2)可导与连续的关系可导与连续的关系 函数函数f(z)在在z0 处可导，则在处可导，则在z0 处一定连续处一定连续,但但函数函数 f(z)在在z0 处连续不一定在处连续不一定在z0 处可导处可导.必有必有点可导点可导在在，由，由 ,)(0zzf事实上事实上0)()()(lim0000 zfzzfzzfz)()()()(000zfzzfzzfz 令令9,0)(lim 0 zz 再由再由 )()(00zfzzf ,)()(lim 000zfzzfz 所以所以 .)(0连续连续在在即即zzf ,)()(0zzzzf 可知，可知，反过来，由例反过来，由例 2 ;32)(不可导不可导yixzf 连连续续。续续性性定定理理，知知连连续续，由由连连，但但二二元元函函数数yixzfyyxvxyxu32)(3),(2),(10(3)求导法则求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数的定义在形式上完全一致，同时，复变中导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同，此处略且证明方法相同，此处略.求导公式与法则求导公式与法则:.,0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为正整数为正整数其中其中nnzznn 11 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )().()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)(,)()(,)(1)()7(wwzzfwwzf 且且函数函数两个互为反函数的单值两个互为反函数的单值是是与与其中其中12例例1 1 试证函数试证函数 （n n为自然数）在为自然数）在复平面上处处可导，且复平面上处处可导，且 。()nf zz 1()nfznz 131.1.可微的概念可微的概念 复变函数可微的概念在形式上与一元实变复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致。函数的微分概念完全一致。复变函数可微与可导是否也具有一元实变复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数可微与可导的关系？函数可微与可导的关系？，使得，使得若存在复常数若存在复常数的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，在在设函数设函数定义：定义：Azzfw0)()()(00zzAzfzzf 可微。可微。在点在点，则称，则称其中其中00)(0lim zzfz 二、微分的定义及其可微的充要条件二、微分的定义及其可微的充要条件14可可导导的的充充要要条条件件是是在在复复变变函函数数0)(zzfw 引引理理).()(00zfAzzf 处可微，且处可微，且在点在点，则，则存在，且记存在，且记设设)()(00zfAzf 证明证明 )()(lim 000zzfzzfz A )()(00Azzfzzf 令令15 )()(00zzAzfzzf 则则且且.0lim 0 z可微。可微。在点在点这说明函数这说明函数0)(zzf反过来可容易证明反过来可容易证明16与一元函数类似地与一元函数类似地,记记,d)()(d00zzfzzfw .)(00可微等价可微等价可导与在可导与在在在引理告诉我们，引理告诉我们，zzzfw .)(,)(内可微内可微区域区域在在则称则称内处处可微内处处可微区域区域在在如果函数如果函数DzfDzfzzfwd)(d 172.充要条件充要条件Cauchy-Rieman简介简介18定理定理1 1 复变函数复变函数 点点 可导可导的充分必要条件是：的充分必要条件是：函数函数 与与 在在 可微可微 在该点满足方程在该点满足方程 当当 在在 可导时，它在该点的导数为可导时，它在该点的导数为条件（条件（*）常称为）常称为柯西柯西黎曼方程黎曼方程（C.C.R.R.方方程程）iyxvyxuzf),(),()()(zf),(yxvyvxu xvyu ),(yxuiyuyvixvxuzf )(iyxz000 *iyxz000 0zz 19 :),(),()(000处处的的导导数数公公式式点点在在由由该该定定理理，可可得得函函数数iyxzyxivyxuzf .1)(0yvyuixvixuzf 20必要性必要性 设 在点 处有导数这里 是 实数。根据导数的定义，当 时，其中 ，是实增量，的意义为 比较（3.2）的实部与虚部，可以得)(zf000iyxziba ba,Dzz，0z，|)(|)()(00zozzfzzf.0|z，）（|)(|)(zoyixibayixzyx ,)(zo.0|)(|lim0zzoz）（1.3，|)(|),(),(0000zoybxayxuyyxxu）（2.3.0|z 21，|)(|),(),(0000zoyaxbyxvyyxxv）（3.3.0|z这说明：在点 处，函数 与可微，并且由此可以推出 。000iyxz),(yxu),(yxvbyuaxu,ayvbxv,)(）（4.322推论推论 设设 。若。若 和和 在在 的四个一阶偏导函数在点的四个一阶偏导函数在点 均连续并且满足均连续并且满足 C-R C-R 方程，方程，则则 在点在点 处可导。处可导。注意注意 1 1）在点在点 可微等价于它在该可微等价于它在该点可导。但不等价于其实部函数与虚部函数在点点可导。但不等价于其实部函数与虚部函数在点 可微。可微。2 2）一个二元实函数在某点可微的一个二元实函数在某点可微的充分充分条条件是：它的两个一阶偏导数在该点不仅存在，而件是：它的两个一阶偏导数在该点不仅存在，而且是连续。且是连续。iyxvyxuzf),(),()(),(yxu),(yxv),(00yx)(zfiyxz000 )(zfiyxz000 ),(00yx23(1)解析函数的定义解析函数的定义.)(,)(00处解析处解析在在则称则称的某个邻域内处处可导的某个邻域内处处可导在在如果函数如果函数zzfzzf内解析内解析区域区域在在内每一点解析，则称内每一点解析，则称区域区域在在如果函数如果函数DzfDzf)()(.)()(,上的解析函数上的解析函数区域区域在闭在闭内解析，则称内解析，则称区域区域在在数数且函且函是一个区域，若闭区域是一个区域，若闭区域如果如果DzfGzfGDG 2-2 2-2 函数的解析性和指数函数函数的解析性和指数函数24 复变函数在复变函数在区域内解析区域内解析与在该与在该区域内可导区域内可导是是等价等价的的.复变函数在一点处复变函数在一点处解析解析必在该点处必在该点处可导；可导；反反过来不一定成立，即复变函数在一点处可导，不过来不一定成立，即复变函数在一点处可导，不一定在该点处解析一定在该点处解析.事实上，复变函数在区域内解析显然在该事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导区域内可导.,)(DzDzf 则则内可导，内可导，在区域在区域反过来，设反过来，设,DUUz 使得使得的某个邻域的某个邻域必存在必存在内可导，内可导，在在内可导，必有内可导，必有在区域在区域由由UzfDzf)()(.)(的任意性，得证的任意性，得证处解析，由处解析，由点点即即zzzf25定理定理1 函数的解析点一定是它的可导点反之函数的解析点一定是它的可导点反之不真；点不真；点 为函数为函数 的解析点的充分必要条件是的解析点的充分必要条件是点点 为其可导点所构成的集合的内点。为其可导点所构成的集合的内点。推论推论1 1 若函数若函数 在某个区域内解析的充分必在某个区域内解析的充分必要条件为它在该区域内可导要条件为它在该区域内可导推论推论2 2 复变函数不会只在有限个点或者一条曲复变函数不会只在有限个点或者一条曲线上解析，它的线上解析，它的全体解析点的集合一定是开集全体解析点的集合一定是开集。0z0z )(zf26另外，由第另外，由第1节的节的定理定理以及以及推论推论1 1，我们有我们有定理定理2 2 函数函数 在区域在区域 内解析等内解析等价于二价于二元实函数元实函数 和和 在在区域区域 内内处处处处可微，可微，并且满足并且满足C C R R方程。此时，在区域方程。此时，在区域 内有内有 iyxvyxuzf),(),()(D),(yxu),(yxvDDiyuyvixvxuzf )(27例题例题例例 1 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导,在何处解析在何处解析:.)(4);Re()3();sin(cos)()2(;)1(2zzfzzwyiyezfzwx 解解,)1(zw ,yvxu .1,0,0,1 yvxvyuxu不满足不满足Cauchy-Riemann方程方程,.,处处不解析处处不解析在复平面内处处不可导在复平面内处处不可导故故zw 此时此时28)sin(cos)()2(yiyezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx .,xvyuyvxu 且四个偏导数均连续且四个偏导数均连续 .,)(且且处处解析处处解析在复平面内处处可导在复平面内处处可导故故zf).()sin(cos)(zfyiyezfx此时此时29)Re()3(zzw ,2xyix ,2xyvxu .,0,2xyvyxvyuxxu 四个偏导数均连续四个偏导数均连续 ,0,0 方程方程满足满足时时仅当仅当RiemannCauchyyx ,0)Re(处可导处可导仅在仅在故函数故函数 zzzw .在在复复平平面面内内处处处处不不解解析析此时此时)Re(zzw 30,2)()4(222xyiyxzzf ,2,22xyvyxu .2,2,2,2xyvyxvyyuxxu ,0 方程方程满足满足时时仅当仅当RiemannCauchyx ,0 2上可导上可导仅在直线仅在直线故函数故函数 xzw .在在复复平平面面内内不不解解析析此时此时2)(zzf 31例例2 2 判别函数判别函数 的可导点和解析点。的可导点和解析点。此时此时这四个偏导数都连续，这四个偏导数都连续，和和 处处可处处可微，其微，其C-RC-R方程只在直线方程只在直线y=xy=x上成立。于是函数上成立。于是函数 仅在直线仅在直线y=xy=x上可导，上可导，在复平面内处处不解析。在复平面内处处不解析。iyxzf22)(,22yvxu .2,0,0,2yyvxvyuxxu ),(yxu),(yxv)(zf)(zf32例例3 3 解解?)(,),()(2222解析解析在复平面内处处在复平面内处处取何值时取何值时问常数问常数设设zfdcbaydxycxibyaxyxzf,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv ,xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2.2 ,1 ,1 ,2 dcba所求所求2222),(,),(ydxycxyxvbyaxyxyxu 记记33例例4 4.)(,)(内为一常数内为一常数区域区域在在则则内处处为零内处处为零在区域在区域如果如果DzfDzf 证证xvixuzf )(,0 yuiyv,0 xvyuyvxu故故 ,常数常数常数常数所以所以 vu .)(内为一常数内为一常数在区域在区域因此因此Dzf34例例5 5解解.)(,),(),()(2zfuvDyxivyxuzf求求并且并且析析内解内解在区域在区域设设)1(,2yuuyvxu )2(,2xuuxvyu (1)(2)得得代入代入将将,0 xu,0)14(2 uxu,0 (2)yu得得由由 ),(常数常数所以所以cu ).()(2常数常数于是于是icczf 35参照以上例题可以证明参照以上例题可以证明:.)(,)(内为常数内为常数在在则则，并且满足下列条件之一并且满足下列条件之一内解析内解析在区域在区域如果如果DzfDzf ;)()1(恒取实值恒取实值zf;0)()2(zf ;)()3(常数常数 zf ;)()4(解析解析zf ;)(Re)5(常数常数 zf ;)(Im)6(常数常数 zf;)7(2uv .)(arg )8(常数常数 zf36例例6 6 研究研究 在在 的可导性。（说的可导性。（说明在上面定理中明在上面定理中 的的可微性不可去可微性不可去）xyzf)(0 z),(),(yxvyxu37解析函数的判定方法解析函数的判定方法:.)()()1(内解析内解析在在接断定接断定内处处存在，则可直内处处存在，则可直的导数在区域的导数在区域数数导法则证实复变函导法则证实复变函如果能用求导公式或求如果能用求导公式或求DzfDzf.)(,RiemannCauchy),(,),(,)(2)(内解析内解析在在断定断定由解析函数的充要条件由解析函数的充要条件则则方程方程，且满足，且满足内可微内可微在在因而因而的各一阶偏导数连续的各一阶偏导数连续内内在在中中如果复变函数如果复变函数DzfDyxvyxuDvuivuzf 38 .)()()(内解析内解析在在除去分母为零的点除去分母为零的点差、积、商差、积、商的和、的和、与与内解析的两个函数内解析的两个函数在区域在区域DzgzfD.)(,)(,.)(,)(内解析内解析在在那末复合函数那末复合函数于于都属都属的对应值的对应值函数函数内的每一个点内的每一个点对对如果如果内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在函数函数内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在设函数设函数DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh 容易得到容易得到39从而，可知从而，可知(1)所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的.,)()()2(它的奇点它的奇点使分母为零的点是使分母为零的点是的的零的点的区域内是解析零的点的区域内是解析在不含分母为在不含分母为任何一个有理分式函数任何一个有理分式函数zQzP40.)(72的的解解析析性性研研究究函函数数zzf 例例解解zzfzzf )()(00zzzz 2020zzzzzzz 0000)(zzzzz 00,00时时当当 z0)()(lim000 zzfzzfz41,00时时当当 z ,)(0000zxxkyyzz趋于趋于沿直线沿直线令令 zzyixyix xyixyi 11ikik 11 ,的任意性的任意性由于由于 k .11不趋于一个确定的值不趋于一个确定的值kikizz )()(lim000不存在不存在zzfzzfz .,0 )(,2在复平面内处处不解析在复平面内处处不解析不可导，根据定义，它不可导，根据定义，它而在其他点都而在其他点都处可导处可导仅在仅在因此因此 zzzh42.1)(的解析性的解析性研究函数研究函数zzf 例8例8解解 ,1)(2zzf .0 1)(外处处解析外处处解析在复平面内除在复平面内除所以所以 zzzf 30z0z,0 1 知知时，由求导法则时，由求导法则不可导，而不可导，而处处故在故在处不连续处不连续在在因为因为 zzw43 由此可以看出，由此可以看出，复变函数的导数定义与一复变函数的导数定义与一元实函数的导数定义在形式上完全一样，它们元实函数的导数定义在形式上完全一样，它们的一些求导公式与求导法则也一样。的一些求导公式与求导法则也一样。然而，复变函数的导数要求极限存在与然而，复变函数的导数要求极限存在与 变变量量 z 趋于趋于 z0 的方式无关的方式无关,这与二元实函数的极限这与二元实函数的极限相一致，是否可以说明相一致，是否可以说明复变函数的导数就是两个复变函数的导数就是两个二元实函数的导数？二元实函数的导数？上面几个例上面几个例 子说明问题不是那么简单。子说明问题不是那么简单。441789.8.211789.8.21生于法国、巴黎生于法国、巴黎1857.5.231857.5.23卒于法国、斯科卒于法国、斯科A.L.Cauchy(A.L.Cauchy(柯西柯西)简介简介数学分析严格化的开拓者数学分析严格化的开拓者复变函数论的奠基人复变函数论的奠基人弹性力学理论的建立者弹性力学理论的建立者在方程、群论、数论、几在方程、群论、数论、几何、光学、天体力学等也何、光学、天体力学等也有出色贡献。有出色贡献。多产的科学家多产的科学家(800(800多篇论文多篇论文)，分析大师，分析大师。45Riemann(Riemann(黎曼黎曼)简介简介1826.9.171826.9.17生于德国、汉诺威生于德国、汉诺威1866.7.201866.7.20卒于意大利卒于意大利除博士论文外，生前发表除博士论文外，生前发表1010篇篇论文，遗作论文，遗作1010多篇，对现代数多篇，对现代数学影响最大的数学家之一学影响最大的数学家之一。开创了复变函数论、代数函开创了复变函数论、代数函数论、常微分方程解析理论、数论、常微分方程解析理论、解析数论。解析数论。实分析、级数理论、几何学、数学物理等重大突破实分析、级数理论、几何学、数学物理等重大突破。