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积分变换法,常见的两种积分变换 -傅立叶变换 -拉普拉斯变换.,如果 满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆变换为:,如果函数 在 上绝对可积，它的傅立叶变换定义如下,有时把 记为 。,一. 傅立叶变换,反演公式,傅立叶变换的性质:,1） 线性性质 设 f, g 是绝对可积函数， 是任意复常数，则,2） 微分性质 设 f , 绝对可积函数，则,3）乘多项式 设 f , x f 绝对可积，则,4）伸缩性质 设 f (x) 绝对可积，则,6） 卷积性质 设f , g 是绝对可积函数， 令,则,5）平移性质 设 f (x) 绝对可积，则,例 用积分变换法解方程：,解：作关于 x 的傅立叶变换,方程可变为,设,可解得,由于,即,则,从而方程的解,例 用积分变换法解方程：,解： 作关于 的傅立叶变换。设,方程变为,用常数变易法可解得,而,则,例 用积分变换法求解初值问题：,解：作关于 x 的傅立叶变换。设,于是原方程变为,满足初始条件,齐次方程的解,设非齐次方程的解为,令,则,代入方程,得,积分,方程通解为,由初始条件,取傅立叶逆变换，得,的傅立叶变换,其中,所以 取傅立叶逆变换，得,傅立叶逆变换是一种把分析运算化为代数运算的有效方法,但 1.傅立叶变换要求原象函数在R上绝对可积.,大部分函数不能作傅立叶变换,2.傅立叶变换要求函数在整个数轴上有定义,研究混合问题时失效.,二. 拉普拉斯变换,定义: f (t)定义在 上，若其满足下列条件 f (t)分段光滑； 当t0时, f (t)0; 存在常数 M 和 使得 则称f (t)为初始函数, 称为f (t)的增长指数.,反例,定理: 设f (t)是一以 为增长指数的初始函数, 则经变换 得到的函数F(p)是 上的解析函数.,上述变换称为拉普拉斯变换,例,反演公式：在 f (t) 的每一个连续点均有,其中，,基本性质:,1） 线性性质 设 f, g 的拉普拉斯变换分别为L( f ), L(g ), 是任意复常数，则,2） 微分性质 假设 , 则,6） 卷积性质,定义,4）延迟性质,5）伸缩性质,则,3）积分性质,例 设 求解常微分方程的初值问题:,解 对 进行拉普拉斯变换, 设 , 则,于是原方程变为,由上式得:,对 进行拉普拉斯逆变换, 得,解 问题归结为求解下列定解问题:,例 一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0，求杆上温度分布规律。,方程通解为,表示温度，当 时， 一定有界，所以 亦有界，从而 .,对 进行拉普拉斯变换，设,于是原问题变为,由边值条件可知 ， 即,对 进行拉普拉斯逆变换，有,于是,查表得,而,易证,所以,于是,例 设 求解下面定解问题,解 对 进行拉普拉斯变换,则原方程 变为,即,由条件 得,解得,对 取拉普拉斯逆变换，得,数学物理方程+定解条件,解,常微分方程+定解条件,解,积分变换,逆变换,如何使用积分变换法求解定解问题：,选取恰当的积分变换，对某个（某些）自变量作积分变换，得到象函数的含参变量的常微分方程； 2）对部分定解条件取相应的积分变换, 导出象函数方程的定解条件； 3）解关于象函数的定解问题, 求出象函数； 4）将象函数取积分逆变换，即得原定解问题的解.,1）傅立叶变换的取值范围是 ， 拉普拉斯变换的取值范围是 。,2）注意定解条件的形式。假如对 进行拉普拉斯变换，而原方程为 阶方程，则定解条件中应出现,需要注意,
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