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第一章 信号与系统,绪论 第一节 绪言 第二节 信号 第三节 信号的基本运算 第四节 阶跃函数和冲激函数 第五节 系统的描述 第六节 系统的性质 第七节 LTI系统分析方法概述 总结,绪论,本章介绍信号与系统的概念以及它们的分类方法，并讨论了LTI 系统的特性和分析方法。深入地研究了阶跃函数，冲激函数及其特性，它们在LTI系统分析中占有十分重要的地位。,第一节 绪言,信号(signal)：带有信息随时间(或空间)变化的物理量或物理现象。如：光信号,声音信号,热信号和电信号,最重要的是电信号。 电信号：随时间变化的电流或电压。 特点 容易与其他信号转换,用传感器 容易处理和传输,用系统:通信系统,自控系统 系统(system)：由若干相互联系和相互作用事务组成具有特定功能的整体，即信号的处理装置。 与网络电网络电路同义词 系统关心整件 网络关心局部 系统与信号的关系： 如图： 输入信号 输出信号 激励 响应 信号可用函数表示：一维(t),二维 (x,y),三维(x,y,t) 等。 信号与系统：包括信号分析，系统分析和系统设计(综合) ,重点在信号系统的分析上。,系统,第二节 信号,信号常可以表示为时间的函数(或序列)，该函数的图象称为信号 的波形，在讨论信号时，信号与函数(或序列)两词常互相通用。 确定信号：即在给定的时间里有确定的值，可用确 定的时间函数(或序列)表示 随机信号：即不确定性信号，如干扰和噪声，其情 况不能确定 随机信号可用统计的方法处理，本课程中主要研究确定信号。,一.连续信号和离散信号 按信号的定义域的特点，即时间的取值可分： 1.连续时间信号： 即信号的自变量取值为连续的信号，若值域也连续叫模拟信号. 例：1(t)=10sin(t). 3 def 0 , t0,f(t),t,-1,1,3,1,(t),t,t,f(t),2.离散时间信号： 仅在一些离散的瞬时才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。 即自变量只定义在一些离散时刻tk(k=0，1，2)，其他时间不定义，如果tk与tk+1之间间隔为常数T，则t取值为,T,T, 0, T, 2T,则可表示为(kT),为方便简写为(k),即称为一个序列。 例如：1(k)= 0 , k 1 1 , k = 1 波形： 2 , k = 0 0.5 , k = 1 -1 , k = 2 0 , k 3 2(k)= 0 , k 0 , k0，0 单边的降指数序列，波形：,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,1,2,0.5,-1,k,f1(k),f2(k),k,1,-1,1,2,3,4,3(k)=(k)= 0, k0 波形： 单位阶跃序列 1, k 0 信号的自变量为离散的，若序列的值（幅变）也为离散的称为数字信号 即 连续时间信号 模拟信号 一般 实际应用中不太区别 离散时间信号 数字信号 一般 二 . 周期信号和非周期信号： 1.周期信号定义在（，）区间，每隔一定时间T（或整数N） 按相同规律变化的信号。 连续周期信号表示为：(t+mT). m=0,1,2,，T为周期. 离散周期信号表示为：(k+mN).m=0,1,2,，N为周期.,f3(k),1,k,-1,1,2,3,例： 半波整流信号： 连续的 方波信号： 离散的 锯齿序列： 正弦序列(sink)： 注意：对离散信号的周期问题注意： (k)=sin(k)=sin(k+2m)=sin(k+m2/) 其中称为正弦序列的数字角频率（或角频率）。 当2/为有理数时，才能使m2/为整数，才存在周期性，上 例 6，周期为12. 而当2/为无理数时，则不具有周期性，但序列包络线仍为正弦 函数（有周期性）。 三.实信号和复信号 物理可实现的信号，一般可表示为t(或k)的实函数，各时刻函数或序 列值为实数。 而函数（或序列）值为负数的信号称为复信号。常见的有复指信号。,t,f(t),k,f(k),k,f(k),1.连续复指数信号： , 0 升幅正弦 = 0 等幅 1 增幅 Im(k)= a=1 等幅 a1 降幅 n,k,f(k),四. 能量信号和功率信号： 1.连续： 信号能量：E 信号功率：P 能量信号：即能量有限信号，（0E，这时P=0）也叫能量有界信号。 功率信号：即功率有限信号，（0P，这时E=）也叫功率有界信号。 2.离散： 信号能量： 信号功率：,第三节 信号的基本运算,一. 加法和乘法 加法:指信号的同一时刻的信号值对应相加.(.)=1(.)+2(.) 可为函 乘法:指信号的同一时刻的信号值对应相乘.(.)=1(.)2(.) 数也可 减法:指信号的幅度变化，也称放大. (.)=A1(.) 为序列,例：1(k)= k0 2(k)= 0 k-2 求和与积 k+1 k0 k-2 解：1(k)+2(k)= k-2 -2k0 （-2，-1） k0 1(k)2(k)= 0 k-2 1 k=2,-1 波形 k0 二.反转和平移 1.反转:将信号沿纵轴对折;也即把自变量t变为-t(或k变为-k). 原波形: 反转后波形:,t,f1(t),t,f1(-t),f1(k),-2,1,-1,2,k,f1(-k),k,-2,-1,1,2,-2,1,2,3,-1,2. 平移:将信号沿横轴移动.分 右移: (t) (t-t0) t00 左移: (t) (t+t0) 原波形: 右移后: 左移后: 3.平移又反转: 注意 先平移后反转 先反转后平移时(平移的方向相反). 例:(t) (-t+2). 先平移后反转 先反转后平移,t,f(t),t,f(t-2),t,f(t+2),f(k),k,f(k-2),k,f(k+2),t,f(t),t,f(t+2),t,f(-t+2),t,f(t),t,f(-t),t,f(-t+2),-2,2,1,2,4,1,-4,-2,k,-2,-1,1,2,1,2,3,4,-4,-,-3,-2,-1,-2,2,-4,-2,2,4,-2,2,-2,2,2,4,三.尺度变换(横轴展缩). (t) (at) a1 压缩 0a1 扩展 a0 反转 例: 四.组合运算: (t)=b(at+t0) b 数乘 例 : a 反转 (t) -2(-2t-2)=-2-2(t+1) 压扩 解 :做法1从外向里做 t0 平移,-2,1,2,2,t,f(t),t,f(2t),t,f(t/2),t,f(-2t),-1,1,1,2,-4,4,1,2,2,1,1,-1,-2,1,2,t,-2,2,-2,-4,-1,1,-2,-4,-2,-1,-2,-4,t,-2f(t),f(t),t,-2f(-2t),t,-2f(-2t-2),也可： (t) (t) (t2) (2t2) 2(2t2) (t) (t2) (t2) (2t2) 2(t2) 总结：信号，系统的概念，两者的关系 信号 确定信号 连续信号 周期信号 实信号 能量信号 随机信号 离散信号 非周期信号 复信号 功率信号 信号的运算 加，乘（数乘） 反转，平移，尺度变换 组合运算（运算次序） 我们中所接触的信号一般为普通信号，而为研究问题方便引入奇异信号 阶跃 冲激,反转,平移,反向,尺度变换,数乘,平移,反转,尺度变换,数乘,第四节 阶跃函数和冲激函数,一. 阶跃函数和冲激函数 1 .阶跃函数 ：（引入）若有一个函数：,rn(t),t,rn(t)= 0 , t1/n 若所用时间很短 0，即在0- 0+的时间内由0 1，则定义为单位阶跃函数,0 t0,2.冲激函数：若有一个函数 Pn(t)= 0 t-1/n n/2 -1/nt1/n 当信号宽度 0 ,而面积保持不变而形成 一个冲激叫单位冲激函数。 冲激函数的另一个定义 3.两者的关系：,-1/n,1/n,t,Pn(t),t,(t),波形如图:,二.冲激函数的广义定义 (t)广义定义：对一个性能良好的函数(t)（检验函数）有以下定义则(t) 为冲激函数： ，(t)为一般函数，性能良好具有任意阶导数，(t)及各高阶导数在无限远处急剧下降。该式包含筛选特性，即冲激函数(t)与检验函数(t)作用效果是从(t)中选出t=0的值。(t)还有其他的广义定义。 冲激函数的导数和积分： 1. 冲激函数的导数定义： 叫冲激偶，波形： 阶跃函数(t)的导数有：(t)=(t). 可利用阶跃函数和冲激函数广义定义证明： 而 比较两式得(t)=(t),t,2.冲激函数的积分 先定义一种函数，斜坡函数r(t)= 0, t0 四.冲激函数的性质： 1.与普通函数的乘积： 筛选特性,而一些广义函数间乘积无定义如：(t)(t);(t)(t);(t)(t)等。 2.移位： 例：如图函数求其导数 解：(t)= 0 t0,t3 2+ 0t 3 =(2+ )(t)-(t-3) ,t,f(t),4,2,3,3.尺度变换： a为常数 推论 4.奇偶性： 偶函数 n为偶数时为偶函数 n为奇数时为奇函数 5.复合函数形式的冲激函数： ti为(t)=0的单根时，重根无意义 例. 根t1= ,t2=,第五节 系统的描述 要分析一个系统，就应先建立其数学模型，其表示可用方程，框图等，根据模型的不同，可分为 即时系统 线性系统 时变系统 连续系统 等。 记忆系统 非线性系统 非时变系统 离散系统 一 . 连续系统：输入为连续信号，输出也为连续信号的系统。 离散系统：输入为离散信号，输出也为离散信号的系统。 混合系统：如A/D，D/A系统。 单输入输出系统：输入，输出信号都只有一个。 多输入输出系统：输入，输出信号可为多个。 1.连续系统：可用微分方程描述 例1，如图电路 设电路中电流为i(t), 则有：,+,-,Us(t),L,R,C,+,-,UL(t),+,-,UR(t),+,-,Uc(t),例2：如图一个力学问题，质量为m的物件受外力(t)的作用将产生y(t)位移，(t)视为激励，y(t)视为响应，求系统描述。 解：弹力 摩擦力 与速度有关 由牛顿定律： 即：连续系统的数学模型为微分方程。 2.离散系统： 可用差分方程来描述 例1：某地区在k年的人口为y(k)，人口正常出生和死亡率分别为a，b，而第k年从外地迁入的人口为(k)，则该地区的第k年的总人口数为： 差分方程 例2：在观测信号时，测量信号中含有噪声可对其进行处理，测量信号为(k),处理的结果为y(k),处理为测量值与前一次输出值取平均为这次输出：,(t),k(t),r(t),y(t),M,即：离散系统数学模型为差分方程 二.系统的框图 1.连续系统：描述系统处理的基本单元有积分器，加法器和数乘器。 积分器： 加法器： 数乘器：(t) (t) 例1：如图系统，写出微分方程。 解：设,(t),例2：如图系统，写出微分方程。 解：设中间变量 对（2）式处理： 三式相加得： 2.离散系统： 延时器 基本运算单元 加法器 数乘器,D,例1：如图系统，求系统描述方程 解：求 的方程,设前面的量 则有 求 ，则有：,D,D,(k),前向差分,后向差分（常用）,第六节 系统的性质,系统可分 连续 线性 时变 因果 稳定 研究线性时不变系统 离散 非线性 时不变 非因果 不稳定 一.线性： 1.即时系统（初始状态不起作用 ） 即 若有 则： 齐次（比例）： 叠加： 线性（同时满足）即：,T,（LTI）,2.动态系统：响应不仅决定于系统的激励 而且与系统的初始状态有关的 动态系统为线性系统时，其响应是 和 单独作用所引起的响应。 输入信号全为零时，仅由初始状态 引起的响应叫零输入响应，用 表示，即： 初始状态全为零时，仅由输入信号 引起的响应叫零状态响应，用 表示，即： 对线性系统应有： 即全响应为 零状态响应 可分解性 零输入响应 3.系统线性的判别： 系统具有可分解性： 零状态响应具有线性 零输入响应具有线性 线性连续系统 线性微分方程 线性离散系统 线性差分方程,二.时不变系统： 如果系统的参数（如一个电路 ）都为常数，它们不随时间变化，则该系 统为时不变系统（或常参量系统）。否则为时变系统，如图P23电路系统。 方程为： 当温度变化时,电阻阻值将变化为时变系统.若 变化很小时可视为时不变系统. 系统为时不变系统:则系统的零状态响应 就与输入信号接入时间无关. 该系统为时不变系统，即要有： ，本书主要研究线 性时不变系统（包括连续，离散两种情况）。 三.连续线性时不变系统的微分和积分特性： 1.微分特性：,LTI,LTI,则：,2.积分特性： 例1： ， a,b为常数，x(0) 为初始状态，在t=0（或k=0）时接入激励 ，则上述系统 是否为时不变线性系统。 解： 满足可分解性，而 又分别满足线性 则系统为线性的 设 则 比 延迟了 ，则零状态响应为： 令 则 代入上式 得 段为0,LTI,LTI,则：,则：,为时不变, 满足线性，而 不满足线性，则系统为非线性。 设 则零状态响应 为时不变系统。 四.因果性 对于任意的输入 在 （或 ）时 ，输入到系统产生的响 应有 （或 ）成立，则该系统为因果系统。 例： 当输入 或 时都有 或 成立为因果的。 . 不为因果的 是因为k1当为0时(0)=0,而 当k=0为(1)0不为因果系统 实际的系统一般都为因果系统，即无输入时将无输出,可分解,五.稳定性： 系统的稳定性指对有界的激励 ，系统的零状态响应 也为有界的，即输出稳定。 当 时 该试成立系统稳定，否则系统不稳定。 例： 系统，当 ，存在 该系统稳定。 系统，当 时激励有界为1，而 时不稳定。,第七节 LTI系统的分析方法概述,LTI系统 建立模型 求解方程 分析结果 输入-输出方程：建立输入-输出方程 求解，的输入，输出关系 状态变量法 求解的输出，并能确 定内部情况，较复杂，可利用计算机处理。,微分 差分,状态方程（内部变量与激励的关系） 输出方程（内部变量与输出的关系）,方 法,输入-输出方程求法 时 域求解： 经典求解 卷积法 变换域求解： 频域求解 复域求解 S域 连续系统 Z域 离散系统,变 换,付氏 拉氏 Z变换,总结,信号 定义，描述：函数，序列，波形图 分类 连续 周期 实信号 能量信号 离散 非周期 复信号 功率信号 运算 加法、乘法(数乘)、反转、平移、尺度变换(压扩)、 组合运算 组合运算次序问题。 奇异函数 阶跃函数 定义，之间关系，广义定义 冲激函数 性质,与普通函数积 移位特性 尺度变换 奇偶性 复合函数形式,数学描述 连续系统：微分方程 系统 描述 离散系统：差分方程 框图 连续系统 离散系统 分类 线性定义 时不变定义 因果定义 稳定性定义 线性系统 时不变系统 因果系统 稳定系统 非线性系统 时变系统 非因果系统 非稳定系统 LTI系统分析方法 输入-输出法 时域分析法 变换域分析法 状态变量分析法,数乘器 加法器 积分器,数乘器 加法器 积分器,由框图,方程,框图,方程,