第2课时 实际问题与一元二次方程

第2课时实际问题与一元二次方程(2)学习目标视窗认识运用一元二次方程解决有关图形问题的过程，知道列一元二次方程解应用题的一般步骤：审题；设未知数；找相等关系；列方程；解方程；答能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理基础巩固提优1. 如图，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地若耕地面积需要551m2，则修建的路宽应为()A. 1m B. 1.5m C. 2m D. 2.5m 2如图，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形.若灰色长方形之长与宽的比为53，则ADAB等于()A53 B75 C2314 D47293. 有一块长方形地，长为x米，宽为120米，建筑商把它分为甲、乙、丙三部分甲和乙为正方形现计划甲建住宅区，乙建商场，丙开辟为公园若已知丙地的面积为3 200平方米，试求x的值4.某商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家 “家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台(1)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？(2)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？5. 由于受甲型H1N1流感(起初叫猪流感)的影响，4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每斤猪肉价格是原价格的，原来用60元买到的猪肉下调后可多买2斤.4月中旬，经专家研究证实，猪流感不是由猪传染的，很快更名为甲型H1N1流感因此，猪肉价格4月底开始回升，经过两个月后，猪肉价格上调为每斤14.4元(1)求4月初猪肉价格下调后每斤多少元；(2)求5、6月份猪肉价格的月平均增长率6. 如图，AOOB50 cm，OD是一条射线，一只蚂蚁由点A以2 cm/s的速度向点B爬，同时另一只蚂蚁由点O以3 cm/s的速度沿OD方向爬问几秒钟后两只蚂蚁与点O组成的三角形的面积等于450 cm2? 7. 如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长48米，下底长108米，上下底相距40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“H”型甬道，甬道宽度相等甬道面积是整个梯形面积的.设甬道的宽度为x米(1)求梯形ABCD的周长；(2)用含x的式子表示甬道的总长；(3)求甬道的宽是多少？思维拓展提优8. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图所示)由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米如果池的外围墙的建造单价为每米400元，中间两条隔墙的建造单价为每米300元，池底的建造单价为每平方米80元(池墙的厚度忽略不计) (1)当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x；(2)如果规定总造价越低就越合算，那么根据题目提供的信息，以47 200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算？请说明理由9.在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案(1)(2)(第9题)(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；(2)你还有其他的设计方案吗？请在下图中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明(第9题(3)开放探究提优10如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求：（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？（3）若墙长为a米，对建150平方米面积的鸡场有何影响？走进中考前沿11. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？奥赛园地教练平台：【例】设p是大于2的质数，k为正整数若方程x2px(k1)p40的至少有一根为整数，求k的值【分析】由根与系数的关系可得x1x2p，x1x2(k1)p4，从而有(x12)(x22)x1x22(x1x2)4(k1)p.(1)若k1，则方程为x2px2(p2)0，它有两个整数根2和2p.(2)若k1，则k10.因为x1x2p为整数，如果x1，x2中至少有一个为整数，则x1，x2都是整数又因为p为质数，由式知p|x12或p|x22.不妨设p|x12，则可设x12mp(其中m为非零整数)，则由式可得x22，故(x12)(x22)mp，即x1x24mp.又x1x2p，所以p4mp，即(m1)p4.如果m为正整数，则(m1)p(11)36，0，从而(m1)p6，与式矛盾；如果m为负整数，则(m1)p0，0，从而(m1)p0，与式矛盾因此，k1时，方程x2px(k1)p40不可能有整数根综上所述，k1.挑战自我初赛题：1. 若实数n满足(n2 009)2(2 008n)21，则代数式(n2 009)(2 008n)的值是()A. 1 B. C. 0 D. 12. (2009湖北荆州) 已知方程x2mxm10 (m是整数)有两个不等的正整数根，则m_.3.（2010年上海新知杯初中数学竞赛）已知整数满足，且关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则_.4. (2010江西) 若k个连续正整数之和为2 010，则k的最大值是_5. 某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用了100元，按该书定价2.8元出售，很快售完；由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高出0.5元，共用了150元，所购得书的数量比第一次多10本；这批书按原定价售出80%后，出现滞销，便以5折售完剩余的该图书试问：这个书店老板第二次售书是赔钱，还是赚钱？请通过计算说明(只与进价比较，不考虑其它成本)6. (2010江西)边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程x2(k2)x4k0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长复赛题：7. (2010数学周报杯”年全国) 若实数a，b满足aabb220，则a的取值范围是()A. a2 B. a4 C. a2或a4 D. 2a48.（2011年全国初中数学联赛）方程的解的个数为()A1 B2 C3 D49. (2009全国初中数学联合竞赛试题) 用x表示不大于x的最大整数，则方程x22x30的解的个数为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 410. (2009“数学周报杯”全国) 关于x，y的方程x22y2xy290的整数解(x，y)的组数为()A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 无穷多组11. (2009全国初中数学竞赛黄冈) 若x43|m|y|n|22 009是关于x，y的二元一次方程，且mn0,0mn3，则mn的值是()A. 4 B. 2 C. 4 D. 212（2011年全国初中联赛）设为整数，并且一元二次方程有等根，一元二次方程有等根，那么，以，为根的整系数一元二次方程是()A BC D13.（2011年全国初中数学竞赛）已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值. 参考答案1. A2. D 3. 200或1604. (1)设每台冰箱降价x元，由题意，得(2 4002 000x)(84)4 800.解得x1100，x2200.要使百姓得到实惠，取x200.所以，每台冰箱应降价200元(2)(2 4002 000x)(84)(x150)25 000.所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5 000元5. (1)设4月初猪肉价格下调后每斤x元根据题意，得2.解得x10，经检验，x10是原方程的解故4月初猪肉价格下调后每斤10元(2)设5、6月份猪肉价格的月平均增长率为y.根据题意，得10(1y)214.4，解得y10.220%，y22.2(舍去)故5、6月份猪肉价格的月平均增长率为20%.6. 10 s、15 s、30 s7. (1)在等腰梯形ABCD中，ADEF48，AEBC，DFBC，BECF(BCEF)(10848)30.ABCD50.梯形ABCD的周长ABBCCDDA501085048256(米)(2)甬道的总长：402482x(1282x)米(3)根据题意，得(1282x)x40(48108)整理，得x264x2400.解得x14，x260.因6048，不符合题意，舍去故甬道的宽为4米8. (1)根据题意，得400230022008047 200.解得x114，x225(舍去)故池长为14米(2)当以47 200元为总造价来修建污水处理池时，不是最合算当池长为16米时，池宽为12.5米16米，故池长为16米符合题意这时总造价为4002(1612.5)300212.52008046 30047 200.当以47 200元为总造价来修建污水处理池时，不是最合算的9. (1)不符合设小路宽度均为x m，根据题意得(162x)(122x)1612，解这个方程得x12，x212.但x212不符合题意，应舍去，x2.小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2 m.(2)答案不唯一，图略10（1）设宽为x米，则x（332x+2）=150，解得x1=10，x2= 7.5，当x=10时，332x+21518；当x=7.5时，332x+22018，不合题意，舍去，鸡场的长为15米，宽为10米.（2）设宽为x米，则x（332x+2）=200，即x235x+200=0，(35)242200=1 2251 6000，方程没有实数解，所以鸡场面积不可能达到200平方米.（3）当0a15时，不能围成一个长方形鸡场；当15a20时，可以围成一个长方形鸡场；当a20时，可以围成两个长宽不同的长方形鸡场；11.（1）2x 50x （2）由题意，得（50x）（302x）=2 100 .化简，得x235x+300=0.解得x1=15，x2=20.该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去. x=20.故每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元.奥赛园地1. C提示：设an2 009，b2 008n，则ab1，又(ab)2a22abb2，且a2b21，(1)212ab.2ab0，即ab0.2. 5 3.2 2784. 60提示：设2 010(n1)(n2)(nk)kn，则k(2nk1)4 020，注意k2nk1，而4 020223567，为使k值最大，当把4 020表成最接近的一对因数之积，为4 0206067，所以k60.5. 设第二次购书x本，依题意得，解得x150，x260当x50时，1505032.8，这与实际不符，舍去当x60时，150602.52.8，符合题意，由286080%2.80.56020%151.2150，故书店老板赚了，赚了151.21501.2(元)6. 设直角边为a，b(ab)，则abk2，ab4k.因方程的根为整数，故其判别式为平方数，设(k2)216kn2(k6n)(k6n)13221648，k6nk6n，或或解得k1(不是整数，舍去)，k215，k312；k215时，ab17，ab60a5，b12，c13；k312时，ab14，ab48a6，b8，c10.7. C提示：因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2aba20的判别式(a)2410，解得a2或a4.8.C 提示：当时，方程为，即，解得，均满足当时，方程为，即，解得，满足综上，原方程有3个解9. B10. C提示：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x2yx(2y229)0.由于该方程有整数根，则判别式0，且是完全平方数由y24(2y229)7y21160，解得y216.57.于是y201491611610988534显然，只有y216时，4是完全平方数，符合要求当y4时，原方程为x24x30，此时x11，x23；当y4时，原方程为x24x30，此时x31，x43.因此，原方程的整数解为11. A提示：mn0,0mn3，m1，n3.12.A13设方程的两个根为，其中为整数，且，则方程的两根为，由题意，得，两式相加，得，即 ， 所以， 或 解得 或又因为所以；或者，故或29.