相似三角形应用举例

27.2.2相似三角形应用举例学习目标1学会运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题2知道并会应用一些简单的三角形相似的数学模型.3通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，学会分析问题、解决问题的能力学习重点：应用相似三角形的知识解决实际问题.预习导学不看不讲知识点一、根据相似三角形来测量物体的高度忆一忆: 1.一般三角形相似的判定方法有哪些？直角三角形中有哪些？平行线截三角形相似、三边成比例的两三角形相似、两组对应边成比例并且夹角相等的两三角形相似、两角对应相等的三角形相似以上方法对于两个直角三角形都成立，直角三角形所特有的：斜边和一组直角边的比相等，两直角三角形相似、直角三角形斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似2.相似三角形的性质有哪些？利用该性质能够解决什么类型的问题？相似三角形的对应边的比相等，对应角相等；根据相似三角形可以求出线段的长以及角的大小等问题学一学:1.阅读教材P48“例3”，你能直接测出金字塔的高度吗？如果不能，可以借助于什么知识解决呢？不能，可以借助于三角形相似，由于是测量高度，所以可以构造两个直角三角形2.所构造的两个直角三角形相似吗？依据是什么？相似，根据由于太阳光线是平行的，所以光线与地面的夹角相等，又因为在这两个直角三角形中直角相等，所以根据“两组对角相等的两个三角形相似”可得.想一想：1.上面问题中得到三角形相似的目的是什么？根据相似三角形的性质，得到成比例的线段，从而求出金字塔的高 2.针对以上问题的解答过程，你能总结出根据物体的影长测量物体（不能直接测量的）高度时，关键是什么？其实质是需要得到的关系式是什么呢？关键是根据已知条件构造相似三角形，其实质就是根据相似三角形的性质，得到关系式：.试一试：如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米,甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是多少米？解：设乙的影长为ADx米，由图形可知ADEACB，可得，ACx+1，BC1.8，DE1.5，解之得:x5，所以AC1+56.知识点二：根据相似三角形来估算河的宽度想一想：如果一条不能直接测量的河，你想知道河的宽度，该怎么办呢？可以构造全等三角形，根据全等三角形的性质得到河的宽度学一学：阅读教材P49“例4”的内容，本题主要是根据什么知识解决的？关键是什么？根据三角形相似的知识解决的，关键是构造两个相似三角形.正确议一议:在“例4”的证明过程中，两个三角形相似的主要依据是什么呢？两最对应角相等的三角形相似 练一练: 如图,A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作MNAB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为_152m.知识点三：根据相似三角形来解决盲区的问题学一学：1.阅读教材P49“例5”的内容，你知道看不到的区域在数学中的名称吗？本题的关键点是什么？该怎样画出两个三角形呢？盲区 关键是画出问题的临界点 过大树和小树的顶点作直线，该直线与距离地面1.6米的直线（眼睛所在直线）所组成的三角形2.使用该例题的方法画该问题的临界点时，要注意什么？使用这种方法是，必须保证观测者的眼睛、两棵大树的顶端“三点共线”想一想:按照以上方法，所作出的两个三角形相似吗？主要根据的是什么判定方法？相似，主要根据“平行于三角形的一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”.归一归：通过以上问题，你能总结一下根据三角形相似解决有关问题的主要步骤是什么吗？首先构造相似三角形，然后再根据相似三角形的判定方法证明两个三角形相似，最后根据相似三角形的性质求出问题的的解.合作探究不议不讲互动探究一：身高1.6m的小华照在距离灯杆5m的C处测得她在灯光的影长CD=2.5m，则路灯高度AB为多少？解：ECBD，ABBD，D为公共角，RTECDRTABD，AB=3EC=4.8m.【变式训练】已知路灯的高度为4.8米，身高1.6m的小华站在C处测得她在灯光的影长CD=2.5m，则此时小华距离路灯的距离是多少？解：ECBD，ABBD，D为公共角，RTECDRTABD，BC=5m.【方法归纳交流】对于根据相似三角形的知识解决实际问题中，关键是找出相似三角形，然后根据相似三角形的性质得到成比例的四条线段，当已知其中任意的三个，一定能求出另一条线段.互动探究二：如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（A）A12m B10mC8mD7m互动探究三：如图所示，小华为了测量一棵树的高度，找来一根竹竿AB，通过移动AB的位置，使自己的眼睛C、竹竿顶A，树顶D恰好在一条直线上.已知小华的身高为150cm，量得竹竿的高度为3m，MB=2m，NB=6m，你能帮助小华计算出树的高度吗？解：过点C作CEDN，交AB于点F，交DN于点E，则CEAB，DNAB，CAFCDE，,即，所以DE=6m，所以这课大树的高度为6米.【方法归纳交流】解决本题的关键是什么呢？明确对应边的关系是解题的关键. 严格的说CM应是眼睛与地面的距离，而不是身高.学习笔记【知识链接】视点、视线与盲区人朝某个方向看时，眼睛的位置成为视点；由视点发出的线称为视线；视线以外的看不到的地方称为盲区人看物体时的情形与中心投影的本质是一致的，因此在学习时可以将两者类比：若把人的眼睛比作是点光源，则视线与点光源发出的光线相似，影子与盲区相似【学法指导】在探究活动三中，运用标杆测量物体的高度时，必须保证观测者的眼睛、标杆的顶端、物体的顶端“三点共线”.温馨提示：在构造相似三角形时，往往是先考虑构造直角三角形.【教学建议】应用相似三角形的知识解决实际问题，关键是建立数学模型，在此问题中常常是求一些线段的长度的问题，解决时要根据已知转化为通过相似建立的位置线段的比例关系式，从而求出线段的长，运用数学建模思想吧生活中的问题抽象为数学问题，解决实际问题时要注意数学结合思想的应用.学情预见：在根据相似三角形得到成比例的线段时，对应边的寻找出现错误.应对措施：可以先找出两个相似三角形中的对应字母，然后用相似符号表示两个三角形相似，根据字母的顺序写出对应边，最好还是要结合图形.【备选问题】1.视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉所成的角，物体越小距离越远，视角越小.盲区：观察者看不到的区域.2. 雨过初晴，小梅从距离她站立的地方C点2.5m的E处的小水坑的水中，刚好看到教学大楼的顶端B，如图，已知小梅的眼睛距地面高度为CD=1.6m，小水坑与大楼的距离EA=21m，请你帮小梅计算一下教学大楼的高度AB.（提示：根据光的反射定律：反射角等于入射角）解：由光的反射定律可得：DEF=BEF，1=90-DEF=90-BEF=2，又DCE=BAE=90，DCEBAE，而CE=2.5m，CD=1.6m, EA=21m，AB=m.【个性备课】【教学反思】达标测评基础题初显身手1. 如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙1.6m，梯上点D距离墙1.4m，BD长0.5m，则梯子的长为（ B）米.A.3.85 .4.00 4.40 4.502.某同学的身高为米，某一时刻他在阳光下的影长为米，与他相邻的一棵树的影长为米，则这棵树的高度为（B）米.A.5.3 .4.8 4.0 2.72. 如图所示,铁道口的栏杆短臂长1米,长臂长16米,当短臂端点下降0.5米时, 长臂端点升高了_米.3. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为9.6米. 4. 如图为了测量一池塘的宽DE的长，在岸边找到一点C，测得CD=30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC=5m，过点A作ABDE，交EC的延长线于点B，测出AB=6m，则池塘的宽DE的长是多少？解：ABDE，ABCDEC，即,DE=36米答：池塘的宽度为36米.能力题挑战自我5. 小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A，若OA=0.2米，OB=40米，AA=0.0015米，则小明射击到的点B偏离目标点B的长度BB为 （ B ）A3米B0.3米C0.03米D0.2米6. 甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为9米 7. 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米,甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是6 米.8. 如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图。在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处。已知ABBD，CDBD。且测得AB1.4米，BP2.1米，PD12米。那么该古城墙CD的高度是_8米。9. 如图所示，A，B两点间有一湖泊，无法直接测量AB的长，测得：CA=60m，CD=24m，DEAB，DE=32米，求AB的长. 解：DEAB，CDECAB，即，AB=80米.答：AB的长为80米.拓展题勇攀高峰10. 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同此时，测得小明落在墙上的影子高度CD1.2m，CE0.8m，CA30m（点A、E、C在同一直线上）已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）解：过点D作DGAB，分别交AB、EF于点G、H，则EHAGCD1.2，DHCE0.8，DGCA30EFAB，由题意，知FHEFEH1.71.20.5，解之，得BG18.75ABBG+AG18.75+1.219.9520.0楼高AB约为20.0米