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3.4生活中的优化问题举例,作者：沙市五中 任启林,高二数学 选修1-1,知识回顾,一、如何判断函数函数的单调性？,f(x)为增函数,f(x)为减函数,二、如何求函数的极值与最值？,知识背景：,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题.,例1：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？,图3.4-1,因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。,解法二：由解法(一)得,问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?,你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?,例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，()瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？ (）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？,-,+,减函数,增函数,-1.07p,每瓶饮料的利润：,背景知识,解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是,当半径r时，f (r)0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高； 当半径r时，f (r)0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低,1.半径为cm 时，利润最小，这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本， 此时利润是负值,半径为cm时，利润最大,1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。,从图中可以看出:,从图中，你还能看出什么吗？,问题3、磁盘的最大存储量问题,(1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？ (2) 你知道磁盘的结构吗？,(3)如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的信息？,例3：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环行区域。,是不是r越小，磁盘的存 储量越大？,(2) r为多少时，磁盘具有最大存储量 （最外面的磁道不存储任何信息）？,解：存储量=磁道数每磁道的比特数,设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储人何信息，所以 磁道最多可达 又由于每条磁道上的比特数相 同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即 每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量,（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.,(2)为求 的最大值，计算,令,解得,因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大 存储量为,由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：,优化问题,用函数表示的数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。,解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0x60).,令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 16000.,由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.,练习1:在边长为60cm的正 方形铁皮 的四角切去相等的正方形,再把 它的边沿虚线折起(如图),做成一 个无盖的方底箱子,箱底边长为 多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?,解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0x60).,令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 16000.,由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积16000cm3.,练习：,练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?,R,h,解 设圆柱的高为h,底面半径为R.,则表面积为 S(R)=2Rh+2R2.,又V=R2h(定值),即h=2R.,可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.,答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.,解:设B(x,0)(0x2), 则 A(x, 4x-x2).,从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).,令 ,得,所以当 时,因此当点B为 时,矩形的最大面积是,练习4:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.,解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.,设 ,由x,y为正实数得:,设,令 ,得 又,又f(0)=f()=0,故当 时,练习5:证明不等式:,证:设,则,令 ,结合x0得x=1.,而01时, ,所以x=1是f(x)的极小值点.,所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.,从而当x0时,f(x)1恒成立,即: 成立.,
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