练习12 波的传播规律多普勒效应5

练习12 波的传播规律波的形成机理12. 1 波动曲线12. 2 图示为t = 0时的波动曲线, u = 2cm/s , 试指出: (1) 此曲线的物理意义。(2) 波源一定要在点0吗? 波形的实线与虚线部分各表示什么?(3) 点0 的初相位及波峰、波谷对应的点C, G点的初相位各为多少?(4) A, T,各为多少?(5) 用箭头指出0 , B, C, D, E, F,G, H 各点的运动趋势, 并说明你画箭头时是怎么考虑的。(6) 画出t = 2s 时的波动曲线。(7) 若u 的方向相反, 即波沿x 轴负方向传播, 再回答( 3) , ( 5) , ( 6) 。 题12.2图？分析与解答（1） 波动曲线表示的是波在传播过程中某时刻t介质元离开平衡位置的位移情况，相当于在该时刻所拍摄的一幅照片。（2） 波源不一定要在O点。根据惠更斯原理，波线上介质中任一点均可看作是一个子波波源。（3）O点的振动状态是过平衡位置，向Y轴负方向运动，其初项0=/2，波峰C点在正的最大位移处，其初项位c=0，波谷G点在负的最大位移处，其初项位g= 。（4） 振幅A=5cm, 波长=4cm； 周期 T=1/v=/ u=4/2=2s 圆频率 =2/ T= rad/s（5）判断某一点运动趋势的方法是：它前一点现时的位置，就是它下一时刻的位置。故O，B，H，I向下运动；D、E、F向上运动；C，G瞬间静止，随后C向下，G向上运动。（6）由于周期T=2s，因此t=2s 时的波动曲线应为t=0时的波形曲线向右传播一个波长后的形状，即曲线右移；同理，t=2s 时的波形曲线应为t=0 时的波动向左传播一个波长后的形状，即曲线左移。（7）在（3）中0 变为-/2，c ，G 不变。在（5）中各质元的运动方向：O，B，H，I 向上运动，D，E，F 向下，C 仍向下，G 仍向上；在（6）中，t=2s 时，波形左移，t=-2s 时，波形右移。12. 3 求解： (1) 已知x = 0 处质元的振动曲线如P156图12.2所示, 若它以u = 20cm/ s 的速度在介质中传播, 试画出t=3s 时的波动曲线。(2) 已知t =0时的波动曲线如图(题12.2)所示。试画出0，E，G各点的振动曲线。(3) 已知波函数。试画出x = 0和x =/4两点的振动曲线。 分析与解答 振动曲线是振子位移y与时间t的关系曲线，即y-t曲线。波动曲线是某一时刻t，波线上介质中各质点元位移y随x的分布曲线。（1） 从振动曲线可知：振幅 A = 5 cm，周期 T = 2 s，t = 0 时， y0 = 0,且 ，得O点初相位 ，圆频率振源（x=0）的振动方程为 cm由于该波以u=20 cm/s沿x轴正方向传播，波长，则波动方程为 cm将t=3代入波动方程得 cm,波形曲线如图（b）所示。（2）由题12.2图所示的波形曲线可知，O点过平衡位置，向y轴负方向运动，振动方程为 cmE点过平衡位置，向y正方向运动，振动方程为 cmG点在负最大位移处，振动方程为cm各点的振动曲线如图（C）所示。（2） 将 m改写为并与波函数的标准形式对比，得 A=2m；=0；=2 rad/s；u=2 m/s；当x=0时，该点的振动方程为 mx=/4处的振动方程为 则该两点的振动曲线如图（d），（e）所示。波动方程12.4 一平面谐波的表达式为y = Acos（t-x/u）+ 0 , 试说明:(1) 式中x/u 表示什么?(2) 表示什么?(3) x/ u 表示什么?(4) 表示什么? 它等于波速u 吗? 题12.4（6）(5) 若把方程写成y = Acos 2（t/T-x/）, 可否? (6) 波动方程中的(-x/u) , 其负号表示什么? 能否是正号? 今已知一平面谐波沿x 轴负方向传播, 如图所示, 已知M点的振动规律为y = Acos( t +)试写出点N 的运动方程。分析与解答(1) x/u 表示波从坐标原点（x=0）传到任意一点（x=x）所需的时间。(2) 表示坐标原点（x=0）处质点振动的初相位。（3）x/ u 表示波线上任一点处质元比原点处质元落后的相位，或相距x距离的两元间的相位差。（4）表示波动某一质元的振动速度，它不等于波速u，一般来说是时间的函数并且与质元位置x有关，而波速u只与介质有关。（5）该式只是在初相位 =0 时的特殊情况下成立，一般应写为 y =Acos2(t/T x/)+0 (6) (-x/u) 中的负号表示相位落后，而(+x/u)中的正号则表示相位超前。已知：M点的振动规律为 =A cos(t+)且该波沿x轴负方向传播，可知图中N点的相位较M点超前，则N点的运动方程（即波动方程）应为 y =A cost +(x-1)/u+ 12.5已知波动方程 cm试求：，T，v，u，A和波数k各为多少？并写出r=15cm处质点的运动方程。分析与解答 与波动方程一般形式相比较可得：周期T=12s；圆频率；波长=30cm； 振幅A=5cm波速cm/s；波数振动速度 cm/sr=15cm处质元的方程为：cm12.6 已知平面谐波A = 5cm，= 100Hz, 波速u = 400m/ s，沿x正方向传播，以位于坐标原点O的质元过平衡位置向正方向运动时为时间起点，试求:(1) 点O的运动方程;(2) 波动方程;(3) t = 1s 时, 距原点100cm 处质元的相位 分析与解答（1） 要建立O点的运动方程，关键在于找三个特征量。由题设条件可知，圆频率rad/s。振幅A=5cm；t=0时，坐标原点O处质点过平衡位置，且向正方向运动，则O点的初相位，于是O点的运动方程为 m(2) 波沿x轴的正方向传播。波线上任一点质元的相位较O点质元落后，则波动方程为(3)将t=1s，x=100cm=1m代入波动方程，得t=1s时，距原点100cm处质点的相位为199（若取，则该点相位为201）12. 7 一列平面谐波沿x 轴正向传播, 振幅A = 0.1m, 频率= 10Hz, 当t = 1.0 s时，x = 0.1m 处的质点a 的状态为，；x = 0.2m 处的质点b 的状态为m，。试求这列波的波动方程。分析与解答 由波动方程可知，这列波的方程为 在t=1.0s时，对于a点（x=0.1m）有则，由于，应取，则 同理，对于b点有 由式，可得 =0.24m，代入式，则波动方程为 12. 8 一列平面简谐波, 频率=500Hz , 波速u=350m/ s。试求:(1) 相位差的两点间相距多远?(2) 在某点, 时间间隔s 的两个振动状态的相位差为多少?分析与解答(1) 由相位差和波程差的关系则 (2) 按题设条件可知，周期为 T=1/v=1/500=210-3s则某点经历 的两个位移的相位差为或由两个方程求解： 关于波的能量特征12.9选择题: (1) 一列机械横波在t 时刻的波形曲线如图所示, 则该时刻能量为最大值的介质质元的位置是: ( ) A. o, b, d, f ; B. a, c, e, g; C. o, d; D. b, f。 题12.9（1）(2) 图示为一平面简谐波在t 时刻的波形曲线, 若此时A 点处介质质元的振动动能在增大,则可知: ( )A. C 点处质元的弹性势能在增大;B. A 点处质元的弹性势能在减小; 题12.9（2）C. B点处质元的振动动能在增大; D. 波沿x 轴正方向传播。分析与解答（1）（B） （2）A点的振动动能在增大，表明A点正向平衡位置运动，表明沿-X方向传播，因此，C点也向平衡位置运动，弹性势能和动能均增大，故答案（A）是正确的。12. 10 频率为= 500Hz, 波速为u =340m/s 的声波(平面简谐波) , 在空气(= 1.3kg/ m 3)中传播, 到达人耳时, 振幅约为A= 1.010-6 m。试求声波在人耳中的平均能量密度和声强。分析与解答 声波在人耳中的平均能量密度为（1/2）A2 2 =22A22 =6.4210-6 J/m2 其能量密度即为声强，即I= w/m2 波的干涉12. 11 如图所示, 两相干波源S 1 , S 2 , 频率均为100Hz , 振幅均为5cm, 波速均为u = 10m/ s , 振动方向均垂直纸面。试求下列情况下, S 1 , S 2 连线的中垂线上点P 的运动方程, 并说明点P 是加强还是减弱。(1) S 1 , S 2 的相位差为0；(2) S 1 , S 2 的相位差为/2；(3) S 1 , S 2 的相位差为。分析与解答设由S1所发的波动方程为 S2所发出的波动方程为 其中r1和r2分别为P点到S1和S2的距离，故两列波在P点的相位差为 由题意可知cm，所以（1）当时，两波叠加后干涉加强，合振幅 cm合振动方程为 cm(2) 时，合振动既不加强，也不减弱，此时设，则合振幅cm初相位合振动方程为 (3) 当 =时， 合振动为减弱，此时振动方程 y=012. 12 介质中两相干波源S1，S2，分别位于O 和N，如图所示。它们的振幅相等, 频率，相位差为。若ON相距为30m，波的传播速度为u=400m/s，试求:(1) ON 连线上因干涉而静止的各点位置; (2) ON 连线外的各点能否静止?分析与解答 波长 m（1）在ON连线之间取任一点P，此点距O点恰距离为，则距N点为。两列波传到P点的相位差为代入干涉减弱条件 ， (k = 0,1,2,)整理得 考虑到x的取值范围应在之间，k值的取值应在k =0, 1, 7，所以因干涉而静止的点为x =1，3，5，27，29 m处,共有15个静止点。（2）选P点在ON连线的外侧：P在O点左侧时，P距O为，P距N为，P点的相位差 由干涉条件知P点恒为加强，无静止点。P点在N点右侧时，有， ，也是恒为加强，无静止点。故在ON连线外侧的各点均无静止点。12. 13 何谓半波损失? 在什么情况下会产生半波损失? 并回答:(1) 入射波y1 = Acos2（t/T+x/）, 在x=0处发生反射, 反射点是自由端, 反射波有半波损失吗?(2) 如图所示, 点O 发出一列波, 在点P 发生反射, 题12.13图入射波的方程为y入=Acos（tx/u）。已知2u 21u1 , OP=L,则反射波的方程为y=Acost-（2Lx）/u- , 你能理解吗? 请说明式中-（2Lx）/u和(-)的意义。分析与解答 一列波从波疏介质垂直入射到波密介质，在两介质的分界面上反射的波，相位发生 的突变，此谓半波损失。（1）没有。（2）-（2Lx）/u为反射波传到某点与从O点发出入射波时的时间差。 -表示反射波产生的半波损失。12. 14 弦线上有两列波相向传播, 其运动方程分别为y1 = 0.06cos 2（t/0.5-x/2）m y2=0.06cos2（t/0.5+x/2）m 试求:（1) 证明弦线作驻波式振动;(2) 波节的位置及相邻两波节之间的距离;(3) 波腹的位置及幅值;(4) x = 1.2m 处的振幅值。 分析与解答 按题设条件可知，周期为T =0.5s,波长=2 m.(1)在弦线上任意一点P，它距坐标原点的距离为x，则P点的合振动方程为 y =y1 + y2 =0.06cos2(t/0.5- x/2)+ 0.06cos2(t/0.5 + x/2)=0.12cos(2x/2)cos(2t /0.5)=0.12cos(x)cos(4t) 式与标准的驻波方程具有相同的形式，故弦线作驻波式振动。（2）式中，合振幅为 =0.12cos(2x/2)=0.12cosx 当cosx=0,即x=(2k+1)/2 时, =0.则 X =1/2(2k+1) (k=0,1,2,)即 x = 1/2, 3/2, 5/2,为波节位置两相临波节间的距离为： x = xk+1 - xk = 1 m(3)当|cosx|= 1,即x = k时, =2A. 则 X = k (k =0, 1, 2,)即x = 0, 1, 2,为波腹位置。且=2A =0.12m(4)将x = 1.2 m代入式,得 =0.12COS(1.2)= 0.097 m多普勒效应12.15 一列火车以63 km/ h 的速度由东向西驶向车站。汽笛声频为650Hz,车站旁的平行公路上有一辆红旗轿车, 试问轿车司机在下列情况下所接收到的火车汽笛声的频率最接近数据是660Hz, 618Hz, 685Hz, 710Hz 中的哪一个? (1) 轿车静止;(2) 轿车以45km/ h 的速度向西行驶;(3) 轿车以45km/ h 的速度向东行驶。分析与解答 汽笛是一个运动的波源S，红旗车司机是观察者P(1) P静止，S迎向P运动，速度为vs =63km/h = 17.5 m/s.发出的声频为 =650Hz，声波在空气中的传播速度u =340m/s，则P接受的频率为=u/(uvs )= 650340/(340-17.5) = 685Hz(2)P以vR = 45km/h=12.5m/s与S同向行驶，则=(u-vR )/(u-vs) =(340-12.5)/(340-17.5)650=660Hz（3）P以vR =12.5m/s与相向行驶，则=(u + vR )/(u vs ) =(340+12.5)/(340-17.5)650=710Hz12.16 声呐被誉为水中的雷达, 我海军某舰艇的声呐发出频率为1.8104Hz 的声波, 经40s 接收到回波信号, 观察到拍音频率为220Hz, 发现是敌潜艇向我艇驶来, 若声速为1500m/s。试求:(1) 敌潜艇的行驶速度;(2) 敌潜艇离我艇距离为多少?分析与解答（1）停在海上的我艇（波源）发出的频率为，以VR行驶的敌艇接收的频率为，则 此频率反射时，敌艇成为以VR运动的波源，我艇接收的频率为，则 由于拍频 为 考虑到u VR ,则敌艇的速度VR为 VR =(uv )/2 =(1500220)/(21.8104 )=9.17m/s(2) 声纳往返一次的时间为40s，单程为20s，敌艇离我艇的距离为 L=ut=150020=30km12.17 正在报警的警笛, 每隔0. 5 s 钟响一声, 一辆警车以72km/ h 的速度向报警地急速驶来, 于t = 20s 时赶到。问20s 内警车内的警员听到几响?分析与解答按题意，波源（警笛）不动，观测者（警车）以v =72km/h=20m/s的速度相对于介质运动，设声速为u =340m/s。根据多普勒公式，则观察者接收到的频率为 =(u + v)/u =(340+20)/3402=720/340 Hz于是，20s内能听到的响数为 n = 20(720/340)=42响12.18 根据大爆炸理论, 宇宙在膨胀。设远方一星系发来的光的波长, 经测量是地球上同类原子发的光的波长的1.5倍。求该星系离开地球的退行速度。分析与解答 设星系的退行速度为v，发出的光的频率和波长为， ，地球接收到的为 。根据光的多普勒效应， 有 则 ， 即 ， 故 v = m/s12.19 人体主动脉内血液的流速一般为v = 0. 32 m/s , 声波在体内的传播速度约为u = 1.54103m/s。今沿血流方向发射=4.0106Hz 的超声波, 试问: 从红血球反射回的波与原发射波的拍频为多少?分析与解答应用研究12.20 对下列命题, 请设计相应的方案。(1) 如何测定或控制卫星的速度?(2) 公路上的不同路段, 都规定了汽车的最大行驶速度, 超速是违规的。交警部门是如何监控汽车是否超速行驶的?(3) 如何观测海底地貌?(4) 如何检测铸件的内部质量?分析与解答（1）（2）采用多普勒测速仪（3）（4）超声（或次声）探测10