傅里叶变换应用于通信系统

第二讲无失真传输和希尔伯特变换123(7通信系统的一个主要任务就是有效而可靠地传输信号。从信号的角度 来看，希望所要传送的信号能够毫无阻碍地、毫无畸变地按照一定的方式通过传 输系统。例如信息传输系统，总希望在接受端获得和发送信号（语音、图像和数 据信号等）完全一样的信号，即实现所谓波形的无失真传输；但是另一个方面， 从传输系统的角度看，却要求在最经济的条件下达到传送信号的目的，这包括了 功率的节省、设备的简易性、频带的压缩和作用的有效性等。因此，信号通过系 统的传输过程，实质上就是限制传输（有效性）和反限制传输（可靠性）之间取 得最佳匹配的过程。一般情况下，传输系统的响应波形与激励波形不相同，也就 是说信号在传输过程中将产生失真。信号无失真传输和处理的条件所谓无失真传输，是指输出信号是输入信号的准确复制品，这个复制 品可以有不同的幅度和出现时间，但是要求其波形形状相同。systeme(I图5-2-1无失真传输系统假设输入信号为員*）,输出信号为厂卩）,则信号的无失真传输条件在 时域表示为：厂（“二慮（才一岛）。式中，肚是一个常数，是滞后时间。当此 条件满足时，输出波形尸（门就是输入波形灭）滞后时间5的复制品，虽然其幅 度变为原来的疋倍，但是其波形形状保持不变。如果从频域来看，无失真传输就是对系统的转移函数提出约束条件:氏0盘）=书）旷曲遗=J-CO0 LJ-M=危-叽E（j）又=:Ke由此我们可以得出，要使任意波形的信号通过线性系统不产生波形失 真，系统必须满足的两个条件是：1. 系统的幅频特性在整个频率范围内为常数，即系统有无 限带宽的通频带。2. 系统的相频特性是经过原点的直线。这两个条件的物理意义是不难理解的。因为厂住）在每点上都比HD大 恳倍，所以尸（才）的每个频率分量都应当比总吐）的相应分量大広倍，从而有 冋0）|二疋，即对所有的频率都是常数。另外，因为0）较炎）滞后一段时间 5,所以的每个频率分量都要比（*）的相应分量滞后时间5,在角频率上， 对应的是各个点的相位滞后了，即如。群延时和相位延时描述系统相移特性的另一种方法是群延时（或称群时延）特性来表示。群延时定义为相移特性的微分:如）。群延时表示了一个载频信号的包络的延迟，包络是包含着一定的带宽的，所以群延时表示了一定带宽的一组 频率成分的延迟。在没有产生相位失真的条件下，系统的群时延特性为常数。相位延时定义为：如普，它是系统对给定角频率的简谐信号所产生 的延迟。相位延时出现在载波因子中，它表明的是单一频率的载波的延迟。第二讲无失真传输和希尔伯特变换123满足不失真条件的系统只有两种：一种是即时系统，也就是只有纯电阻 组成的系统。这种系统对信号只有衰减作用，系统在某时刻的响应仅仅取决于该 时刻的激励。另一种是匹配的高频传输线，此时线上只有行波的作用。实际上， 具有储能元件的系统在传输信号的过程中都会产生失真，它是由两个因素造成 的：幅度失真和相位失真。幅度失真和相位失真由于冋（j曲）卜K不能满足而产生的失真叫做幅度失真。在这种情况下，系统对信号各个频率分量的幅度有不同程度的衰减或放大，使得响应信号各 频率分量的相对幅度产生变化，从而引起幅度失真。由于） = -0不能满足而引起的失真。在这种情况下，系统对信号 各个频率分量产生的相移不与频率成正比，结果各个频率分量的相位位置产生变 化，造成相位失真。无论是振幅失真还是相位失真，信号并没有产生新的频率分量，所以它 们属于线性失真。它不同于非线性系统由于非线性特性而对所传输信号引起的非 线性失真，非线性失真可能产生新的频率分量。我们讨论的是线性系统的幅度失 真和相位失真，一般情况下，这两种失真是同时存在而且无法区分的。但是在某 些情况下，一种失真所占的比重很小，可以忽略不计，从而另一种失真就突出地 表现出来。实际上，前面所述的不失真条件没有必要在无限宽的频带范围内都满 足，而是只要在信号有效占有的频带内得到近似满足就可以了。而且，如果满足 这两个条件的频带太宽，即系统的通频带太宽，则不需要的信号也会通过系统， 同时系统的噪声也随着频带的加宽而增大，这显然是我们不希望的。所以，实际 应用中，信号通过系统后，不可避免地要产生一些失真。我们所关心的是系统离开不失真到了怎样的程度后，信号的失真仍然是 可以允许的。这是一个较复杂的问题，不可能有一个普遍的解答，而要根据信号、具体系统以及给定的技术要求来分析。比如，如果我们的目的只是要产生一个宽 度与输入脉冲的宽度大小接近的输出脉冲，而保真度并不重要，则系统的通频带 只要大约等于输入脉冲的占有频带就够了。在一个搜索雷达系统就是这样，它只 要求有一个可以辨认出来的脉冲，而波形是次要的。但是如果要求波形保真，则 系统的通频带要数倍于信号的占有频带，实际上由所规定的脉冲上升时间来决 定。例如，在跟踪雷达系统中，各个脉冲到达的准确时刻必须准确地知道，因此, 雷达接受机的输出脉冲必须上升得很陡，以便准确地决定脉冲前沿的位置。在某 些导航系统和脉冲调制系统中，通频带也取决于脉冲的上升时间。频域均衡和时域均衡在实际的通信和信号处理问题中，经常会遇到无满足上述带限无失真传 输或处理条件的情况。但实际上，并非绝对不允许失真，通常只要求把失真度限 定在某个可接受的程度内。若失真较严重时，将是不能接受的，一般需采用均衡 技术来解决。所谓均衡就是信号通过实际传输或处理系统后，用另一个系统补偿或校 正该系统的非理想特性，使级联后整个系统满足或近似满足无失真传输或处理条 件。这个用于补偿或校正的系统成为均衡器。在许多实际应用中，连续或离散时 间传输或处理系统都可以等效成一个LTI系统，它们的均衡器也是LTI系统。这里要特别指出，对于一般的物理可实现系统，同时满足两个理想条件, 不仅是在实际中，就是在理论上也是无法实现的。这是因为，理论上可以证明， 也）|和炒（）之间存在着依赖关系，选定了一个，另一个也就随之而定了。第五章傅里叶变换应用于通信系统第二讲无失真传输和希尔伯特变换123希尔伯特变换的概念由于系统因果性的限制，系统函数的冋（j血）1和0（釦之间存在着某种 相互制约的关系，这种关系通过希尔伯特（H ilbert ）变换的形式表现出来。希尔伯特变换在信号分析领域有着重要的作用，一方面它使得实信号可 以很方便的表示成复解析信号，另一方面，它可以简单地表明因果信号频谱的实 部和虚部之间的关系。希尔伯特变换的定义：正变换：召（0 T邑飞）=丄广如血jt，一0=1 （i - r）1 門 /($)7T 丄。=1( - T)dr因果系统H（j）的实部与虚部之间的关系假设对因果系统有町）=血（境，汕和山分别是其偶分量和 奇分量，”九（门+札（门。下面我们由此来证明系统函数的实部与虚部之 间满足希尔伯特变换关系。呻）二鵝+认）-力（一才）=九一日0则有：鵝（苦他丫（”对因果系统有：om因为述心h （询）=R（）+ j（a），由傅里叶变换的奇偶虚实关 系可知，一个偶函数的傅里叶变换是实函数，一个奇函数的傅里叶变换为纯虚函 数。所以有：%（ 0 R3 久（右）o九（t） sgn（O j R（a）. hs （f） sgn（Q jl（劲应用傅里叶变换的频域卷积定理，得：2兀juj-m7）s二丄凤刃心7TJ-m （如一应（眄 二丄口9）*，_二丄2ttjuJ_w y结论：实因果信号频谱的实部和虚部是不独立的，它们各自都包含了信 号频谱的全部信息。如果系统函数频谱的实部和虚部满足希尔伯特变换，那么该 系统就是因果系统，反之亦然。波特关系式如果从系统函数的模与相位函数的角度考察，则有：H（斑）二旧0砺刃 lnR（j）二 ln|F（j）|-b可以证明，对于最小相移函数，山冋（j砒和9）之间也存在着约束关系。对 于可实现系统的系统函数，如果给定了 1诃刃如）L那么卩（）也就被确定，它 们构成一个最小相移函数。具体可以查阅有关的参考文献。（下面举一个例子， 进一步来说明希尔伯特的含义）设有一全通网络，其幅频特性和相频如图a、b所示。1. 求系统的冲激响应。2. 证明系统的输入为e(t)时，其响应r(t)与e(t)满足希尔伯特变换关系式。冋仙1J卯()i2：:T2ri1l|MHlb-T-解:设=严砂r -EgH (Jo)二*e 2 = 0严,eJ 2 = j)a) 0EM帥)=沪H0劲=F H j sgn = l117八2X0 =曲)= -= e(t)J t-rA由上述例题可以得出：希尔伯特变换的实质就是移相，把输入信号的正频率部分 移相负90度，而把负频率部分移相正90度。