质心系在近似处理中的特殊作用-质量悬殊的两体问题的近似处理

玉林师范学院本科生毕业论文质心系在近似处理中的特殊作用质量悬殊的两体问题的近似处理Special Function of Center-of-Mass Frame in the Approximate Disposal- the Approximate Disposal of Two-Body System with Great Disparity in Mass院 系物理科学与工程技术学院专 业物理学学 生 班 级2008级2班姓 名覃 惠学 号200805401230指导教师单位物理科学与工程技术学院指导教师姓名关小蓉指导教师职称副教授质心系在近似处理中的特殊作用质量悬殊的两体问题的近似处理 物理学2008级2班 覃惠 指导老师 关小蓉 摘要质心参考系是一种重要的参照系，本文主要阐述在实验室参考系与质心参考系下对质量悬殊的两体问题近似处理进行比较，分析在进行近似处理时，质心参考下的特点以及其特殊作用。关键词：两体问题，质心系，近似处理，质量悬殊 Special Function of Center-of-Mass Frame in the Approximate Disposal -the Approximate Disposal of Two-Body System with Great Disparity in MassPhysics Science 2008-2 QinHuiSupervisor Guan XiaorongAbstractThe centroid reference frame is an important reference system. This paper mainly analyzes the characteristics of the reference system and its special effects, By giving approximatr treatment to two bodies of different quality under the Laboratory frame of reference and centroid reference frame. Key words: great disparity in mass, two-body problem, frame of center of mass, approximate disposal目录1 前言12 质心参考系22.l质心的引进及意义22.2 质心参考系的定义23 两体问题的动力学分析23.1 质点组的相对运动方程23.2质点组的动能和相对运动动能44 实例讨论65 质心系的优越性分析105.1 质心系及其特点105.2质心系的优越性116 结束语127 致谢12参考文献14玉林师范学院本科生毕业论文1 前言自18世纪以来，经典力学已逐渐发展成为一门理论严谨、体系完整的科学，其中单体问题通常都能精确求解，而多体问题中每个质点的运动情况各不相同，一般不能精确求解，而我们研究的多数为两体问题，原因是许多实际的力学问题都可近似为两体问题。所谓两体问题就是指两个物体也就是两个质点组成的系统，它们彼此以内力相互作用，并不受外力作用而运动的问题。它包括的范围较广，如单个行星绕太阳的运动问题；粒子受原子核的散射问题、氢原子问题、双原子问题以及两体弹性相互作用问题等1。两体问题是天体力学，卫星空间运动理论的基础，也是粒子碰撞和散射理论的基础，在物理理论和物理方法上处于十分重要的地位，是基础物理开向、通往近代物理的窗口和桥梁。两体问题的研究有重要的实际意义，不但太阳、行星和天体力学中其它许多天体的运动属两体问题，而且许多微观粒子间的相互作用和运动也属两体问题，碰撞问题也可以看成两体问题，同时，两体问题为解决多体问题打下了基础，具有方法论的意义2。实际上，大多数多体问题，往往是其中两个物体间的相互作用比其它作用要强得多，因而就可先将这两个物体按两体问题处理，而把其它物体对它的作用看成扰动处于微弱外场或受微小外力作用对两体问题进行修正。近似处理在物理学中用得很普遍，而且常能突出问题的本质，简化运算过程，使对问题的阐述变得简单明了。对于两体问题，可采用一些合理的近似使之简化，本文通过两种方法来对两体问题进行近似处理。方法一是：在质心参考系下对质量悬殊的两体问题进行近似处理。方法二是：在实验室参考系下对质量悬殊的两体问题进行近似处理。在质心参考系下两体问题属于质点系问题，可以把它分解成质心的运动和相对于质心的运动。由于不受外力，故质心作惯性运动。因而对两体问题，只需求出两质点相对于质心的运动即可。这在知道了相互作用力之后，是不难解决的问题。但对于两体问题，人们希望找出一个质点相对于另一个质点的运动，即用相对运动来描述，也就是化为所谓的等效单体运动问题，因而显示其特殊性。在实验室参考系下的两体问题可以直接运用牛顿运动定律来解决就可以了。研究发现，上述这两种方法对近似处理质量悬殊的两体问题所得的结果是相同的，但是质心参照系在处理问题时比实验室参考系下更加直观、简捷和可靠。2质心参考系2.l质心的引进及意义物理学的研究，往往是从质点开始的，并由此建立了一系列相应的质点力学规律，用以描述质点运动所遵守的规律3。但是，在实际问题中，常常会遇到被研究对象不是一个质点而是共有很多相互之间有着密切联系的质点组成的质点组。质点组是二个以上质点的组合，它的每一个质点都遵循质点的运动规律，按理来说，质点组的运动规律，可以从每一个质点人手，按照质点力学的研究方法逐一分析，然后根据质点间所存在的联系加以综合、概括、抽象，从而得到整体的规律。所以质点组实际上是以质点力学为基础，是质点力学的发展，使之不仅能解决单个质点的力学问题，而且还能使我们认识由多个质点的组合而成的研究对象所遵守的力学规律。按照上述讨论，在质点组动力学中，原则上可以用隔离体法，写出质点组中每一个质点的运动微分方程式，由于每一个质点可以列出三个二阶微分方程式，为此将得出数目繁多的二阶微分方程，解题繁锁，难以得到一般解4。此外.内力一般是未知量，数目又大，更增加了问题的复杂性。因此对质点组动力学的研究，采取了整体性的方法。即第一，找出具有反映整体运动特征的物理量，例如总动量、总角动量总功、总动能、总机械能等，并建立了它们的动力学方程，由这些方程求出系统作为一个整体的运动特征5。第二，为了描述质点组的整体的大体位置，我们引进质心的概念，它是质点组中恒存在的一个特殊点，它的运动是很容易确定的，如果以这个特殊点作为参考点，又能使问题简单化。2.2 质心参考系的定义在研究质量悬殊的两体碰撞问题时，人们常运用两种不同的坐标系.一种叫实验室坐标系，这时观测者在静止坐标系中观测两体问题的碰撞过程，常为实验工作者所采用.另一种是随着质心运动的坐标系来观察，叫质心坐标系，常为理论工作者所采用。下面分别采用两种参考系解决一些两体问题，并分析讨论运用质心参考系时的优越性6。3 两体问题的动力学分析3.1 质点组的相对运动方程 下面分别运用两种方法来求出质点组的相对运动方程，一是采用实验室坐标系来求出质点组的相对运动方程，二是采用质心坐标系来求出质点组的相对运动方程。比较通过两种方法求出的动能，说明采用质心坐标系这一方法更为简便。设质点1和质点2的质量分别为和，它们不受外力的作用，只有内力相互作用。设质点2对质点1的作用力用表示，质点1对质点2的作用力用表示。这是一对作用力与反作用力，即，某时刻两质点的位置和图3.1所示，为静止坐标系的原点，两质点相对的位置分别由位置矢和表示。相对原点而言，两点的牛顿运动方程为7：yxz图 3.1 两体系统Fig.3.1 two-body system （3.1.1） （3.1.2） （3.1.3） （3.1.4）具体计算，还得考虑当两物体运动时，相互作用、的大小和方向随时间的变化，（例如，相互吸引的两物体、之间引力的大小和方向会随、的变化而改变），因而实际上是解算由六个二阶微分方程所组成的微分方程组。此外，内力一般是未知量，更增加了问题的复杂性。但如果利用动力学基本定理，则对两个物体组成的质点组来讲，常可将这些未知的内力消去（动能定理除外），而得到两个物体组成的质点组在外力作用下运动的某些特征。下面就是运用质心坐标系来求出质量悬殊的两体问题的相对运动学方程。 在质心参考系下处理两体问题在做等效单体而把物体相对于实际上的运动，简化成问题处理后，把物体视为静量止质为的物体在静止力心的作用下运动，其微分方程为8： （3.1.5）式中是折合质量 ，为由向所作的矢径，由于这一简化是取为参照系与共线，这样计算就简单很多了，由于，则方程可变成 （3.1.6）综上可以看出，采用质心系来求出两物体的相对运动方程较实验室坐标系更为方便、快键。3.2质点组的动能和相对运动动能下面分别运用两种方法来求出质点组的动能，一是采用实验室坐标系来求出质点组的动能，二是采用质心坐标系来求出质点组的动能。比较通过两种方法求出的动能，说明采用质心坐标系这一方法更为简便。 已知两个质点和，是质点对实验室参考系坐标原点的位矢，是质点对同一实验室参考系坐标原点的位矢，是质心对质点的位矢，是质心对质点的位矢。OC 图 3.2.1 质点组的相对运动动能Fig 3.2.1 relative motion kinetic energy of the particle group如下图（3.2.1）可知： （3.2.1） （3.2.2）对（3.2.1）、（3.2.2）求一阶导 （3.2.3） （3.2.4）令，、分别为质点、相对静止参考系的速度，、分别是、相对质心的速度，为质心相对于静止参照系的速度。在实验室参考系下求质点组的动能： （3.2.5）因为质心位置，所以质心速度而显然是质心相对质心的速度，故为零。质点组的动能则为 （3.2.6）由（3.2.6）式知，质点组的动能由两部分组成，一部分是质心运动动能，另一部分是两质点相对质心的动能之和。在质心参考系下求质点组的动能：由于 ，所以 式中，是对的速度。则 （3.2.7）当时，则 （3.2.8）从上面式子可以看得出来采用质心参考系来处理质量悬殊的两体问题的时候可以忽略质量大的物体的动能变化，而在实验室参考系下处理质量悬殊的两体问题时则不能忽略。4实例讨论下面运用几个例题来证明上面所讨论的内容。例一， 一质量为的货车车尾载着一质量的小车以速度行驶在比较光滑（假设车受到路面的作用力可以忽略）的路面上，开始时，小车静止在货车上，某一时刻小车向货车头驶去，经过一段时间后小车的速度达到（为简便，设为小车相对于货车与小车质心系的速度大小）现分别在实验室参考系和质心系讨论货车与小车动能的改变。（）解法一： 在实验室参考下解答，由于两车这一系统所受的合外力为零，所以其质心的速度将保持不变。小车动能的增量： 整理得： （4.1）货车动能的增量： （4.2）其中为小车的速度达到时货车相对地面的速度由动量守恒有： 整理得： （4.3）由（4.3）代入（4.2）并整理得 （4.4）很显然，（4.4）与（4.1）比较不能被忽略，也就是说货车的动能变化不能忽略。解法二： 在质心系中解答，设为小车以速度相对于两者质心系运动时，货车相对于质心系的速度，则有小车动能的增量 （4.5）货车的动能增量 （4.6） 由动量守恒有 得 （4.7）把（4.7）代入（4.6）并整理得 （4.8）所以 所以在质心系下货车的动能变化可以忽略。例二，下面我们来分析地球绕太阳运动，我们可以将太阳和地球看着一个两体问题，太阳的质量是地球质量的33万倍，分别采用用两种方法讨论地球绕太阳运动的动力学方程10。首先讨论由行星和太阳组成的两体相对于静止参考系的动力学问题。如图1所示，令S代表太阳，P代表某一行星。并设是行星P对某一惯性坐标系原点的位矢，而是太阳对同一惯性坐标系原点的位矢。以及分别代表太阳和行星的质量。 图4.1 两体系统Fig. 4.1 two-body system解法一： 运用实验室坐标系来力求地球对太阳的相对运动方程，则有 （4.9）式中，G为万有引力常数，而行星对同一坐标系的动力学方程为： （4.10）求地球对太阳的相对运动方程，由方程（4.9）、（4.10）得： （4.11）代入固有关系，得； （4.12）令，叫做折合质量，则（4.12）可写成： （4.13）由于太阳的质量是地球质量的33万倍，则，所以。则地球对太阳的动力学方程为： （4.14）解法二： 在质心系来求地球对太阳的相对运动方程. 在做等效单体处理后，可直接得出方程： （4.15）由于，所以，则地球对太阳的动力学方程为： （4.16）由于质心的性质,使得质心参照系在解决质量悬殊的天体组成的两体问题中具有重要的地位,这是上述所讨论的。.此外,在近似处理这类的两体碰撞问题时,质心系仍发挥特殊的作用,是实验室参考系系所不及的.下面从实例出发对质量悬殊的两体碰撞问题进行讨论。例三， 一质量为的大球与一质量为m的小球在水平方向发生完全弹性正碰,碰前,大球的速度为（相对于地）,小球处于静止状态.现分别在实验室参考系和质心系讨论大球和小球的能量改变情况11。在实验室参考系下讨论大球能量的变化：设碰后大球的速度为, 大球的速度改变量为，大球的能量改变量为。则 （4.17）在质心系参考下讨论大球能量的变化：在质心系来看大球几乎是静止的，而小球是以速度为朝大球碰来的，设碰撞前大球的速度为，碰撞后大球的速度改变量，则大球的能量改变量为.则 =0 （4.18）上式（4.17）中一般不为零且不一定是数值小，而式（4.18）中的，。在中，第一项与相同，为一高阶小量，可以忽略。第二项则由于M较大，一般不可以忽略。综上几道例题可以看出：质量悬殊的两体问题，在质心坐标系下，大质量物体的动能改变量近似为零，而在实验室坐标系下，尽管大质量物体的速度改变一小量，但其动能的改变不可忽略。5 质心系的优越性分析5.1 质心系及其特点在质心系中，质点组受到的合外力不管是否为零，对于质点组总存在如下12： （5.1）表明在质心坐标系中，两质点对质心的位矢方向总是相反，速度方向也总是相反，动量也总是等值反向。 通过上文的推导看出，质点组的能量守恒定律与实验室坐标系具有相同的形式。但对于质心而言，不管其是否做惯性运动，力学规律形式不变。而实验室参考系则不具有这一点，由此可见质心是一特殊点，质心参考系就是一个特殊参考系13。5.2质心系的优越性质心系在处理力学问题上表现出的优越性很多，下面仅列出其在处理质量悬殊的两体问题时表现出的优越性的几个重要物理量14质量悬殊的两体问题相对于实验室参考系下的运动微分方程为： （5.2.1）上面两式就是在实验室参考系下求解两体问题的基本方程，而两体系统对于该惯性系的质心位置矢量为： （5.2.2）由（5.2.1）、（5.2.2）两式得 （5.2.3）其中为折合质量，是相对于的位置矢量。这就是两体问题的动力学方程。下面来求出两质点的相对质心坐标系的动量表达式：质心是一个特殊点，不管它是否作惯性运动，在质心中的质点组相对于质心的总动量恒等于零15。由定义求出两质点相对质心坐标系的动量表达式，则有： （5.2.4）由于在质心坐标系中（5.2.2）恒为零，两边再对时间求导得： 则 （5.2.5）所以两质点对质心坐标系的动量恒为零。对于质量悬殊的两体问题可作等效一体问题处理，处理后把一物体视为静止，而把另一物体相对于实际上运动的物体的运动，简化成质量为的物体在静止力心的作用下运动。则两物体相对质心坐标系的动能表达式为： （5.2.6）上式就是两体系统相对坐标系的动能表达式。 总的来说，在近似处理质量悬殊的两题问题时，质心系较实验室坐标系特殊在于在计算质量悬殊的两体动能时，在质心系中可以被忽略的大质量物体的动能改变，在实验室坐标系中一般是不能忽略的。质心系较实验室坐标系的另一特殊性在于求质量悬殊的两体相对运动方程时，在质心系中可以把两体问题转化为简单的单体问题来解答，而实验室坐标系则不能。所以在解决质量悬殊的两体问题时，采用质心系来更为方便、简捷。6结束语一般来说，质心系是非惯性系，牛顿定律以及它的结论都不成立，由于质心系的独特性，使得许多力学规律与惯性中的规律在形式上能够保持一致，这给我们解决问题带来很多方便，实际上，质心系的优越性不仅仅是我上面讨论的那些，在研究粒子的散射问题，微观粒子的对碰问题等，质心系都起了很重要的作用，随着人们对质心系理解的不段加深，人们会对质心系的运用会更加灵活，质心系在科学研究中也将发挥更大作用。7致谢四年的学习生活即将结束，回首往事，自己一生最宝贵的时光能于这样的校园之中，能在众多学富五车、才华横溢的老师们的熏陶下度过，实是荣幸之极。在这四年的时间里，我在学习上和思想上都受益匪浅。这除了自身努力外，与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的。论文的写作是枯燥艰辛而又富有挑战的，然而在老师的谆谆教导、同学的出谋划策及家长的支持鼓励，使我坚持完成了毕业论文的撰写工作。在此，我首先要感谢我的导师关小蓉老师。从论文的选题、文献的采集、框架的设计、结构的布局到最终的论文定稿，从内容到格式，从标题到标点，她都费尽心血。没有关小容老师的辛勤栽培、孜孜教诲，就没有我论文的顺利完成。其次我要感谢玉林师范学院，感谢它为我提供了那么优美的学习环境，感谢它为我提供那么良义；也正是因为有了他们，我才有了追求进步的勇气和信心。时间的仓促及自身专好的设备。最后要感谢我的老师、同学、朋友们，正是因为有了他们，我所做的一切才更有意业水平的不足，整篇论文肯定存在尚未发现的缺点和错误。恳请阅读此篇论文的老师、同学，多予指正，不胜感激！参考文献1席小玲.天体力学中的两体问题J.宜春师专学报，2000，22（5）：76-79.2石晓斌关于两体问题的教学J娄底师专学报（自然科学版），1994，（2）：31-463陈世民.理论力学简明教程M.高等教育出版社，2001：60-684肖士珣理论力学简明教程M高等教育出版社，1979：106-108.5胡慧玲,林纯镇,吴怀敏. 理论力学基础教程M.高等教育出版社,1986：141-144.6周衍柏.理论力学教程M.北京：高等教育出版社,1985：69-71,74-76,129-131.7席小玲.物理学中的两体问题J. 宜春师专学报,2000,22（2）：44-48.8石晓斌.关于两体问题的教学J.娄底师专学报，1994，11(2)：39-46.9梁志强，唐文校.质心坐标系中的两体问题J.泰安师专学报，2001，23（3）54-57.10张浩波.质心坐标系在处理二体问题时的应用J.哈尔滨学院学报，2002，23（8）：45-49.11胡明政，何荣良.质心系在近似处理中的特殊作用-质量悬殊的两体问题的近似处理J.物理与工程，2007，17（3）：24-26.12严文.质心参考系的优越性分析J.昌吉学院学报，2008，9(6)： 117-119.13封素芹.关于质心坐标系的特殊性教学研究J.研台学院学报，2008，23（2）：112-113.14石晓斌.质心系的优越性J.益阳师专学报，1992，9（6）：87-92.15史可信.质心坐标系的特殊性J.南京大学学报，1993，6（3）：19-21.13