《概率分布》PPT课件

作者 贾俊平,统 计 学(第三版),2008,2008年8月,数学定律不能百分之百确切地用在 现实生活里；能百分之百确切地用 数学定律描述的，就不是现实生活 Alber Einstein,统计名言,第 4 章 概率分布,4.1 度量事件发生的可能性 3.2 随机变量概率分布 3.3 由正态分布导出的几个重要分布 3.4 样本统计量的概率分布,2008年8月,学习目标,度量事件发生的可能性概率 离散型概率分布 二项分布，泊松分布，超几何分布 连续型概率分布 正态分布 由正态分布导出的几个重要分布 c2-分布， t-分布， F-分布 样本统计量的概率分布,2008年8月,中奖的可能性有多大？,很多想在彩票市场上赚大钱，这可以理解，但赢得大奖的人总是少数。山东的一打工者为了碰运气，半个小时花去了1000元钱，买了500张即开型福利彩票，结果也没撞上大奖。有人曾做过统计，最赚钱的彩票，中彩的概率最高是500万分之一，有的达到1000万分之一甚至更低 假定每张彩票面值是2元，大奖的奖金额是500万元，中将概率是500万分之一，你花掉1000万元购买500万张彩票，即使中了500万的大奖，你仍然亏损500万。况且，从概率的意义上看，即使你购买500万张彩票，也不能肯定就中大奖 法国人就有这样的俗语：“中彩的机会比空难还少。”对于多数人来说，彩票只是一种数字游戏，是社会筹集闲散资金的一种方式，而不是一种投资，更不是赌博。相信有了本章介绍的概率方面的知识，你就不会再跟彩票较劲,4.1 度量事件发生的可能性 概率是什么？ 怎样获得概率？ 怎样理解概率？,第 4 章 概率分布,2008年8月,什么是概率？(probability),概率是对事件发生的可能性大小的度量 明天降水的概率是80%。这里的80%就是对降水这一事件发生的可能性大小的一种数值度量 你购买一只股票明天上涨的可能性是30%，这也是一个概率 一个介于0和1之间的一个值 事件A的概率记为P(A),2008年8月,怎样获得概率？,重复试验获得概率 当试验的次数很多时，概率P(A)可以由所观察到的事件A发生次数(频数)的比例来逼近 在相同条件下，重复进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率可以写为,用类似的比例来逼近 一家餐馆将生存5年的概率，可以用已经生存了5年的类似餐馆所占的比例作为所求概率一个近似值,主观概率,4.2 随机变量的概率分布 4.2.1 随机变量及其概括性度量 4.2.2 离散型概率分布 4.2.3 连续型概率分布,第 4 章 概率分布,4.2.1 随机变量及其概括性度量,4.2 随机变量的概率分布,2008年8月,什么是随机变量？(random variables),事先不知道会出现什么结果 投掷两枚硬币出现正面的数量 一座写字楼，每平方米的出租价格 一个消费者对某一特定品牌饮料的偏好 一般用 X，Y，Z 来表示 根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量,2008年8月,离散型随机变量(discrete random variables),随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 x1 , x2， 以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子,2008年8月,连续型随机变量(continuous random variables),可以取一个或多个区间中任何值 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点 连续型随机变量的一些例子,2008年8月,离散型随机变量的期望值(expected value),描述离散型随机变量取值的集中程度 离散型随机变量X的所有可能取值xi与其取相对应的概率 pi 乘积之和 记为 或E(X)，计算公式为,2008年8月,离散型随机变量的方差(variance),随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为 2 或D(X) 描述离散型随机变量取值的分散程度 计算公式为 方差的平方根称为标准差，记为 或D(X),2008年8月,离散型数学期望和方差 (例题分析),【例】一家电脑配件供应商声称，他所提供的配件100个中拥有次品的个数及概率如下表。求该供应商次品数的数学期望和标准差,2008年8月,连续型随机变量的期望和方差,连续型随机变量的期望值 方差,4.2.2 离散型概率分布,4.2 随机变量的概率分布,2008年8月,离散型随机变量的概率分布,列出离散型随机变量X的所有可能取值 列出随机变量取这些值的概率 通常用下面的表格来表示,P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 pi0 ； 常用的有二项分布、泊松分布、超几何分布等,2008年8月,离散型随机变量的概率分布 (例题分析),【例】一部电梯在一周内发生故障的次数X及相应的概率如下表,(1) 确定的值 (2) 求正好发生两次故障的概率 (3) 求故障次数多于一次的概率 (4) 最多发生一次故障的概率,2008年8月,离散型随机变量的概率分布 (例题分析),解：(1) 由于0.10+0.25+0.35+ =1 所以， =0.30 (2) P(X=2)=0.35 (3) P(X 2)=0.10+0.25+0.35=0.70 (4) P(X1)=0.35+0.30=0.65,2008年8月,二项试验(Bernoulli试验),二项分布建立在Bernoulli试验基础上 贝努里试验满足下列条件 一次试验只有两个可能结果，即“成功”和“失败” “成功”是指我们感兴趣的某种特征 一次试验“成功”的概率为p ，失败的概率为q =1- p，且概率p对每次试验都是相同的 试验是相互独立的，并可以重复进行n次 在n次试验中，“成功”的次数对应一个离散型随机变量X,2008年8月,二项分布(Binomial distribution),重复进行 n 次试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布，记为XB(n，p) 设X为 n 次重复试验中出现成功的次数，X 取 x 的概率为,2008年8月,二项分布 (例题分析),【例】已知一批产品的次品率为4%，从中任意有放回地抽 取5个。求5个产品中 (1) 没有次品的概率是多少？ (2) 恰好有1个次品的概率是多少？ (3) 有3个以下次品的概率是多少？,2008年8月,二项分布 (用Excel计算概率),第1步：在Excel表格界面，直接点击【fx】(插入函数)命令 第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】 中点击【BINOMDIST】，然后单击【确定】 第3步：在【Number_s】后填入试验成功次数(本例为1) 在【Trials】后填入总试验次数(本例为5) 在【Probability_s】后填入试验的成功概率(本例为 0.04) 在【Cumulative】后填入0(或FALSE)，表示计算成 功次数恰好等于指定数值的概率(填入1或TRUE表示 计算成功次数小于或等于指定数值的累积概率值), 用Excel计算二项分布的概率,2008年8月,泊松分布(Poisson distribution),1837年法国数学家泊松(D.Poisson，17811840)首次提出 用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布 泊松分布的例子 一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数 一定时间内，到车站等候公共汽车的人数 一定路段内，路面出现大损坏的次数 一定时间段内，放射性物质放射的粒子数 一匹布上发现的疵点个数 一定页数的书刊上出现的错别字个数,2008年8月,泊松分布(概率分布函数), 给定的时间间隔、长度、面 积、体积内“成功”的平均数 e = 2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面 积、体积内“成功”的次数,2008年8月,泊松分布 (例题分析),【例】假定某航空公司预订票处平均每小时接到42次订票电话，那么10分钟内恰好接到6次电话的概率是多少？,解：设X=10分钟内航空公司预订票处接到的电话次数,2008年8月,泊松分布 (用Excel计算概率),第1步：在Excel表格界面，直接点击【fx】(插入函数)命令 第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】 中点击【POISSON 】，然后单击【确定】 第3步：在【X】后填入事件出现的次数(本例为6) 在【Means】后填入泊松分布的均值(本例为7) 在【Cumulative】后填入0(或FALSE)，表示计算成 功次数恰好等于指定数值的概率(填入1或TRUE表示 计算成功次数小于或等于指定数值的累积概率值), 用Excel计算泊松分布的概率,2008年8月,超几何分布(hypergeometric distribution),采用不重复抽样，各次试验并不独立，成功的概率也互不相等 总体元素的数目N很小，或样本容量n相对于N来说较大时，样本中“成功”的次数则服从超几何概率分布 概率分布函数为,2008年8月,超几何分布 (例题分析),【例】假定有10支股票，其中有3支购买后可以获利，另外7支购买后将会亏损。如果你打算从10支股票中选择4支购买，但你并不知道哪3支是获利的，哪7支是亏损的。求 (1)有3支能获利的股票都被你选中的概率有多大？ (2)3支可获利的股票中有2支被你选中的概率有多大？,解：设N=10，M=3，n=4,2008年8月,超几何分布 (用Excel计算概率),第1步：在Excel表格界面，直接点击【fx】(插入函数)命令 第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】 中点击【 HYPGEOMDIST】，然后单击【确定】 第3步：在【Sample_s 】后填入样本中成功的次数x(本例为3) 在【Number_sample】后填入样本容量n(本例为4) 在【Population_s】后填入总体中成功的次数M(本例 为3) 在【Number_pop】后填入总体中的个体总数N (本例为10), 用Excel计算超几何分布的概率,4.2.3 连续型概率分布,4.2 随机变量的概率分布,2008年8月,连续型随机变量的概率分布,连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值 它取任何一个特定的值的概率都等于0 不能列出每一个值及其相应的概率 通常研究它取某一区间值的概率 用概率密度函数的形式和分布函数的形式来描述,2008年8月,常用连续型概率分布,2008年8月,正态分布(normal distribution),由C.F.高斯(Carl Friedrich Gauss，17771855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出 描述连续型随机变量的最重要的分布 许多现象都可以由正态分布来描述 可用于近似离散型随机变量的分布 例如： 二项分布 经典统计推断的基础,2008年8月,概率密度函数,f(x) = 随机变量 X 的频数 = 正态随机变量X的均值 = 正态随机变量X的方差 = 3.1415926; e = 2.71828 x = 随机变量的取值 (- x +),2008年8月,正态分布函数的性质,图形是关于x=对称钟形曲线，且峰值在x= 处 均值和标准差一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族” 均值可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度。越大，正态曲线扁平；越小，正态曲线越高陡峭 当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交 正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1,2008年8月, 和 对正态曲线的影响,2008年8月,标准正态分布(standardize normal distribution),标准正态分布的概率密度函数,随机变量具有均值为0，标准差为1的正态分布 任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布,标准正态分布的分布函数,2008年8月,正态分布 (用Excel计算正态分布的概率),第1步：在Excel表格界面中，点击“fx ”(插入函数)命令 第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】 中点击【NORMDIST】，然后单击【确定】 第3步：在【X】后输入正态分布函数计算的区间点(即x值) 在【Mean】后输入正态分布的均值 在【Standard_dev】后输入正态分布的标准差 在【Cumulative】后输入1(或TRUE)表示计算事件出 现次数小于或等于指定数值的累概率 单击【确定】,2008年8月,正态分布 (计算标准正态分布的概率和反函数值),第1步：在Excel表格界面中，点击“fx ”(插入函数)命令 第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】中点击 【NORMSDIST】，单击【确定】 第3步：在【Z】后输入Z的值。单击【确定】 第1步：在Excel表格界面中，点击“fx ”(插入函数)命令 第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】中点击 【NORMSINV】，然后单击【确定】 第3步：在【Probability】后输入给定的概率值。单击【确定】,计算概率,计算z值,2008年8月,正态分布(例题分析),【例】计算以下概率 (1) XN(50,102)，求 和 (2) ZN(0,1)，求 和 (3)正态分布概率为 0.05 时，求标准正态累积分布函数 的反函数值 z, 用Excel正态分布的计算概率,2008年8月,数据正态性的评估,对数据画出频数分布的直方图或茎叶图 若数据近似服从正态分布，则图形的形状与上面给出的正态曲线应该相似 绘制正态概率图。有时也称为分位数分位数图或称Q-Q图或称为P-P图 用于考察观测数据是否符合某一理论分布，如正态分布、指数分布、t分布等等 P-P图是根据观测数据的累积概率与理论分布(如正态分布)的累积概率的符合程度绘制的 Q-Q图则是根据观测值的实际分位数与理论分布(如正态分布)的分位数绘制的 使用非参数检验中的Kolmogorov-Smirnov检验(K-S检验),2008年8月,正态概率图的绘制(normal probability plots), 正态概率图可以在概率纸上绘制，也可以在普通纸上绘制。在普通纸上绘制正态概率图的步骤 第1步：将样本观察值从小到大排列 第2步：求出样本观察值的标准正态分数zi 。标准正 态分数满足 第3步：将zi作为纵轴，xi作为横轴，绘制图形，即为 标准正态概率图,2008年8月,正态概率图的绘制 (例题分析),【例】在一家保险公司中随机抽取10名销售人员，他们的年销售(单位：万元)分别为176，191，214，220，205，192，201，190，183，185。绘制正态概率图，判断销售额数据是否服从正态分布,2008年8月,用SPSS绘制正态概率图,第1步：选择【Graphs】下拉菜单，并选择【P-P】 或 【Q-Q】选项进入主对话框 第2步：在主对话框中将变量选入【Variables】 ，点击【OK】, 用SPSS绘制正态概率图,2008年8月,正态概率图的绘制 (例题分析),P-P图 Q-Q图,2008年8月,正态概率图的分析(normal probability plots),实际应用中，只有样本数据较多时正态概率图的效果才比较好。当然也可以用于小样本，但此时可能会出现与正态性有较大偏差的情况 在分析正态概率图时，最好不要用严格的标准去衡量数据点是否在一条直线上，只要近似在一条直线上即可 对于样本点中数值最大或最小的点也可以不用太关注，除非这些点偏离直线特别远，因为这些点通常会与直线有偏离。如果某个点偏离直线特别远，而其他点又基本上在直线上时，这个点可能是离群点，可不必考虑,4.3 由正态分布导出的几个重要分布 4.3.1 2 分布 4.3.2 t 分布 4.3.3 F 分布,第 4 章 概率分布,4.3.1 2 分布,4.3 由正态分布导出的几个重要分布,2008年8月,由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡皮尔逊(KPearson) 分别于1875年和1900年推导出来 设 ，则 令 ，则 y 服从自由度为1的2分布，即 对于n个正态随机变量y1 ，y2 ，yn，则随机变量 称为具有n个自由度的2分布，记为,c2-分布(2-distribution),2008年8月,分布的变量值始终为正 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称 期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度) 可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U2(n1)，V2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布,c2-分布(性质和特点),2008年8月,不同自由度的c2-分布,2008年8月,c2-分布(用Excel计算c2分布的概率),利用Excel提供的【CHIDIST】统计函数，计算c2分布右单尾的概率值 语法：CHIDIST(x,degrees_freedom) ，其中df为自由度，x,是随机变量的取值 利用【CHIINV】函数则可以计算给定右尾概率和自由度时相应的反函数值 语法：CHIINV(probability,degrees_freedom), 用Excel计算c2 分布的概率,4.3.2 t 分布,4.3 由正态分布导出的几个重要分布,2008年8月,t-分布 (t-distribution),提出者是William Gosset，也被称为学生分布(students t) t 分布是类似正态分布的一种对称分布，通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布,2008年8月,t-分布(用Excel计算t分布的概率和临界值),利用Excel中的【TDIST】统计函数，可以计算给定值和自由度时分布的概率值 语法：TDIST(x,degrees_freedom,tails) 利用【TINV】函数则可以计算给定概率和自由度时的相应 语法：TINV(probability,degrees_freedom), 用Excel计算t分布的临界值,4.3.3 F 分布,4.3 由正态分布导出的几个重要分布,2008年8月,为纪念统计学家费希尔(R.A.Fisher) 以其姓氏的第一个字母来命名则 设若U为服从自由度为n1的2分布，即U2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V2(n2),且U和V相互独立，则 称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为,F-分布(F distribution),2008年8月,不同自由度的F分布,2008年8月,F-分布(用Excel计算F分布的概率和临街值),利用Excel提供的【FDIST】统计函数，计算分布右单尾的概率值 语法：FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2) 利用【FINV】函数则可以计算给定单尾概率和自由度时的相应 语法： FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2), 用Excel计算F分布的概率,4.4 样本统计量的概率分布 4.4.1 统计量及其分布 4.4.2 样本均值的分布 4.4.3 其他统计量的分布 4.4.4 统计量的标准误差,第 4 章 概率分布,4.4.1 统计量及其分布,4.4 样本统计量的概率分布,2008年8月,参数和统计量,参数(parameter) 描述总体特征的概括性数字度量，是研究者想要了解的总体的某种特征值 一个总体的参数：总体均值()、标准差()、总体比例()；两个总体参数：(1 -2)、(1-2)、(1/2) 总体参数通常用希腊字母表示 统计量(statistic) 用来描述样本特征的概括性数字度量，它是根据样本数据计算出来的一些量，是样本的函数 一个总体参数推断时的统计量：样本均值(x)、样本标准差(s)、样本比例(p)等两个总体参数推断时的统计量： (x1-x2)、(p1-p2)、(s1/s2) 样本统计量通常用小写英文字母来表示,2008年8月,样本统计量的概率分布，是一种理论分布 在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布 随机变量是 样本统计量 样本均值, 样本比例，样本方差等 结果来自容量相同的所有可能样本 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据,抽样分布 (sampling distribution),4.4.2 样本均值的分布,4.4 样本统计量的概率分布,2008年8月,在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布 推断总体均值的理论基础,样本均值的分布,2008年8月,样本均值的分布(例题分析),【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4 。总体的均值、方差及分布如下,均值和方差,2008年8月,样本均值的分布 (例题分析), 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为,2008年8月,样本均值的分布 (例题分析), 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布,2008年8月,样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析), = 2.5 2 =1.25,总体分布,样本均值分布,2008年8月,样本均值的分布与中心极限定理,当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的期望值为，方差为2/n。即xN(,2/n),2008年8月,中心极限定理(central limit theorem),从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,2008年8月,中心极限定理 (central limit theorem),x 的分布趋于正态分布的过程,2008年8月,抽样分布与总体分布的关系,总体分布,正态分布,非正态分布,大样本,小样本,样本均值 正态分布,样本均值 正态分布,样本均值 非正态分布,2008年8月,样本均值的分布 样本均值的期望值和方差,样本均值的分布(数学期望与方差),4.4.3 其他统计量的分布,4.4 样本统计量的概率分布,2008年8月,总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比 不同性别的人与全部人数之比 合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比 总体比例可表示为 样本比例可表示为,样本比例的分布(proportion),2008年8月,在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布 当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似，即,样本比例的分布,2008年8月,样本方差的分布,在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布 对于来自正态总体的简单随机样本，则比值 的抽样分布服从自由度为 (n -1) 的2分布，即,2008年8月,样本方差的分布,在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布 对于来自正态总体的简单随机样本，则比值 的抽样分布服从自由度为 (n -1) 的2分布，即,4.4.4 统计量的标准误差,4.4 样本统计量的概率分布,2008年8月,统计量的标准误差 (standard error),样本统计量的抽样分布的标准差，称为统计量的标准误，也称为标准误差 衡量统计量的离散程度，测度了用样本统计量估计总体参数的精确程度 样本均值和样本比例的标准误差分别为,2008年8月,估计的标准误差 (standard error of estimation),当计算标准误时涉及的总体参数未知时，用样本统计量代替计算的标准误，称为估计的标准误 以样本均值为例：当总体标准差未知时，可用样本标准差s代替，则在重复抽样条件下，样本均值的估计标准误为,2008年8月,Excel中的统计函数,BINOMDIST计算二项分布的概率 POISSON计算泊松分布的概率 HYPGEOMDIST计算超几何分布的概率 NORMDIST计算正态分布的概率 NORMINV计算正态分布的区间点(临界值) NORMSDIST 计算标准正态分布的概率 NORMSINV计算标准正态分布的区间点(分位数) CHIDIST计算c2分布的右尾概率 CHIINV计算给定c2分布的右尾概率的临界值 FDIST 计算F分布的右尾概率 FINV 计算给定F右尾概率的临界 TDIST计算给定t值的分布概率 TINV计算给定概率的t值,2008年8月,本章小结,度量事件发生的可能性概率 离散型概率分布 二项分布，泊松分布，超几何分布 连续型概率分布 正态分布 由正态分布导出的几个重要分布 c2-分布， t-分布， F-分布 样本统计量的概率分布,结 束,THANKS,