高等数学(微积分)课件-93高阶微分方程

1,9.3高阶微分方程,二阶线性微分方程的定义,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,2,线性微分方程的解的结构,二阶齐次线性方程解的结构,证,问题,3,线性相关、线性无关,例如,线性无关,线性相关,特别地,4,通解,例如,推论,5,二阶非齐次线性方程的解的结构,证,6,二、二阶常系数线性方程,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,7,二阶常系数齐次线性方程的通解,二阶常系数齐次线性方程的解法,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,8,不相等的实数根,有两个不相等的实根,特征根为,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,9,相等的实数根,有两个相等的实根,特征根为,一特解为,得齐次方程的通解为,10,共轭复根,有一对共轭复根,特征根为,重新组合,得齐次方程的通解为,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,11,例题讲解,例：,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例,解,特征方程为,解得,故所求通解为,12,小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,13,课堂练习,14,课堂练习解答,解,解,15,课堂练习解答,解,16,课堂练习解答,解,17,二阶常系数非齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点 如何求特解？,方法 待定系数法.,18,f(x)=ex pm(x),设非齐方程特解为,代入原方程,19,续,综上讨论,20,例题讲解,例：,解,特征方程,特征根,对应齐次方程通解,代入方程, 得,原方程通解为,21,例题讲解,例：,解,22,例题讲解,例：,解,23,课堂练习,24,课堂练习解答,解,25,续,26,课堂练习解答,解,27,续,