高等数学BCH2-习题课用

1,第五节 函数的微分,问题的提出 微分的定义 微分的几何意义 微分公式与微分运算法则 微分在近似计算中的应用 小结,CH2 导数与微分,2,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,微分学所要解决的两类问题:,导数、微分与连续性的联系:,可导,可微,连续,内容回顾,3,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,定理,4,导数与微分的区别:,5,例8,解,6,五、微分在近似计算中的应用,7,例9,解,8,例10,解：,2、计算函数的近似值,9,解:,例11,10,常用近似公式：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,11,解,例12,12,第二章 导数与微分 习题课,内容回顾 典型例题 作业点评 巩固练习,13,（一）主要内容,一、内容回顾,1、导数的定义,实质: 增量比的极限;,3、导数的几何意义: 切线的斜率;,导数与导函数的区别与联系;,4、求导四则运算法则,注:,2）分段函数求导时,分段点处的导数必须用定义（左右导数）求.,14,5、反函数的求导法则,即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,6、复合函数的求导法则,注意函数的复合过程,合理分解，正确使用链式法则,7、高阶导数的定义及运算法则;,n阶导数的求法;,1）直接法;,2）间接法.,8、隐函数求导法则,直接对方程两边求导，求导过程中注意函数的复合关系,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,9、对数求导法（注意适用范围）,15,10、由参数方程所确定的函数的导数,实质上是利用复合函数求导法则（始终以t为中间变量， x为自变量）,11、相关变化率:,通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解.,16,12、微分的定义及求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,微分形式的不变性,13、微分的基本运算法则,14、导数、微分与连续的关系,17,可微,几个重要概念之间的关系,可导,有极限,连续,18,理解导数与微分概念，了解导数的几何意义、 可导（可微）与连续的关系，会用定义求导数；,掌握隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的求法。,熟练掌握导数的运算法则及求导公式，能熟练 地求初等函数的一阶、二阶导数与微分，了解 高阶导数的概念；,（二）大纲要求,19,重点：导数与微分的概念，熟练掌握求各类函数 的导数的方法,关键：熟记求导公式和求导法则.,本章重点难点,20,二、典型例题,基本题型小结,可导与连续性的讨论,函数的微分,函数的求导问题,应用,分段函数在分段点的导数、可导必连续、导数定义,基本公式；,导数四则运算；,复合求导；,*导数的应用,微分的应用,反函数求导、隐函数求导、对数求导、参数方程求导；,高阶导数；,函数变化率问题；切线、速度,函数增量问题；增量与函数近似值,21,二、典型例题,例1 判断下列运算的对错：,22,23,1 .用导数定义求导,例2,解,24,右导数,例2,25,解1,解2,分段函数在分段点的导数 必须用定义,例3,26,例4,解,先去掉绝对值,27,解,不能用公式求导.,例5,28,解：,典型例题,29,典型例题,30,2.根据导数运算法则求导数,基本初等函数的求导公式,四则运算法则,复合函数运算法则,隐函数求导法则,参数方程所确定的函数的求导公式,对数求导法则,例7,解,31,例8,解,32,于是,解 两边取对数得,两边对 求导,33,例9,解,两边取对数,34,直接法,间接法,莱布尼兹公式法,3.求高阶导数,2.注意总结规律,35,解,直接法,间接法,莱布尼兹公式法,3.求高阶导数,36,例12,解,37,38,解：,(1) 连续性,可导性,类似 总习题二（P122）7,39,(2),40,证：,分析：,习题21（P87） T11,三、作业点评,41,习题23（P103） T4,分析：,42,反之，不成立,总习题二（P125） T3,43,4.设有一细棒，取棒的一端作为原点棒上任意点的坐标为x，于是分布在区间0，x上细棒的质量m是x的函数m m(x)应怎样确定细棒在x0点处的线密度,解：,如图所示：,所以x0点处的线密度为上式极限，即：,总习题二（P125） T4,44,解：,7.讨论下列函数在原点处的连续性与可导性.,故原点处导数不存在,所以该函数原点处是连续的,总习题二（P125） T7,45,解：,7.讨论下列函数在原点处的连续性与可导性.,故原点处导数不存在,所以该函数原点处是连续的,总习题二（P125） T7,想一想结果如何？,在x=0极限不存在，从而不连续 进而不可导,可导从而连续。,46,16.甲船以6kmh速率向东行驶，乙船以以8kmh速率向南行驶，在中午十二点正，乙船位于甲船之北16km处，问下午一点正两船相离的速率为多少？,解：,建坐标系如图：,十二点后的t 时刻两船的位置如图：,此时两船的距离为,总习题二（P126） T16,47,解：由近似公式,17.用微分求近似值：,得：,几个常用的近似公式：,总习题二（P127） T17,48,解：,18.已知单摆的振动周期为 其 中 ，l 为 摆长(单位为cm)，设原摆长为20 cm ，为使周期T增大0.05s，摆长约需加多少？,所求问题为已知自变量：,此时函数增量为：,由微分学知：,求此时的自变量的增量：,总习题二（P127） T18,49,练习：,答案：,作业：第二章大作业 本周五上交,预习 3.1 微分中值定理,51,四、巩固练习,52,53,54,55,56,57,测验题答案,58,