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作 业,p.51:1. 3.,第二章 热传导方程,1 热传导方程及其定解问题的导出,1. 一均匀细杆直径为 ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，并服从于规律 又假设杆的密度为 ，比热为 ，热传导系数为 ，试导出此时温度 满足的方程。,热传导定律,杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻 到 在截面为 到 一小段中产生的热量为,又在时刻 到 在截面为 到 这一小段内由于温度变化所需的热量为,由热量守恒原理得,消去 ，再令 ， 得,3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以 表示它在单位体积中所储的热量， 为初始时刻所储的热量，则 ，其中 为常数。又假设砼的比热为 ，密度为 ，热传导系数为 ，求它在浇后温度 满足的方程。,解：可将水化热视为一热源。,由 及 ,知单位体积放热速度为 。,它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书48页，(1.7)式得,2 初边值问题的分离变量法,1.用分离变量法求下列的定解问题,求非零解 得,对应 为 。,p.56:1. 4.,解 设 代入方程及边值得,因此得,由初始值得,因此,故解为,4.在区域 中求解如下的定解问题,其中 均为常数， 为已知函数。,由分离变量法满足方程及边值条件的解为,再由初始值得,故,因此,3 柯西问题,2.证明当 在 内绝对可积时， 为连续函数。,p.62:2.5(1).8.,解,且,由控制收敛定理,5(2).用延拓法求解半有界直线上热传导方程（3.17）的柯西问题，假设,解,根据柯西问题的解的公式,知，只需要开拓 ，使之对任何 值有意义即可。,由边界条件得,要此式成立，只需,即 作奇开拓，由此得解公式为,8. 导出下列热传导方程柯西问题解的表达式,解：由7题，只需分别求出,的解，然后再相乘迭加即得。由于,所以,4 极值原理，定解问题的解的唯一性和稳定性,1. 证明方程 具有狄利克雷边界条件的初边值问题的唯一性与稳定性。,证,令 ，则 满足 ，,由极值原理（定理4.1）知,即,p.67:1.2.,* 下证唯一性,若 为初边值问题的两个解，则 满足,由估计（1）得,推出,（1）,* 下证稳定性,因此如果 则,因此在限时间内解关于初边值是稳定的！,若 满足,令 则,证明 反证法。,2. 利用证明热传导方程极值原理的方法，证明满足方程 的函数在界闭区域 上的最大值不会超过它在边界上的最大值。,因而，在 内部有一点 使,作函数,在 上,其中 为 的直径。,故假设不成立，证毕！,而,故 也在 内一点 上取到其最大值，,因而在该点处有：,即 另一方面,所以,与 矛盾。,5 解的渐近性态,p.70:1.2.,1. 证明下列热传导方程初边值问题,的解当 时指数地衰减于零，其中,且,（2）,2. 证明：当 为 上的有界连续函数，且 时，二维热传导方程柯西问题的解，当 时，以 衰减率趋于零。,证明,由p.63第9题知，二维热传导方程柯西问题的解为,
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