用平移坐标法探究平行四边形的存在问题

用平移坐标法探究平行四边形的存在问题存在性问题是近年来各地中考的热点，其图形复杂，不确定因素较多，对学生的知识运用分析能力要求较高，有一定的难度.为此借用简单的平移坐标法来探究平行四边形的存在 性问题.1. 平移坐标法的探究1.1课本习题题目：(人教版数学七年级(下)习题 6. 2第1题) 如图1,三架飞机P、Q、R保持编队飞行，分别写出他们的坐标.30秒后，飞机P飞到P 的位置，飞机 Q、R飞到了什么位置？分别写出这三架飞机新位置的坐标.分析：三架飞机保持编队飞行，实际上是三架飞机保持相对位置不变，相当于厶PQR作了整体的平移，因此当飞机P平移到P 的位置时，飞机 Q和R与飞机P进行了相同的平移变换.解：由图中看出四个点坐标分别为P (-1,1)、Q( -3,1)、R( -1,-1 )、P(4,3),点P (-1,1)平移到点P(4,3)，横坐标加了 5，纵坐标加了 2，所以Q-Q、RtR的坐标变化也一样， 从而Q点的坐标为(2, 3)、R点的坐标为(4,1).本题中求出点 Q、R坐标依据的是平移的性质：对一个图形进行平移，图形上所有点 的横、纵坐标都要相应发生相同的变化1.2模型探究如图2,点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点.(1) 画出以A、B、C三点为顶点的平行四边形.(2)若A、B、C三点的坐标分别为x1, y1、X2,y2、X3,y3，写出第四个顶点D的坐标.解：（1）如图3,过A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线，则以 A、B、C三点为顶点的平行四边形有三个：以BC为对角线，有 口CABDi；以AC为对角线，有口ABCD2；以AB为对角线，有口 ACBD3.（2）在口 CABD1中，线段AC平移到BD1，因AB横坐标增加（X?X1 ）、纵坐标增加（y2y1）,根据坐标平移的性质得D1（X3X2为,y yy1）.同理得 D2(X3捲X2, yy1y )、D3(x?人 沁,y %y).由已知的三点坐标可根据结论：以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标.姑且称之为 平移坐标法2.平移坐标法的运用平移坐标法能否用来探究平行四边形的存在性问题呢？2.1.三个定点，一个动点，探究平行四边形的存在性例1（2009烟台）如图4,抛物线y ax2 bx 3与x轴交于A, B两点，与y轴交于C点，且经过点（2 ,3a）,对称轴是直线 x 1，顶点是 M .（1）求抛物线对应的函数表达式;（2）经过C,M两点作直线与x轴交于点N ,在抛物线上是否存在这样的点 P ,使以点P、A、C、N为顶点的四边形为平行四边形？解：（1）抛物线的函数表达式为y x2 2x 3 .N ( 3,0).（2）由已知条件易探究得A、C、N三点坐标为A（ 1,0）、 C（0, 3）、如图5，由平移的F面探讨以三点A、C、N为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标.为对角线，第四个顶点坐标为F2 2, 3 ；以AN为对角线，第四个顶点坐标为F3 4,3 .将 其分别代入抛物线 y x2 2x 3中检验，其中只有 F2 2, 3在抛物线上.点评：本题已知三个定点坐标的具体数值，可以根据坐标平移的性质直接写出第四个顶点的坐标.值得注意的是，若没有约定由三点构成的三条线段中哪条为边或对角线，则三种情况都必须考虑.例2(2009湖州)已知抛物线 y X2 2x a ( a 0 )与y轴相交于点 A，顶点1为M 直线yx a与y轴相交于C点，与直线 AM相交于点N .2填空：试用含a的代数式分别表示点 M与N的坐标，则M , N ；2如图6,在抛物线y x 2x a (a0)上是否存在一点 P，使得以P, A, C, N为顶点的四边形是平行四边形?解：(1) M 1,4-a,3(2)由已知条件易探究得A、C、N 三点坐标为 A 0,a、c o, a、N41a, a33F面探讨以A、C、N三点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标，如图7.473若以CN为对角线，第四个顶点为 R 4a, 7 a ，代入解析式得 a 3，即3381 72,8若以AC为对角线，第四个顶点为41F2- a, - a ，代入解析式得33a15，即8I 55巳,;28若以AN为对角线，第四个顶点为-5P3 - a, - a ，代入解析式得 a15 0,不合题3 38意，无解.1 75 5所以在抛物线上存在点R -丄 和P2 -, 5 ，使得以P, A, C, N为顶2 82 8点的四边形是平行四边形.点评：本题已知三个定点坐标，虽不是具体数值(含字母a)，但依然可以根据坐标平移的性质直接写出第四个顶点的坐标.看上去此法冗长， 三种情况必须逐一探究， 但思路简单，解题严谨有些解法通过分析图形认为以AN为对角线显然不可能，其实对于学生来说这个“显然”并不显然抛物线的走向和弯曲程度学生是难以判断的，更何况这是一个 含字母系数的二次函数这样讨论更严谨！2.2两个定点、两个动点，探究平行四边形的存在性。例3 (2009抚顺) 已知：如图8，关于x的抛物线y ax2 x c(a 0)与x轴交于点A( 2,0)、点B(6,0)，与y轴交于点C (1) 求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2) 在抛物线上有一点 D，使四边形 ABDC为等腰梯形，写出点 D的坐标，并求出 直线AD的解析式；(3) 在(2)中的直线 AD交抛物线的对称轴于点 M，抛物线上有一动点 P , x轴上有一动点Q .是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？解：(1 )抛物线解析式为y1 2x x 3，顶点坐标是(2, 4)4(2)点D坐标为(4,3),1直线AD的解析式为yx 1 .形的第四个顶点坐标.(图9).若以MQ为对角线，第四个顶点坐标为R m4,2，代入y1 2 x4x3得m 22.2.若以AM为对角线，第四个顶点坐标为F2m,2，代入y1 2 x4x3得m 22 2若以AQ为对角线，第四个顶点坐标为R m4, 2，代入y1 2 xx3得4图9(3)直线y-x 1与抛物线对称轴x22的交点坐标为M (2, 2).假设x轴上动点Q的坐标为 m,0F面探讨以 A、M、Q三点为顶点的平行四边m 6 2、6.存在满足条件的点有四个：Q/2J2 2,0) ,Q2( 2 2 2, 0) ,Q3(6 2.6,0),Q4(6 2 .6,0)点评：先假设一个动点的坐标，将其看成一个定点，按照平移的性质，写出第四个顶点的坐标.再由另一动点应满足的条件，求出相应的坐标.上述例题中总有两个点在同一坐标轴上，尚可通过平移和旋转来探究平行四边形的存在问题.如果题目中没有两点在同一坐标轴上，难么，难以通过分析图形的相互位置关系来探究平行四边形的存在问题然而平移坐标法将是解决这一问题的一个法宝.(见附件)1例4 (2009南平)如图12，已知抛物线：y1x2 2x2(1 )求抛物线y1的顶点坐标.(2) 将y1向右平移2个单位，再向上平移 1个单位，得到抛物线 y，求 y的解析式.(3) 抛物线 y的顶点为P，x轴上有一动点 M，在y1、y这两条抛物线上是否存在点N， 使0、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形?P解：（1） yi的顶点坐标是（2, 2）(2) y2 =r2 4x 5P 4,3（3）假设x轴上动点M坐标为m,0 .有已知条件易得下面探究以0、P、M三点为顶点（0P为边）的平行四边形第四个顶点N的坐标.如图13,因为P为抛物线y1、y2的最高点，若以PM为对角线，有 PN/ 0M ,则点N 不可能在抛物线 yi或y2上，故不可能存在满足条件的点；若以 0M为对角线，用平移坐标 法看出点N坐标为m 4, 3 .若点N在抛物线y1上，可得： m 4 2 ,?0或m 4 2 .10 ；若点N在抛物线y2上，可得：m 4 4 2、3或m 4 4 3 .存在满足条件的 N点有四个：N1（2 、荷，3）、N2（2 .10, 3）、N3（4 2 3, 3）、2（4 2、3, 3）.点评：本题中N点可以在抛物线y1上，也可以在抛物线 y2上，运动的范围较大，学 生难以探索，用平移坐标法不必分析复杂的图形， 降低了分析的难度， 体现了平移坐标法强 大的解题功效. 本题中因确定了以 OP为一边，所以只有两种情况需要探究.3 平移坐标法的思考平移坐标法不是探讨和论证线段的相等、三角形的全等, 而是用动态的观点看待几何图形一一把平行四边形看成是由一条线段平移而成，用数的运算来描述图形的变化一一用坐标表示平移，其本质是用几何变换去认识几何图形，用代数方法来解决几何问题，体现的 是解析几何的思想、数形结合的思想、几何变换的思想.平移坐标法的思路： 先由题目条件探索三点的坐标 （若只有两个定点， 可设一个动点的坐标）.再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标.最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性.平移坐标法的特点：不会遗漏.平移坐标法回避了对复杂图形的相互关系的分析；不需证明.平移坐标法直接写出第四个点的坐标，跨越了复杂的推理过程， 回避了繁琐的证明；不限条件.平移坐标法适用范围广，无论定点在什么位置、无论动点在哪几条曲线 上、在什么曲线上，都可以探索，真正是以不变应万变.由课本习题偶然发现可以通过平移直接写出点的坐标，于是笔者进一步研究发现，新课程把“平面直角坐标系”前移，同时新增了“用坐标表示平移”的内容，实际就是要用代数 的方法研究几何问题， 加强数形之间的联系， 突出数形结合的思想. 这启发我们在日常的教 学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结 合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才能从教材简单的例、 习题中获得解决问题的新方法、新思想，才能引导学生重视教材，同时培养学生探索的能力和创新的意识.附：（2007 浙江义乌）如图10,抛物线y x2 2x 3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线I与抛物线交于 A、C两点，其中C点的横坐标为2.（1 ）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点 F，使得以A、C、F、G这样四点为顶1 2yX2 1上是否存在点F，使得以Q、C、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形？2一 1 2解题思路： 设F点坐标为（a, a 1）,那么转化为三个定点问题，三个定点是Q2(0, 1) , C (2, -3), F (a,1 2 22 a 1),直接写出点G坐标，后代入y x 2x 3中，就可求出a,从而知F点坐标。1也可设G点坐标，再写出 F点坐标，代入yx21也2可。