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第一章 第三节 线段的垂直平分线 第一课时课型：新授课授课时间：2012年9月10日，星期一，第二节课教材分析：线段的垂直平分线的概念前面已学过，本课是进一步理解线段垂直平分线的性质，学会线段的垂直平分线的做法，会做轴对称图形的对称轴。线段的垂直平分线的性质，在计算、证明、作图中有着广泛的应用，可以简化证明,方便计算。在本课的学习中,应注重联系线段的垂直平分线性质,提高综合运用知识的能力。学情分析：由于本课的难点是线段的垂直平分线定理和逆定理的联系，因此，需注重对定理和逆定理的题设与结论的分析，使同学们能正确理解这两个定理的关系，能根据命题的条件准确地选择定理、选择方法，从而提高解决问题的能力。教学目标：知识和技能：1.经历探索猜测证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.2.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理.3.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线.过程和方法：通过折纸的办法引入线段垂直平分线的性质定理，判断定理的理论证明.情感态度与价值观：在独立思考、分析推理的基础上， 积极参与讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解.教学重点：线段垂直平分线的性质定理、判定定理的掌握.教学难点：线段垂直平分线的性质定理、判定定理的证明.教法与学法指导：线段的垂直平分线的性质定理及逆定理,都是几何中的重要定理,也是一条重要轨迹.在几何证明、计算、作图中都有重要应用.我讲授这节课是线段垂直平分线的第一节课,主要完成定理的引出、证明和初步的运用.本课的教学方法可以概括为：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究. 在设计教案时,我结合教材内容,对如何导入新课,引出定理以及证明进行了探索.在这一过程中让学生主动积极的参与到教学中来,使学生通过作图、观察、量一量再得出结论.从而把知识的形成过程转化为学生亲自参与、发现、探索的过程.在教学时,引导学生分析性质定理的题设与结论,画图写出已知、求证,通过分析由学生得出证明性质定理的方法,这个过程既是探索过程也是调动学生动脑思考的过程,只有学生动脑思考了,才能真正理解线段垂直平分线的性质定理,以及证明方法。在此基础上再提出如果有两点到线段的两端点的距离相等,这样的点应在什么样的直线上?由条件得出这样的点在线段的垂直平分线上,从而引出性质定理的逆定理,由上述两个定理使学生再进一步知道线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离的所有点的集合。这样可以帮助学生认识理论来源于实践又服务于实践的道理,也能提高他们学习的积极性,加深对所学知识的理解.为了使学生当堂掌握两个定理的灵活运用,让学生做28页的两个练习,以达到巩固知识的目的.课前准备：课件（教师准备）、三角板和圆规（师生各自准备）教学过程：（一）设置情景，提出问题（导）：（上课铃响，师生问好）师：这节课我们学习线段的垂直平分线（教师板书课题）师：请回忆在七年级时，我们用折纸的办法得到了线段垂直平分线上的点有什么性质？（学生独立思考，小声在小组内交流后举手）生：线段垂直平分线上的点到线段的距离相等（刚说完很多同学举起了手，急切望着老师）生：不是到线段的距离相等，而是到这条线段两个端点的距离相等师：回答的很好，请坐师：谁能完整的再说一遍？生：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等（学生一边说，师一边板书到黑板上）（二）导学探究，组内互助（学）：【探究一】线段的垂直平分线的性质定理的证明师：仅仅凭折纸得到这一性质是不够的，还必须利用公理、已学过的定理推理、证明它现在就请同学们写出已知、求证，画出图形，并尝试着证明（学生迅速在练习本上写，教师巡视每个小组的情况3名学生板演） 师：（巡视发现学生基本完成画图、已知、求证后）把你遇到的疑问在小组内交流，组长到黑板上用红粉笔纠错.生：（积极询问、讲解、争论） 师：（根据发现的问题点拨）完成好画图、已知、求证的关键是分清命题的条件和结论“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的条件和结论是什么？（学生小声议论不敢举手）师：（继续鼓励）试着把这个命题改写成“如果，那么”的形式（思考后有不少学生举手）生：如果一个点是线段垂直平分线上的点，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等师：很好结合命题的条件及你的图形，已知怎么写？生：已知：直线MNAB，垂足是点C，AC=BC，P是MN上的任意一点师：很规范，尤其注意点明：P是MN上的任意一点师：结合命题的结论，求证怎么写？生：求证：PA=PB师：修改自己的错误分析怎么进行证明？ 生：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等，用SAS证明PCAPCB师：请列举出全等的三个条件生：AC=BC，PCAPCB90，PC=PC师：回答很好谁能口头证明？（学生纷纷举手，提问一4号学生）生：因为MNAB，所以PCAPCB90. 又因为ACBC，PCPC，所以PCAPCB(SAS)所以PAPB(全等三角形的对应边相等)师：回答很棒，请坐师：现在，我们不仅直观认识到，而且证明了线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等结合黑板的图请思考怎样用几何语言叙述此定理？（生思考，小声交流后举手）生：因为MNAB，AC=BC，P是MN上的任意一点所以PA=PB师：很好，还有不同叙述吗？生：因为MN是AB的垂直平分线，P在MN上所以PA=PB师：可以，还有不同意见吗？生：因为PCAB，AC=BC所以PA=PB师：很简洁，好请在P24页定理旁做好笔记，并结合图形理解记忆生：（迅速做笔记，小声记忆） 【探究二】线段垂直平分线性质定理的应用1） 如图，在ABC中，AB = AC，AED = 50，ED是线段AB的垂直平分线，则EBC的度数为 。2)如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC= 5cm，BC= 4cm，求CDB的周长.1） 2）以课件的形式出示这两道题目，安排学生快速的完成练习，在规定时间内做得比较快的同学可以在本小组内观察一下，给需要帮助的同学提供帮助.然后，师提问学生回到问题，重点是说明自己的想法.【探究三】线段垂直平分线的逆定理 师：你能写出上面这个定理的逆命题吗?（独立思考，小组内交流，教师引导回顾定理的“如果那么”形式）生：逆命题是如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等师：很完整谁能把它描述得更简捷?（学生思考）生：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上师：（老师板书到黑板上）回答很好，请坐那么这个逆定理是真命题吗？为什么？ （学生先思考，再交流）生：是真命题师：（引导）如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明请说出已知、求证生：已知：如图，线段AB，PAPB求证：P点在AB 的垂直平分线上（师生共同画出图形,思考交流怎样证明）师：（引导）欲证P点在AB 的垂直平分线上，可以过P做一条直线，证这条直线垂直于AB且平分AB，因为过P的直线无数条，所以我们可以过P做一条直线垂直于AB，或平分AB，再证生：（积极讨论，相互讲解，有了证法的小组举手） 师：（巡视发现问题及时指导，几分钟后提问）请说出你们的想法生1：可过点P作已知线段AB的垂线PC因为PAPB，PCPC. 所以用HL定理可以证出RtPACRtPBC 所以ACBC， 即P点在AB的垂直平分线上师：可以吗？生：可以师：有不同证法的请说说生2：可以取AB的中点C，过PC作直线 因为APBP，PC=PC，ACCB， 所以用SSS公理证出APCBPC 根据全等三角形的对应角相等可以得到PCA=PCB又因为PCA+PCB二180， 所以PCA=PCB90，即PCAB 所以P点在AB的垂直平分线上师：听明白了吗？生：明白了师：说的很严谨，很好还有不同证法吗？ 生3：还可以过P点作APB的角平分线.因为APBP，1=2，PCPC. 所以用SAS公理证出APCBPC 再根据全等三角形的对应角相等，对应边相等可以得到ACBC，PCAPCB 又因为PCA+PCB180，所以PCAPCB90 所以P点在线段AB的垂直平分线上师：分析很详细明白吗？生：明白师：老师有一个问题：过P作线段AB的垂直平分线PC可以吗？谁能帮帮老师？生：（很兴奋，积极讨论）生1：不可以生2：可以生1：（到黑板上画图，讲解）如图(1)，PDAB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB所以过P作AB的垂直平分线是不可能实现的师：很精彩！这里作辅助线时不会即垂直又平分，只能满足其中一个条件从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理谁能用几何语言叙述出这个逆定理？（思考片刻，积极举手）生：因为PA=PB，所以点P在线段的垂直平分线师：在课本P27页定理旁边做好笔记结合图形理解记忆生：（做笔记，小声记忆）【探究四】用尺规作线段的垂直平分线师:（边演示图边讲讲作图有关的数学史）大家知道这些图是用什么工具作出来的吗？（资料：古希腊以来，平面几何中的作图工具习惯上限用直尺和圆规两种.其中，直尺假定直而且长，但上面无任何刻度，圆规则假定其两腿足够长并能开闭自如.作图工具的这种限制，最先大概是恩诺皮德斯(Oenopides，约公元前465年)提出的，以后又经过柏拉图(Plato，公元前427347)大力提倡.柏拉图非常重视数学，强调学习几何对训练逻辑思维能力的特殊作用，主张对作图工具要有限制，反对使用其他机械工具作图.之后，欧几里得(Euclid，约公元前330275)又把它总结在几何原本一书中.于是，限用尺规进行作图就成为古希腊几何学的金科玉律.）师:其实同学们也能用圆规、直尺画出优美的图形，下面咱们就一起来学用尺规作线段的垂直平分线。（分析：要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线）类似于证明题要写出已知、求证和证明，作图题也要根据条件写出已知、求作和作法，下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据教师示范，请学生同时练习已知：线段AB(如图)求作：线段AB的垂直平分线作法：1分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D2作直线CD直线CD就是线段AB的垂直平分线师: （强调）画弧时半径要大于AB的长；因为两点确定一条直线，所以必须要四弧两交点根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗？请与同伴进行交流生:从作法的第一步可知ACBC，ADBDC、D都在AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)CD就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)师:我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点【探究五】线段垂直平分线的逆定理的应用如图，AB表示两个仓库，要在A,B一侧的河边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？（课本29页）（三）当堂检测，评价反思（评）：师：请看黑板回顾本节课的内容，你有什么收获？生1：学会了证明线段垂直平分线的性质定理，清楚了它的几何语言推理.生2：我还知道了线段垂直平分线的逆定理及证明，会了几何语言推理.生3：我知道了尺规作线段垂直平分线为什么正确.生4：我知道这节课学习的两个定理是互逆定理.师：同学们的收获不小，老师很高兴下面考考你，完成P25页随堂练习1、2，习题2、3，每题各有两名学生板演展示（教师巡视，对特别学困生个别指导）.生：（安静的，很投入的思考，书写）师：小组内交流你的疑问，同组的小组长到黑板给同学批阅.生：（讲解，讨论，改错）师：下面请同学们快速的完成当堂检测题.当堂检测（课件呈现）1、如图，在ABC中，C = 90，DE是AB的垂直平分线。1）则BD = ；2）若B = 40，则BAC = ，DAB = ，DAC = ，CDA = ；3）若AC= 4， BC = 5，则DA + DC = ，ACD的周长为 。如图，ABC中，AB = AC，A = 40，DE为AB的中垂线，则1 = ，C = ，3 = ，2 = ；若ABC的周长为16cm，BC = 4cm，则AC = ，BCE的周长为 2、如图,在ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,BCE的周长等于50,求BC的长. （六）布置作业，巩固成果(练)课堂作业：习题1.6 第五题家庭作业：助学上本节题目（七）板书设计1.3线段的垂直平分线（1）一、线段垂直平分线的性质定理定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。证明过程二、线段垂直平分线的判定定理定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。证明过程三、用尺规作线段的垂直（八）教学反思线段的垂直平分线的性质定理及逆定理，是几何中的重要定理，也是一条重要轨迹，在几何证明、计算、作图中都有重要作用。上完本节课后，通过其他老师交流，自己静心反思，我主要有以下体会：一课前的认真准备是上好一节课的关键作为一名教师要想上好一节课，其实并不是一件容易的事。要想给学生“一碗水”，自己必须具有“一桶水”，所以教师课前准备时必须认真钻研教材，领悟教材内涵，并能分析出这节课在整册教材中的地位、作用及前后关系，这样才能有的放矢。但是由于我在上这一节课的时候，连着前面轴对称的性质的内容一起上了，从而导致内容太多，重难点没有很好的突出。二在教学活动过程整个教学过程中，没有很好体现以学生发展为本的精神。虽然从问题的导入，性质，判定的引出都是由学生动手操作讨论得出，但是由于我在安排这节课的时候，准备要讲得内容太多，导致很多时候都是我一个人在讲学生在听，学生动手写练习的时间就变得很少。再者这节课的重点是线段垂直平分线的性质和判定，我也没有很好的突出重难点。虽然有很多不足之处，我觉得有些地方还是可取的，如：1、注重数学思想方法的渗透如在学生通过得出命题“线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等”时，让学生结合图形写出已知、求证，这正是数形结合思想的渗透。2、注重学生几何语言的训练在学生总结出定理和逆定理后，引导学生根据文字结合图形写出它相应的几何语言，这为学生做证明题时的推理打下基础。本节课得到的定理为：线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等。用几何语言表示为：MN是AB的垂直平分线，点P为MN上的任意一点（已知） PA=PB（线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等） 通过这个几何语言的表述又可以强调今后已知线段的垂直平分线存在，证线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等时，直接用这个定理即可，不用再通过证三角形全等而得出，防止学生课后应用时走弯路。逆命题为：和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。用几何语言表示为： PA=PB （已知） 点P在AB的垂直平分线MN上（和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）3、整堂课课堂效果较好，学生参与的积极性较高，课堂气氛较好。学生对问题的探索、研究反应较好，接受、吸收情况也比较好。通过本节课的学习，基础较好的学生不仅会使用线段的垂直平分线的定理及逆定理解决问题，而且在探索发现问题能力方面有很大的进步。三.改进 针对这一节课中出现的问题，我做出了如下的反思：首先在备课的时候，一定要抓准重难点，安排好一节课的内容，抓准一节课的时间；其次一定要体现以学生为主的原则，要讲练结合，给学生足够多的时间做练习，充分理解接受新的知识。在今后的教学中，我一定不断不改进自己的不足之处。
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