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1,第二节,一、 偏导数概念及其计算,二 、高阶偏导数,偏 导 数,2,一、 偏导数定义及其计算法,回顾：,导数的定义,3,4,注意:,5,同样可定义对 y 的偏导数,6,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,7,8,例1 . 求,解法1:,解法2:,在点(1 , 2) 处的偏导数.,9,例2. 设,证:,求证,10,解,11,不存在,12,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,13,、偏导数存在与连续的关系,？,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,14,显然,因为,在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,15,思考:,不能.,例如,16,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,4、偏导数的几何意义,17,由一元函数导数 的几何意义：,z= f (x,y),L：,L,= tan,偏导数的几何意义,.,y =y0,同理，,.,Tx,固定y =y0,18,M,z= f (x,y),L,x =x0,固定 x =x0,Tx,.,偏导数的几何意义,19,M,由一元函数导 数的几何意义：,z= f (x,y),L,= tan,.,x =x0,Tx,Ty,.,固定 x =x0,偏导数的几何意义,20,几何意义:,21,定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,二、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,22,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:,混合偏导,23,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶偏导数为,24,例7. 求函数,解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,25,例如,二者不等,26,问题：,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,27,则,定理.,例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明:,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.,初等函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函,数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,而,当三阶混合偏导数,在点 (x , y , z) 连续时, 有,28,例8. 证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性 , 有,方程,29,练习题,设,方程,确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且,求,解:,30,作业,P18 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2）,31,内容小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号; 几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序),32,思考与练习,解答提示:,P73 题 5,P73 题 5 , 6,即 xy0 时,33,P73 题6,(1),(2),
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