信号与系统控制的复频域分析.ppt

第7章 信号与系统控制的复频域分析法,7.1 复频域分析法及其特点 7.2 连续信号与系统的复频域分析 7.3 离散信号与系统控制的复频域分析,7.1 复频域分析法及其特点,7.1.1 什么是复频域分析法 7.1.2 复频域分析法的主要特点,7.1.1 什么是复频域分析法,复频域分析法包括连续信号与系统的复频域分析与离散信号与系统的复频域分析两部分； 在连续信号与系统的分析中，复频域分析法即拉普拉斯分析法； 在离散信号与系统的分析中，复频域分析法则称为Z变换法。 频域分析法揭示了信号的频谱特性和系统的频域特性，但频域分析法有两个局限性：一是某些信号的傅立叶变换不存在，给信号与系统的分析带来了很大的不便；另一个最大的局限性就是只能求解系统的零状态响应。 复频域分析法则是能够有效克服频域分析法局限性：不仅能够避免出现信号分析的死区，全面解决信号的复频域分析问题；而且能够求解系统的零状态响应与零输入响应问题，即可以求解系统的完全响应，使信号与系统的分析更为完整、简洁。,7.1.2 复频域分析法的主要特点,在连续信号与系统的分析中，复频域分析法的主要特点是在频域分析法的基础上引入衰减因子 ，使傅立叶正变换中的 变成 ；使原来频域分析中的基本虚指数信号 扩展为复频域分析中的基本复指数信号 ，其中 即为复频率；同时也使傅立叶变换成为了拉普拉斯变换。,7.2 连续信号与系统的复频域分析,7.2.1 拉普拉斯变换 7.2.2 用拉普拉斯变换法求解微分方程 7.2.3 RLC系统的复频域分析 7.2.4 闭环系统的根轨迹 7.2.5 利用根轨迹分析系统的性能,7.2.1 拉普拉斯变换,1）从傅立叶变换到拉普拉斯变换 用 表示信号 的傅立叶变换，由傅里叶 变换的定义，则有： 令 ，则有： （7.2-2） 式（7.2-2）即为信号f(t)的双边拉普拉斯变换，记为 =,同样，根据傅里叶逆变换的定义，则有： （7.2-5） 式（7.2-5）称为F(s)的拉普拉斯逆变换，记为,2） 双边拉普拉斯变换的收敛域 任一信号f(t)的双边拉氏变换F(s)是否存在，完全取决于是否选择了合适的。只要选择了合适的，就能满足绝对可积条件，即：,此时， f(t) 的双边拉氏变换F(s)就一定存在。由于 =Res， 所以 F(s)是否存在，取决于是否选择了适当的 s 。在复平面上， 能使F(s)存在的 s 的取值范围称为F(s) 的收敛域。由于F(s)的存 在与否，完全由 s 的实部决定，而与 s 的虚部 j无关，因此 收敛域的边界是平行于 j轴的直线。,例7.2-1 求时限信号f1(t)=(t)-(t-),0 的双边拉氏变换及其收敛域 解：设f1(t)的双边拉氏变换为F1(s)，则有 由上述积分过程可知： F1(s)的存在与的取值无关可任意选取。即： F1(s)的收敛域为整个复平面， 或 =Res -,3） 单边拉普拉斯变换 信号的单边拉氏变换及其逆变换(或反变换)分别为 （7.2-7） （7.2-8） 式（7.2-7）称为的单边拉氏变换; 式（7.2-8）为的单边拉氏反变换; 其中 F(s)为f(t)的象函数，f(t)则为F(s)的原函数。,4) 常用信号的单边拉普拉斯变换对 冲激信号 , 即: ， 阶跃信号 ， 即： ，, 斜坡信号 即： 单边指数信号 即：,，, 正弦信号 即： 类似有：,5）单边拉普拉斯变换的性质 单边拉氏变换的性质反映了不同形式的信号与其单边拉氏变换的对应规律。 利用这些性质并结合常用信号的单边拉氏变换对，能够较快地求解单边拉氏变换和逆变换的问题。 熟记单边拉氏变换的性质和常用信号的单边拉氏变换对，并有效掌握傅里叶变换和拉斯变换的内在关系，对信号与系统的频率特性分析以及LT I 系统的时域全响应的求解具有重要的价值。, 时域微分性质 若,，则有,时域微分性质中包含了信号的初始状态，因此在求解系统的微分方程时，不仅能求解零状态响应，而且还能求解零输入响应，所以单边拉氏变换的时域微分性质非常重要。 若,为因果信号，则有,微分性质可简化为,即：原函数求导一次，其象函数乘上一个 s 。,此时，时域, 尺度变换性质 若, 则,，式中,为大于0的常数。, 时域卷积 若,，且,，,则,表7.2-1 单边拉氏变换的性质,6）单边拉普拉斯逆变换 求单边拉氏变换的逆变换是复频域分析法的基本问题。 在实际问题中，单边拉氏逆变换的求解方法主要有查表法，部分分式展开法及反演积分法（留数定理）等三种，其中部分分式展开法是最常用的方法，是学习的重点。 因为F(s)一般可化为s的有理分式，将F(s)展开为比较简单的部分分式之和，然后利用常用信号的单边拉氏变换对与单边拉氏变换的性质，就可以十分方便地由F(s)求取f(t)。,下面主要介绍求解单边拉氏逆变换的部分分式展开法。 一般,F(s)可表示为 式中 a i , b i 均为实数且 a n =1。 若F(s)为假分式，则必须用多项式除法将F(s)分解为有理多项式（商）与有理真分式（余式）之和，即,的逆变换直接对应于冲激函数,阶导数,之和,其中，商,及其多,；,而多项式除法的余式即,则可展开为部分分式之和后再求逆变换。,有理真分式,7.2.2 用拉普拉斯变换法求解微分方程,由于LTI连续系统的输入输出关系通常用线性常系数微分方程来描述，而单边拉氏变换的时域微分性质是考虑了系统的初始状态的，因此系统微分方程的单边拉氏变换不仅使系统微分方程 变为复频域的代数方程，使求解变得简单易行；而且引入了系统的初始状态，既可以 求解系统的零状态响应， 又可以求解系统的零输 入响应和完全响应。,图7.2-1 用拉氏变换法求,设 阶LTI连续系统的微分方程为 （7.2-26） 式（7.2-26）中， 为y(t) 的 i 次导数， ； 为 f(t) 的 j 次导数， ，且a =1，mn 为实常数，则 n 阶系统的系统函数为 （7.2-27） 式（7.2-27）给出了系统微分方程与系统函数之间的对应关系。根据这个关系，可由系统微分方程得到系统函数G(s)，同样也可由系统函数得到系统的微分方程 。 由于LTI连续系统响应的n个初始状态 是在初始时刻 之前的系统状态，因而容易确定，这样就避开了时域分析中复杂的初值问题。,例7.2-15 若LTI连续系统的微分方程为 ，而且 ， 。试求系统的零输入响应 零状态响应 、完全响应 以及系统函 数 和单位冲激响应 。 解：由题 、 ，用时域微分性质对系统微分方程取单边拉氏变换，有 代入初值，整理得,有 与 所以 ； 而 所以 因此 且 有 为所求,7.2.3 RLC系统的复频域分析,用线性常系数微分方程描述输入、输出关系的RLC系统，可以利用单边拉氏变换的性质，将RLC系统用复频域模型来表示，大大简化系统分析与计算。 1） KCL、KVL的S域形式 对KCL和KVL的时域形式 与 分别取单边拉氏变换，则有KCL和KVL的S域形式如下 (7.2-28) 式(7.2-28)表明：流入集总电路任一节点的电流的象函数的代数和为零；而沿集总电路中任一回路的各支路电压的象函数的代数和也为零。,2） RLC元件的S域模型 零状态下RLC元件的S域模型,图 7.2-2 零状态下 RLC 元件的 S 域模型, 非零状态下LC元件的S域模型,图7.2-4 非零状态下LC元件的S域并联模型,图7.2-3 非零状态下LC元件的S域串联模型,例7.2-19 图7.2-5 电路中，R = 2， L = 1H，C = 1F，输入,，输出, 求系统的单位冲激响应 ；, 确定初始状态 。,解： 由题，输入,，有,，且,，,电路的S域模型如图7.2-6 a. 所示。图7.2-6 a.中,及,有,即,为所求。,，试,可画,利用, 当,时，,，要,，即,则电路的S域模型如图7.2-6 b. 所示。由图7.2-6 b. 有,又,代,入上式可得,当,时，,有,为所求。,图7.2-7 例7.2-20的电路与输入信号,例7.2-20 图7.2-7 a. 电路中，输入信号,所示，系统初始状态为0，试求： ,的拉氏变换； 系统函数, 输出电压,。,如图7.2-7 b.,；,解： 由题，设门信号,，由图有,，其中,。且,，,利用时域卷积性质,，有,” 即可，易得,代入图7.2-7 a. 中的电路参数，有,，所以,为所求。,（ Re s0 ） 为所求。, 由题，系统函数,为零状态下求得，电路的 S 域模型非常,简单，本例只需 “ 小写换大写、t 换 s 、, 由 、 有,其中,有,利用,，及时域卷积性质，可得,7.2.4 闭环系统的根轨迹,所谓根轨迹法，是一种确定闭环特征根的图解法；根轨迹法以开环零、极点为出发点，探求系统某些参数（如开环增益K）变化时，闭环极点在S平面上变化的根轨迹。闭环根轨迹随系统参数的变化而变化的图形揭示了开环零、极点的位置与闭环系统性能之间的密切联系，不仅可以给出闭环系统时间响应的信息，而且可以给出闭环系统频率响应的信息。 1. 根轨迹的概念与根轨迹方程 1）根轨迹 当系统某个参数（如开环增益K）由零到无穷大变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹，即为系统的闭环根轨迹，简称根轨迹。,图7.2-8所示二阶系统中，系统开环传递函数为 ，式中K为开环增益，为两个开环极点，没有开环零点。 系统闭环传递函数 闭环特征方程 ， 闭环特征根（闭环极点） 系统的根轨迹如图7.2-9所示。,稳定性：当开环增益K由零变化到无穷大时，根轨迹始终在S平面的左半部此系统对所有K 0 都是稳定的。 动态性能： 当 0 0.5时，闭环特征根为负实部共轭复根，系统呈欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程，而且超调量随 K 值的增大而增大，但调节时间的变化不明显。 稳态误差：开环传递函数有个位于坐标原点的极点，即系统开环有一个积分环节，为I型系统，能使阶跃作用下的稳态误差 ess= 0 ；使斜坡作用下的静态速度误差系数 （即根轨迹上的对应K值），此时稳态误差为 。,2）根轨迹方程 图7.2-10所示的控制系统，其闭环传递函数为 其闭环特征方程为 。 有 (7.2-33) 假设系统的开环传递函数有m个零点、n个极点，则 (7.2-34) 式(7.2-34)中，zi为开环零点，pi为开环极点，K* 则为根轨迹增益，与开环增益K的关系为 或 。,根轨迹的幅值方程为 (7.2-35) 根轨迹的相角方程为 (7.2-36) 相角方程是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。幅值方程则主要是用来确定真正根轨迹上的 si 点所对应的根轨迹增益 K* 或开环增益 K 值。 2. 绘制根轨迹的基本法则及根轨迹的绘制 绘制根轨迹的基本法则 法则一： n 条根轨迹 法则二：根轨迹对称于实轴 法则三：根轨迹的起始点与终止点：始于开环极点，止于 开环零点（ 条根轨迹止于无穷远 ） 法则四：实轴上的根轨迹区段（右侧奇数个零点、极点 ） 法则五：根轨迹的渐近线,法则六：根轨迹的分离点与分离角 法则七：根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角） 法则八：根轨迹与虚轴的交点 由 法则九：闭环极点之和（根之和） 应用根之和法则时，一定要满足 的条件。,可解出系统临界稳定的 K 值与 值。,3.根轨迹的绘制 例7.2-28 若单位反馈系统的开环传递函数 ，试绘制其闭环根轨迹。 解：由题p1 = 0，p2= -2，z1= -3，即 n = 2，m = 1，n m =1，可知此系统只有2 条根轨迹，实轴上的根轨迹为 -2 ，0 与（ -，-2 区段，标出根轨迹方向如图7.2-16 所示； 其中分离点的坐标由坐标方程确定，有 解得,可证：凡有两个开环极点和一个开环零点的系统，其闭环根 轨迹必有圆或圆弧；圆心为（z , 0），半径为,。,例7.2-29 若单反馈系统的开环,，试概略绘制其闭环根轨迹。,解：由题,可知此系统有3 条根轨迹，实轴上的根轨迹为 -1 ，0 与（- ，-2 区段，标出根轨迹方向后如图7.2-17 所示； 在P344例7.2-22中，已确定了此根轨迹的渐近线； 在P346例7.2-24中，则确定了此根轨迹与虚轴的交点； 下面还需确定分离点及分离角。 视开环零点在,远处，对分离点d ，有,即,，解得,，,，,不在根轨迹上，故取,分离角则为,至此，可完成此系统的闭环根轨迹如图7.2-17所示。,，无开环零点，即 n = 3，m = 0，n m = 3，,由于,4. 广义根轨迹 1） 参数根轨迹 按照开环增益K或根轨迹增益K*的变化绘制的根轨迹称为常规根轨迹，而按照其它参数（时间常数、反馈系数等）的变化绘制的根轨迹则称为参数根轨迹。 绘制参数根轨迹时，需按系统特征方程构造新系统，使所选参量a替代原根轨迹增益K*的位置，将原特征方程写成 （7.2-47） 例7.2-31 若系统开环传递函数 试绘制以 T 为参变量的闭环根轨迹。 解：由题，原系统特征方程为 考虑nm 的限制，应将特征方程中不含 T 的项作为新系统开环传递函数的分子，而把含 T 的项作为新系统开环传递函数的分母，即有,可画出 变化时的参量根轨迹，如图7.2-19所示。 2） 多回路系统的参数根轨迹 绘制多回路系统的参数根轨迹时，可以先求出多回路系统的总开环传递函数，再根据特征方程得到式（7.2-47）的形式，最后绘制出多回路系统的根轨迹；也可以由内而外逐层完成。,可求出新系统的两个开环零点与三个开环极点分别为,改变图7.2-19中箭头的方向，即得到,如图7.2-19中的空心箭头所示。,变化时的参量根轨迹，,3）正反馈回路的根轨迹 对于正反馈系统，其闭环特征方程为 （7.2-48） 根轨迹方程为 （7.2-49） 对应幅值方程为 （7.2-50） 相角方程为 （7.2-51） 正反馈回路的根轨迹常被称为 0根轨迹，而负反馈回路的根轨迹则称为180根轨迹。 经过修改后的有关法则变为 法则四：实轴上的根轨迹区段 实轴上某区段存在根轨迹的条件是其右侧开环零点与开环极点的数目之和为偶数。,法则五：根轨迹的渐进线 n m 根轨迹趋向无穷远处的渐近线与正实轴的夹角为 （7.2-52） 法则六：根轨迹的起始角与终止角 起始角为 （7.2-53） 终止角为 （7.2-54）,而渐近线与实轴交点的计算公式则仍然不变。,7.2.5 利用根轨迹分析系统的性能,1. 系统闭环零、极点分布与系统性能的关系,2. 主导极点与偶极子的概念 主导极点：对系统的动态性能起着决定作用的极点即为主导极点。 离虚轴最近的闭环极点（复数极点或实数极点）能够对系统的动态性能产生主导作用，故成为系统的主导极点；而离虚轴较远的其它闭环极点，对系统的动态性能影响不大，往往允许忽略，这些次要极点离虚轴的距离一般比主导极点离虚轴的距离大 5 倍以上。有时甚至对于只比主导极点离虚轴的距离大 23倍的次要极点亦可忽略不计。 偶极子：一对挨得很近的闭环零、极点即为偶极子。 可以认为，偶极子中闭环极点对系统性能的影响，完全被偶极子中的闭环零点抵消了。 例如，某单位反馈系统的闭环传递函数为 有n = 4 ，m = 1 ，且 ， ， ， ；在分析其动态性能时，可认为 s3 与 z1 构成了偶极子，s4 为允许忽略的次要极点， 共轭极点则成为主导极点。因此，可将此四阶闭环系统近似成闭环传递函数为,的二阶系统，使系统的分析计算简化。,3. 利用根轨迹分析系统的性能 系统的根轨迹分析主要包括：系统的稳定性分析；利用主导极点与偶极子的概念把高阶系统近似为一、二阶系统；定性分析参数变化对近似的一、二阶系统的性能的影响，并定量估算系统的性能指标；或者按照系统性能指标的要求，确定主导极点及其对应的 K* 值；必要时可以通过配置附加闭环零点产生新的偶极子，以确保系统性能指标要求的实现。 1）系统的稳定性分析 利用系统稳定的数学条件 ，可以由系统根轨迹 直接进行系统的稳定性分析。 2）参数变化对系统性能影响的定性分析 系统的根轨迹绘制完成后，就可以通过根轨迹定性分析参数变化对系统性能的影响。一般存在单调衰减、单调发散、衰减振荡、发散振荡、等幅振荡等情况；,在s平面上的位置，, 单调衰减 单调发散 衰减振荡 发散振荡 等幅振荡 3）系统性能指标的定量估算 利用主导极点与偶极子的概念把高阶系统近似为一、二阶系统后，不仅可以按近似的一、二阶系统进行定性分析，而且可以直接按一、二阶系统的有关公式进行调节时间、峰值时间与超调量的定量估算；如果把高阶系统按三阶系统近似并估算性能指标，则可以减少近似误差。 4）附加闭环零点的配置 配置附加闭环零点的目的应是针对闭环系统的坏极点靠近虚轴或原点的闭环极点，使附加零点与之构成偶极子，以削弱甚至完全抵消这种坏极点对系统动态性能的恶劣影响。 要配置附加闭环零点而不是开环零点。,例7.2-35 试由例7.2-31的参量根轨迹，分析系统的动态性能。 解：下面主要分析T 参数变化对该系统性能的影响。在构造新系统前、后 的系统结构图可分别用图7.2-28 a. 与图7.2-28 b. 表示。,由图7.2-28可知，原系统并没有开环零点与闭环零点，因此，构造新系统 后产生的两个开环零点,对照图7.2-19中新系统的参变量根轨迹，可知当参变量T 0 且为有限值时， 系统是稳定的； 当根轨迹与最佳阻尼线相交时，系统可等效为二阶，具有较好的动态性能； 而当 T 增大到一定值后，由于原系统没有闭环零点，因此无法产生偶极子， 所以靠近,（即原点）的闭环极点将成为主导极点，系统动态性能将很差。,肯定不是原系统的闭环零点。,图7.2-28 a. 中，T 正是惯性时间常数，如果太大，系统动态性能肯定很差。, 根轨迹分析的试探法 根轨迹分析的试探法是一种常用的方法，一般分两步完成。 首先由相方程试探并确认所期望的闭环极点是否在真正的根轨迹上。只有完全满足相方程的点才在真正的根轨迹上。 接着就可以应用模方程进一步确定这些满足相方程的点所对应的根轨迹增益 K* 或开环增益K 的值。,例7.2-35 若系统开环传递函数,如图7.2-29,，其,所示，试确定满足阻尼比,时的 K* 值。,根轨迹,解：利用,在图7.2-29中画出,迹相交，,阻尼线与根轨,得到交点,；连接,与三个,的向量连线，并测量各,角；若满足,开环极点,向量的相,7.3 离散信号与系统控制的复频域分析,7.3.1 Z 变换 7.3.2 用Z变换解差分方程 7.3.3 信号的采样与恢复 7.3.4 离散系统的脉冲传递函数 7.3.5 离散系统的表示和模拟 7.3.6 离散系统的频率响应 7.3.7 离散系统的性能分析,7.3.1 Z 变换,1） 从拉普拉斯变换到Z变换 对连续信号 进行理想抽样得到抽样信号: 对抽样信号 fs(t) 取双边拉普拉斯变换，有 虑 T = 1 时，常用 f (k) 表示 f (kT) ，则上式可为 （7.3-3） 式（7.3-3）称为的双边Z变换。复变量 z 和 s 的关系则为 由复变函数有 F(z) 的双边Z逆变换,2） 双边Z变换的定义和收敛域 双边Z变换的定义 对于离散序列f(k)(k = 0, 1, 2, )， z 的幂级数函数 (7.3-6) 即为f(k)的双边 Z 变换，记为F(z)=Zf(k)，F(z)称为的象函数，f(k)称为F(z)的原函数 双边Z变换的收敛域 F(z)在或级数收敛的充分条件是 在Z平面上，能使式（7.3-6）级数收敛的 z 的取值区域即为F(z)的收敛域,例 7.3-2 试对无限长因果序列,，求,Z变换和收敛域。,的双边,解：由题，,的双边Z 变换为,有,时,收敛，即,的圆外阴影部分。,即,其收敛域为图7.3-1中半径为,图7.3-1 例 7.3-2的收敛域,例 7.3-1 试对有限长序列,求,解: 由题，,的双边Z变换为,即,显然，当,（除原点以外的整个Z平面）时, 此级数收敛，有,的双边Z变换及收敛域。, 双边Z变换收敛域的特点 有限长双边序列的双边Z变换的收敛域一般为 00； 有限长反因果序列双边Z变换的收敛域为 |z|z0|(z0为复数、虚数或实数)，即收敛域为半径为z0的圆外区域。 无限长反因果序列双边Z变换的收敛域为|z|z0|，即以|z0|为半径的圆内区域。 无限长双边序列双边Z变换的收敛域为 |z1|z|z2|，即收敛域位于以|z1|和|z2|为半径的两个圆之间的环状区域。 不同序列的双边Z变换可能相同，即序列与其双边Z变换并非一一对应，只有将序列的双边Z变换与收敛域连同一起，才是与序列一一对应的。,3）常用序列的双边Z变换,4）双边Z变换的性质,5）z 域逆变换 双边Z逆变换的计算有幂级数展开法、部分分式法、反演积分法(留数法)等方法。 需要指出：因为双边Z变换 是连同收敛域一起与原函数一一对应的，所以求双边Z逆变换时，要特别注意收敛域的问题。 幂级数展开法（长除法）：考虑Z变换的定义中，F(z) 为幂级数，f (k) 的值则是幂级数的系数；因此，可以把F(z)展开为幂级数，然后由幂级数的各项系数求得逆变换 f (k) 。 部分分式法：一般F(z)为有理分式时，可以把F(z)展开为部分分式，同时结合常用的Z变换对来求逆变换；或者通过常用Z变换表，用查表法求Z逆变换。, 反演积分法(留数法)： 双边Z逆变换也可以根据定义式计算，这种方法称反演积分法。按双边 Z 逆变换的定义 积分路径 C 是收敛域内围绕原点的逆时针方向的围线，如图7.3-4 所示。,图7.3-4 F(z)的收敛域及反演积分路径,例7.3-15 若 ，试求原函数f(k) 解：由题, F(z)的收敛域为|z|1，可知原函数 f (k)为反因 果序列， 用长除法展开为 z 的幂级数。 由右边的长除结果有 即 k 0 时， f (k) = 0，且 k 0 时 所以 为所求,例7.3-18 若 ，试求原函数f(k) 解：由题，F(z)的收敛域为|z|2，可知f(k)为反因果序列， 即 有 由于以上两个Z变换的收敛域的公共部分为 |z|2， 故得,6）单边Z变换 由于实际的离散信号 f(k) 都是有始信号，若令起始时刻 k0 = 0 ，而且 k 0 时 f(k)为零，则 f(k) 为因果信号。因果信号的双边 Z 变换即单边 Z 变换。 单边 Z 变换的应用更加广泛。下面讨论单边 Z 变换及其性质。 1）单边Z变换的定义和收敛域 对于离散信号,，幂级数,的单边Z变换，记为,而积分,则为,的单边Z逆变换，记为,。,称为 f(k) 的象函数，,则为,的原函数。,与,之间的对应关系可表示为,。,(7.3-69),即为,。,(7.3-70),使,的单边 Z 变换,存在的充分条件是,Z 复平面上使式(7.3-71)的级数收敛的 z 的区域称为,的收敛域。,(7.3-71),单边 Z 变换的收敛域与因果信号双边 Z 变换的收敛域相同。,2）常用序列的单边Z变换 ,(7.3-72),(7.3-73),(7.3-74),(7.3-75),(7.3-76),3）单边Z变换的性质, 位移(时移)性质：若 f(k),F(z)，|z|,(7.3-77),(7.3-78),(7.3-79),（主要讨论单边Z变换的特殊性质）,，m为正整数，则有, 卷积性质：若,，,，且,、,为因果序列，则,(7.3-80), 部分和性质：若,，则有,(7.3-85),4）单边Z逆变换的计算 与双边Z逆变换的计算方法类似，单边Z变换的计算方法也有 幂级数展开法、部分分式展开法、反演积分法、查表法等。 由于单边 Z 变换的收敛域为,求 F(z) 的单边Z逆变换 f(k) 。,，其Z逆变换为因果序列，,时的双边Z逆变换的,所以单边 Z 变换的计算方法与收敛域为,计算方法相同。 下面举例说明部分分式展开法。 例7.3-27 已知,解： 首先对,按部分分式展开，有,对,的一阶极点 z=2 与三重极点 z=3 ，由式(7.3-54)、,可得,由常用单边Z变换式(7.3-74)和式(7.3-76)，有,(7.3-55)有,7.3.2 用Z变换解差分方程,1. 一般信号 激励下的零状态响应,2) 基本信号 激励下的零状态响应,若系统输入为, 零状态响应为,，单位序列响应为 ，,若,，则,若,为因果信号（对应系统为因果系统）， 则有,是系统单位序列响应,的单边Z变换。一般,为离散系统的系统函数，,式(7.3-90)表明：离散系统对基本信号,的响应，等于,的乘积。,由时域分析可知,(7.3-89),(7.3-90),式(7.3-90)中,称,则称为系统的特征函数。,与系统,函数,(7.3-91),式(7.3-91) 表明,3）一般信号 激励下的零状态响应 Z 域求解离散系统零状态响应的步骤为, 求系统输入, 利用,，求系统函数, 利用,，求零状态响应的单边 Z 变换, 利用,，求零状态响应,在输入,给定的情况下，系统的零状态响应应取决于系统,。因此，系统函数,可以表征系统的性质。,与系统特性的关系将稍后讨论。,的单边 Z 变换 F(z) ；,；,；,。,函数,2） 差分方程的求解 如果离散系统满足叠加原理，则称为线性离散系统，输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统，称为线性定常离散系统。 对于一般的线性定常离散系统，k 时刻的输出 y (k)，不但与 k 时刻的输入 f (k) 有关，而且与 k 时刻以前的输入 f (k - 1) , f (k - 2)， 有关。 工程上常用迭代法和 Z 变换法来求解常系数线性差分方程。, 对于,阶线性时不变离散系统，若输入,为因果信号，则,等于零，但,一般不等于零。,，因此,、,、,的初始值有以,(7.3-108),和,可根据系统差分方程用递推法相互转换，,，,，再令,，即可求得,和,和,也可由递推法根据,满足的差分方程相互转换，,与,的转换类似。, 由于,下关系：,(7.3-109), 初始值,具体过程可以参考上面的例7.3-29：若已知初始值为,，,则先令,。,具体过程与上述,7.3.3 信号的采样与恢复,1) 信号的采样（抽样） 离散控制系统通常分为“采样控制系统”与“数字控制系统”两种类型。离散控制系统的典型方框图如图7.3-5所示。,采样控制系统的特征是在系统内设置采样开关，通过采样得到脉冲序列信号，脉冲的频率或宽度正比于采样信号的瞬时值；采样控制系统可以通过保持器还原得到模拟信号。 数字控制系统则由A /D转换、量化编码将连续信号变成离散数字信号，经过数字控制系统的控制核心（计算机或微处理器）处理后，由D /A转换将离散信号还原成连续信号；数字控制系统也称为计算机控制系统。 采样器的实际采样过程如图7.3-6所示。,在工程实践中，为了减少失真，一般总是取采样角频率大于信号频谱最高角频率的两倍（s2max），而不是取采样角频率恰好等于 2max 。 在工程控制实践中，系统的采样周期可依据频域性能指标或时域性能指标来选取。 2） 信号的恢复 离散系统的信号输出有两种方式。一种是直接输出脉冲或数字，如步进电机的脉冲控制、数字控制系统的屏幕显示与打印输出等；另一种输出需要把脉冲或数字信号转换为连续信号，用于实现这一转换的装置，称为保持器。 由于相邻采样时刻之间的值未确定，所以解决各相邻采样时刻之间的插值问题就是保持器的任务。, 零阶保持器 零阶保持器把前一采样时刻 nT 的采样值 e(nT) 一直保持到下一采样时刻 (n+1)T 到来之前，是一种按常值外推的保持器，它使采样信号 e*(t) 变成图7.3-7 所示的阶梯信号e0(t) 。其外推公式为 (7.3-114) 零阶保持器的传递函数 (7.3-115) 零阶保持器的频率特性 (7.3-116) 考虑 ，式(7.3-115)可表示为 (7.3-117),幅频特性为 (7.3-118) 相频特性为 (7.3-119) 其中 零阶保持器的频率特性如图7.3-8所示。 从幅频特性看，零阶保持器具有高频衰减特性，是个低通滤波器；从相频特性看，零阶保持器会产生相角滞后，使闭环系统的稳定性变差。, 一阶保持器 一阶保持器是根据前两个采样时刻采样值的变化趋势，线性外推采样间隔的输出值。 一阶保持器的外推公式为 ，若令 、 ，则有联立方程 可得 及 ，代入外推公式，即得一阶保持器的数学表达式为 (7.3-120) 一阶保持器的输出特性如图7.3-9所示。其中 是一阶保持器的输出。,一阶保持器的传递函数 (7.3-121) 其频率特性 (7.3-122) 与零阶保持器相比，一阶保持器在高频段的幅频特性约为零 阶保持器的 2 倍，允许通过的信号高频分量更多，纹波输出 较大。,器的相角滞后要比零阶保持器的相角滞后大，对系统的稳定性 更不利；而且一阶保持器的实现要比零阶保持器困难；所以实 际控制系统普遍采用零阶保持器，而较少采用一阶保持器。 数字控制系统中的零阶保持器常用输出寄存器实现。由于零阶 保持器仍有高频纹波输出，实际应用时，还要在 D/A 转换之后 附加模拟滤波器，以有效地去除高频纹波。,虽然一阶保持器能更准确地将信号复原，但是一阶保持,7.3.4 离散系统的脉冲传递函数,1. 脉冲传递函数的定义 在零初始条件下，线性离散系统输出采样信号与输入采样信号的变换之比，定义为线性离散系统的系统函数脉冲传递函数。 零初始条件下，若已知 F (z)和 G (z)，则线性定常离散系统输出的采样信号为 确定系统的脉冲传递函数时，可以在系统的输出端虚设一个理想采样开关，如图7.3-10所示。,当在系统输入端加一个单位脉冲函数 时，有 、 ，所以 即单位脉冲响应为 也就是说，离散系统单位脉冲响应的z变换就是 ： 线性定常离散系统的脉冲传递函数由此而得名。 2. 开环系统的脉冲传递函数 1）串联环节之间有采样开关 图7.3-11 a. 所示开环离散系统中，在G1(s)和G2(s)两个串联环节之间设置有理想采样开关。根据脉冲传递函数的定义，由图7.3-11 a. 可得,即：环节之间有采样开关时，各环节“先Z变换，后乘”。 串联环节之间无采样开关 开环系统脉冲传递函数为 （7.3-126） 即：环节间没有采样开关时，各环节“先乘，后Z变换”。,所以,因此,（7.3-125）,例7.3-31 若 ， 试求图7.3-11中两类系统的脉冲传递函数。 解：当串联环节之间有采样开关隔开时，有 因此 而当串联环节之间没有采样开关隔开时，则有 所以 显然 开环系统有零阶保持器 设有零阶保持器的开环离散系统如图7.3-12 a. 所示。,由图7.3-12 b. 可得 （7.3-127） 3）闭环系统的脉冲传递函数 例7.3-33 对图7.3-13所示的误差采样闭环离散系统，虚设的三个理想采样开关与实际的理想采样开关都按周期 T 同步工作，试求系统的误差脉冲传递函数以及闭环脉冲传递函数。,解：由题，先求拉氏变换，由 及,整理可得此系统的误差脉冲传递函数 以及闭环脉冲传递函数 为所求。 需要指出：由于采样开关的影响，采样系统不能简单地按照连续系统的等效变换方法化简结构图，而应细心处理。,系统特征方程为,为此离散系统的开环脉冲传递函数。,（7.3-131）,式 (7.3-131) 中，,即,或,P398 表7.3-3列出了几种常见线性离散系统的框图以及输出,表达式。,信号的,7.3.5 离散系统的表示和模拟,1) 离散系统的方框图表示 图7.3-18所示的方框图表示一个离散系统。图中 f (k) 和 y (k) 系统的输入和输出。 与连续系统类似：几个简单离散系统的串联、并联或串并混联，可以组成一个复杂的离散系统；离散系统的模拟也只有三个基本单元，包括加法器、数乘器与单位延迟器。,图 7.3-18 离散系统的方框图,分别为, 离散系统的串、并联,图7.3-19 离散系统的串联,图7.3-20 离散系统的并联, 表示离散系统的三个基本单元 图7.3-22中分别给出了表示离散系统的三个基本单元，包括数乘器、加法器和单位延迟器的时域与Z域形式，并且假定单位延迟器的初始状态y(-1)=0。,图7.3-22 表示离散系统的三个基本单元,2) 离散系统的信号流图表示 离散系统的信号流图表示规则与连续系统的信号流图表示规则相同。,图7.3-24 离散系统框图与信号流图的对应关系,例7.3-37 图7.3-25 a. 为某离散系统的框图，试画出该系统的信号流图,解：设图7.3-25 a. 中，左边加 法器的输出为X1 (z) 、上边第一个 延迟器的输出为X2(z) 、第二个延 迟器的输出为X3(z) ， 由基本单元 的输入输出关系，有,图7.3-24 例7.3-37的离散系统,画信号流图时，先用节点分别表示 F(z)、X1(z)、X2(z)、 X3(z)和Y(z)，再根据上述信号之间的传输关系、按照信号流图 的规则以及框图与信号流图的对应关系，可得到该系统的信号 流图如图7.3-24 b.所示。,3） 离散系统的模拟 与连续系统的模拟类似，若已知离散系统的差分方程或脉冲传递函数 ，可根据 与梅森公式的关系，得到系统的信号流图模拟；再根据信号流图与系统框图的对应关系，可以进一步得到系统的方框图模拟；与连续系统的模拟形式类似，离散系统的信号流图模拟通常也有直接形式、串联形式和并联形式。,例 7.3-39 已知二阶离散系统的脉冲传递函数为 ，试用直接形式的信号流图模拟该系统。 解：先将系统脉冲传递函数G(z)的分子分母同除以 ，得到 G(z) 的 表达式,将式 (7.3-136) 与梅森公式对照，可知：G(z) 的分母为系统 的特征式，分母括号中的两项分别为两个互相接触的环路传输函 数；G(z) 的分子则为从 F(z) 到 Y(z) 的三条前向通路的传输函数 之和。 因此，系统信号流图可由两个相互接触的环和三条前向通路组 成。根据梅森公式和信号流图的对应关系，可画出系统模拟图如 图7.3-26所示。,(7.3-136),其中，图a.与图b. 分别是直接形式的信号流图模拟及对应的框图模拟；图c. 与图d. 则是直接形式的信号流图模拟及对应的框图模拟。,图7.3-26 例 7.3-39 的两种直接形式模拟图,7.3.6 离散系统的频率响应,1. 离散系统对正弦序列的响应,2. 离散系统的频率响应,例7.3-42 若离散系统的脉冲传递函数为,的收敛域为,，唯一极点,在单位圆内。因此，系统的,试求系统的频率响应。,解：由题，,频率响应为,系统的幅频和相频响应曲线如图7.3-29,.、,. 所示。,系统的幅频响应和相频响应分别为,3. 闭环零、极点分布与离散系统的频率响应,0,0,7.3.7 离散系统的性能分析,离散系统的性能分析和连续系统一样，也包括稳定性、动态响应和稳态性能三个方面 。 1. 离散系统的稳定性 1）离散系统稳定的充分必要条件 个离散系统，如果在任意有界输入下产生的零状态响应也是有界的，则称该系统为有界输入有界输出意义下的稳定系统，简称稳定系统。 2）Z 域与S 域的映射关系 在 Z 变换的定义中，复变量 s与 z 的关系为 考虑复变量 s与 z 可分别表示为 ，故有 , 即 由此可得到 S 平面与 Z 平面的如下映射关系：,0 r1 ，即 S 右半平面 Z 平面的单位圆外部（|z| 1）； =0 r=1 ，即 S 平面的虚轴 Z 平面的单位圆（|z|= 1）。 S 平面的实轴（j=0、s=） Z 平面的正实轴（=0，z=r）； S 平面的原点（=0，j=0） Z 平面上的 z= 1点（=0，r=1）；,3）离散系统稳定条件的时域和域表示 时域中离散系统稳定的充分必要条件：设线性定常离散系统的差分方程为 （7.3-153） 其特征方程为 （7.3-154） 时域中离散系统稳定的充分必要条件是：当且仅当差分方程式（7.3-153）所有特征根的模 （1，2，n）时，则相应的线性定常离散系统是稳定的。 Z 域中离散系统稳定的充分必要条件 Z域中线性定常数离散系统稳定的充分必要条件是，当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在 Z 平面的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，即 （i1，2，n）时，相应的线性定常离散系统是稳定的。 4）W变换与 Routh 稳定判据,为了应用连续系统中的劳斯判据来判别线性离散系统的稳定性，必须引入 Z 域到W域的线性变换，这种新的坐标变换，称为双线性变换，或称为W变换。 令 （7.3-155） 则有 （7.3-156） 例7.3-46 设闭环离散系统如图7.3-34所示，其中 ， 采样周期 T = 1s，试求使系统稳定的临界 K 值。 解：由题，先求 G(s) 的 Z 变换，有 闭环特征方程为 ，令 ，代入此式有,化简处理可得系统的W域特征方程为,有劳斯表,由劳斯表可知，当,且,因此，使系统稳定的临界K值为 4.33 。,时，第一列,系数全正，满足劳斯判据，能使系统稳定，即,为 K 的取值范围。,闭环离散系统的极点位置及其对应的瞬态响应序列如图7.3-36所示。 3） 线性离散系统的稳态误差 若 的极点全部位于 Z 平面上的单位圆内，即该离散系统是稳定的，则该离散系统的稳态误差为 （7.3-162）, 阶跃信号输入时的稳态误差 单位斜坡信号输入时的稳态误差 单位加速度信号输入时的稳态误差,