2022年高中数学联赛（山东）赛区竞赛试卷

2022年高中数学联赛（山东）赛区竞赛试卷一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分)1.函数的最大值是_ ; (王泽阳 供题)解:,其等号仅当即时成立,所以,f(x)最大=.2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一列a1,a2,an.若an=xx.则n=_. (王继忠 供题)解:设为吉祥数,则x1+x2+xm=5,由x11和x2,xm0得(x1-1)+x2+xm=4,所以,为第个吉祥数.为第个吉祥数. 由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共个,三位吉祥数共个,因以1为首位的四位吉祥数共个,以2为首位的前两个四位吉祥数为:xx和xx.故n=1+5+15+15+2=38.3.已知f(x)是2011次多项式,当n=0,1,2011时,.则f(xx)=_; (王 林 供题)解:当n=0,1,2011时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x有xx个根,设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)(x-2011). 取x=-1,则1=xx!a.故,.4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k步转过k个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到_个红点. (龚红戈 供题)解:将5个点依次编号04,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点.ABCDOIEF5.如图，设,分别为的外心、内心，且，的外角平分线交于，已知,则_. (李耀文 供题)解: 连接并延长交于,则为弧的中点.连、，由，易知、均为正三角形.由内心的性质得知：,所以、四点共圆,且圆心为.再延长交于,由题设知、共线，于是, ,又, 从而, 故.二.解答题(本题共5道小题,每小题20分,满分100分)6.证明:对任给的奇素数p,总存在无穷多个正整数n使得p|(n2n-1).(陈永高 供题)证明:取n=(p-1)k,则由费尔马小定理知,所以, p|(n2n-1).取k=pr-1(rN*),即n=(p-1)(pr-1),就有即p|(n2n-1).RABCDPEGFQ7.如图，已知P是矩形ABCD内任意一点，延长BP交AD于E，延长DP交AB于F，延长CP交矩形的外接圆于G。求证：GEGF. (叶中豪 供题) 证法1: 设CG交AD于Q,由GBAGDA及AGBCGD知ABGQDG。延长DF、CB交于R，由ADBR, AD=BC得 又由CPBQPE及RPBDPE得 由,得,表明F,E是ABG,QDG的相似对应点,故得FBGEDG.所以,FGB=EGD,FGE=BGD=900, 即GEGF.ABCDPEGFQ证法2:联结GB,GD,令GCB=,GCD=,由正弦定理得:,由GBFGDE得FBGEDG.所以,FGB=EGD,FGE=BGD=900, 即GEGF.8.对于恰有120个元素的集合A.问是否存在子集A1,A2,A10满足:(1)|Ai|=36,i=1,2,10;(2)A1A2A10=A;(3)|AiAj|=8,ij.请说明理由. (刘裕文 供题)解:答案:存在.考虑长度为10的0,1数列.其中仅3项为1的恰有个,每个作为集合A的一个元素.对每个j=1,2,10,第j项为1的0,1数列恰有个,它们是集合Aj的36个元素.对每对i,j1,2,10(i1,v1.由4v2-3u21(mod8)知u,v为奇数,直接计算得umin=15,vmin=13,k=56,所以,m最小=1513=195,n最小=337.10.设实系数三次多项式有三个非零实数根.求证:. (李胜宏 供题)证明:设为p(x)=0的三个根,由根与系数关系得:.原式 .若,则成立.若,不妨设,由的齐次性,不妨设,则,.因 ,所以,.故原式成立.