概率统计：第十二章 平稳过程(第一,二节)

第十二章 平稳过程平稳过程是一类特殊的随机过程,它的应用极为广泛.第一节 严平稳过程定义1 设随机过程,如果对任意维分布函数,任意实数,满足:,则称为严平稳过程,或称狭义平稳过程.严平稳过程的含义是:过程的任何有限维概率分布与参数的原点选取无关,过点的直线,在直线上,.二. 严平稳过程的一维,二维分布函数的性质特殊地,取,一维分布函数;二维分布函数,上式表明:严平稳过程的一维分布函数不依赖于参数,二维分布函数仅依赖于参数间距,而与本身无关.三.(1)离散状态随机过程,严平稳性条件 .(2)连续状态随机过程,严平稳性条件 . 一维概率密度函数;二维概率密度函数.四.严平稳过程的数字特征的性质 以为连续状态严平稳过程为例 (常数); (常数); (常数); (仅依赖于,而不依赖于);.于是得到 定理一 设是严平稳过程,如果过程的二阶矩存在,那么 (1) , , 均为常数,与参数无关; (2) , ,仅依赖于参数间距,而不依赖于.数字特征的这一性质也称为平稳性. 定理一的逆定理是不成立的.满足定理一中(1)和(2)的不一定满足严平稳条件,从而不一定是严平稳过程. 下面来看两个例题 例1 (Bernoulli序列) 独立重复地进行某项试验,每次试验成功的概率为,失败的概率为.以表示第次试验成功的次数,试验证是严平稳过程.解 第次试验失败, 第次试验成功. ,且是独立随机序列. 任取个正整数:维分布律, 维分布律不依赖于;对任意正整数,必有 ,故Bernoulli序列是严平稳过程.例2 设是相互独立的标准正态随机变量, .试验证随机过程不是严平稳过程,的数字特征也不具有平稳性.解 首先求的一维分布函数 , ; 与独立, 与的联合概率密度,(1) 若,则;(2) 若,则,于是,显然依赖于参数,故对任意实数, ,不是严平稳过程.的一维概率密度, 服从参数的指数分布,依赖于,即的均值函数不满足平稳性. 第二节 广义平稳过程一. 广义平稳过程的定义定义2 设随机过程,对于任意,满足:(1) 存在且有限;(2) 是常数;(3) 仅依赖于,而与无关,则称为广义平稳过程,或称宽平稳过程,简称平稳过程. 参数集为整数集或可列集的平稳过程又称为平稳序列,或称平稳时间序列.二. 广义平稳过程的数字特征 的性质设是平稳过程,则(1)仅依赖于,而与无关;(2) 是常数;(3) 是常数;(4)是常数; (5) =,(仅依赖于,而与无关)。三.平稳过程的例子 例1随机相位正弦波,式中和是常数,是上服从均匀分布的随机变量.验证是平稳过程.验证 是常数; 仅依赖于;是常数,所以, 是平稳过程.例2 随机振幅正弦波,其中和都是随机变量,且,.验证是平稳过程.验证 由已给条件,知, ; ;.所以, 是平稳过程.例3 (白噪声序列) 互不相关的随机变量序列,是一个平稳序列.验证 取为任意非零整数,由与互不相关,则有 =; ,所以, 是一个平稳序列.例4通讯系统中的加密序列 设是相互独立的随机变量序列.同分布, 同分布, .设 ,则加密序列是平稳序列.验证 , (1) , (2) , (3) 为任意正整数,与相互独立, ,所以, 是平稳序列. 例5 随机电报信号 电报信号用电流或给出,任意时刻的电报信号为或的概率各为.又以表示内信号变化的次数,已知是一泊松过程,则是一个平稳过程. 验证 (1),(2) ,由泊松过程的定义 , ,于是得到, (3) , 所以, 是一个平稳过程.四.严平稳过程与广义平稳过程的关系由定理一和定义2,得推论 存在二阶矩的严平稳过程必定是广义平稳过程. 广义平稳过程,不一定是严平稳过程. 严平稳过程,(如果二阶矩不存在),不一定是广义平稳过程. 五.两个平稳过程的关系 广义平稳过程简称平稳过程. 定义3 设和是两个平稳过程,如果互相关函数 ,仅是参数间距的函数,则称与平稳相关, 或称与是联合平稳的.此时 . 定义4 , (12.2)称为标准互协方差函数. 特别当时,称两个平稳过程与不相关. (常数), (常数).