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7 . 曲 率,一、弧微分,在曲线上取基点 M0(x0,y0),设 y = f (x) 在 (a, b) 内有连续导数，,M(x, y) 为曲线上任一点，,M0 .,x0,M .,x,记 弧长 s =,规定,依 x 增大的方向作为曲线的正向。,(即 M 在 M0 右，S 0),s 随 x 的增大而增大, s = s(x) 是 x 的,单调增加函数。,a,b,y = f (x),设 x 有增量x ,相应有s ,在曲线上的对应点为M, M,则s =,=,=,M.,y = f (x), =,s = s (x), s (x) 为单增函数，, s (x) 0 ,MM., 弧微分公式,= 1,几何意义：,P,弧微分 d s 表示了M点处切线段MP 的长度。,当切线正向与曲线方向一致，且与 x 轴夹角为 ，则有,当曲线方程为 y = f (x)，,当曲线 y = f (x) 是用参数方程,当曲线用极坐标方程,y 有连续导数,二、曲率及其计算公式,.,在工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度,考察曲线的弯曲程度：,曲线的弯曲程度与曲线端点处切线的转角,相等的情况下，,(1) 不弯,(2) 弯曲,(3) 弯得厉害,成正比。,1. 与切线转角 成正比,M1,M2,M3,对同一条曲线,2. 与曲线弧长 S 成反比,曲线弯曲得越厉害。,A,B,B,S,S,A,越小,即为曲线在点 M 处的曲率。,1. 与切线转角 成正比,2. 与曲线弧长 S 成反比,= k,考察直线的曲率。,曲率为 0 的曲线是直线。,1.考察半径为 R 的圆上各点处的曲率。,例：,A,B,R,圆上取两点 A ，B ，,即圆上各点处的曲率都等于其半径的倒数。,2.,= 0，, k = 0.,半径越大，弯曲越小。,反之亦然。,o,曲率的计算公式,(1),设曲线方程 y = f (x) 二阶可导，,由定义，,曲线方程 y = f (x) 二阶可导，,拐点处的曲率为 0 。,(1),(2),曲线方程由参数方程,在实际问题中，,给出，,(3),曲线方程由极坐标方程,三、曲率圆与曲率半径,设 y = f (x) 在点 M (x, y) 处的曲率为 k ,在 M 点处凹的一侧的法线上取一点 D，,. M,. D,以 D 为中心， 为半径作圆，,则此圆称为曲线在点M处的曲率圆。,就称为曲率半径。,曲率圆与曲线在M点处不仅有相同的切线与曲率，还有相同的凹向。,在M点附近常用曲率圆弧近似代替曲线弧。,例 题 讨 论,例1：,并问在哪点处曲率最大？其曲率半径是多少？,解：,则分母为最小时 k 最大。,处曲率最大。,例2：,解：,8 . 方程的近似解,一、 二分法,二、 切线法,（ 自学 ）,习 3 7 (A),课 外 作 业,1，4,习 3 7 (B),1，3,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,一、主要内容,
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