空间向量及其加减运算

31 空间向量及其运算31.1空间向量及其加减运算李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？提示：不是问题2：如何刻画李老师行驶的位移？提示：借助于空间向量的运算空间向量定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.长度向量的大小叫做向量的长度或模.表示法几何表示法空间向量用有向线段表示.字母表示法用一个字母表示，如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作 ，其模记为|a|或|AB|.几类特殊向量零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0.单位向量：模为1的向量称为单位向量.相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为a.相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：ab；ab.加法运算律(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc).1向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比较大小，而方向无法比较大小一般来说，向量不能比较大小2零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行3单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量4空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个向量是共面的空间向量的概念辨析例1下列说法中正确的是()A若|a|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B若向量a是向量b的相反向量，则|a|b|C空间向量的减法满足结合律D在四边形ABCD中，一定有思路点拨根据向量的概念及运算律两方面辨析精解详析|a|b|，说明a与b模相等，但方向不确定对于a的相反向量ba，故|a|b|，从而B正确只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有，只有在平行四边形中才能成立故A、C、D均不正确答案B一点通(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键1给出下列命题：零向量没有方向；若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp；空间中任意两个单位向量必相等其中正确命题的个数为()A4B3C2 D1解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点也相同，故错；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但中向量a与b的方向不一定相同，故错；命题显然正确；对于命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故错答案：D2给出下列四个命题：(1)方向相反的两个向量是相反向量；(2)若a，b满足|a|b|且a，b同向，则ab；(3)不相等的两个空间向量的模必不相等；(4)对于任何向量a，b，必有|ab|a|b|.其中正确命题的序号为()A(1)(2)(3) B(4)C(3)(4) D(1)(4)解析：对于(1)，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(1)错；对于(2)，向量是不能比较大小的，故不正确；对于(3)，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故(3)错；只有(4)正确答案：B3.如图，在长、宽、高分别为AB4，AD2，AA11的长方体ABCDA1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)写出模为的所有向量(3)试写出AA1的相反向量解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个(2)因为长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，.(3)向量的相反向量为，共4个.空间向量的加减运算例2化简()()思路点拨根据向量加减运算的法则进行，注意向量的起点、终点精解详析法一：，()()0.法二：()()()()0.一点通(1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果4在正方体ABCDA1B1C1D1中，化简后的结果是()A BC D解析：由正方体的性质可得.答案：A5已知空间四边形ABCD中，ABa，b，c，则等于()Aabc BabcCabc Dabc解析：因为bac，所以abc.答案：C6.如图所示，已知长方体ABCDABCD.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果(1) ；(2) .解：(1) .(2) ()BC.向量、如图所示(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样(2)在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则如图，.即首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量求若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和1在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，与向量相等的向量共有 ()A1个B2个C3个 D4个解析：与相等的向量有，共3个答案：C2在平行六面体ABCDABCD中，模与向量的模相等的向量有()A7个 B3个C5个 D6个解析：|.答案：A3在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是 ()() ()() ()ABC D解析：()；()；()；().答案：A4已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，且a，b，则()Aab BabC.ab D2(ab)解析：如图，a，b，b，a，ba.答案：A5在直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，则_.解析：()c(ab)cab.答案：cab6化简_.解析：.答案：7.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1) ；(2) ；(3) .解：(1) .(2)因为M是BB1的中点，所以.又，所以.(3) .向量，如图所示8已知平行六面体ABCDABCD.求证：2.证明：平行六面体的六个面均为平行四边形，()()()2()又，2.