第16讲多边形与平行四边形

第16讲 多边形与平行四边形考试目标锁定考纲要求备考指津1. 了解多边形的有关概念，并能解决简单的多边形问题.2. 掌握多边形的内角和定理，并会进行有关的计算与证 明.3. 掌握平行四边形的概念及有关性质和判定，并能进行 计算和证明.4. 了解镶嵌的概念，会判断几种正多边形能否进行镶嵌中考命题多以选择题、填空 题的形式出现，主要考查多边形 的边角关系、多边形内角和、平 面镶嵌及平行四边形的定义、性 质和判定.另外，平行四边形常 和三角形、圆、函数结合起来命 题，考查学生的综合运用能力.基础自主导学考点考点一多边形的有关概念及性质1. 多边形的概念定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.2. 性质：n边形的内角和为(n 2) 180 ,外角和为360 考点二平面图形的密铺(镶嵌)1. 密铺的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌. 2. 平面图形的密铺： 正三角形、正方形、正六边形都可以单独使用密铺平面，部分正 多边形的组合也可以密铺.考点三平行四边形的定义和性质1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2. 性质：(1) 平行四边形的对边相等且平行.(2) 平行四边形的对角相 (3) 平行四边形的对角线互相平分.(4) 平行四边形是中心对称图形.考点四平行四边形的判定1. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.2. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.4. 对角线相互平分的四边形是平行四边形.5. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.自主01. 若一个正多边形的一个内角是120 则这个正多边形的边数是 ().A. 9 B. 8 C. 6 D. 42 .一批相同的正六边形地砖铺满地面的图案中，每个顶点处的正六边形的个数为( ).A . 2个 B. 3个 C . 4个 D . 6个3. 如图，在 YABCD中，已知 AD = 5 cm，AB= 3 cm，AE平分/ BAD交BC边于点E， 则EC等于().ADA . 1 cm B . 2 cm C. 3 cm D. 4 cm4. 如图所示，YABCD中，E, F分别是AB, CD的中点.求证：（ AFDCEB;（2）四边形AECF是平行四边形.规律-方法探索一、多边形的内角和【例1】 某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）.8360 ,不随边数的改变而改变.设这个多边形的边数是x,由；解得x = 8.A. 5 B. 6 C. 7 D.解析：多边形的外角和是题意，得（x 2） 180 3X 360答案：D 乜总结要记住多边形的内角和公式，当已知边数时，可求内角和；当已知内角和时，可求边数.特别地，正多边形的每个外角等于6.二、平面的密铺【例2】 梅园中学实验室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地 砖镶嵌地面，在每个顶点的周围正方形、正三角形地砖的块数可以分别是（）.A. 2,2 B. 2,3 C. 1,2 D. 2,1解析：平面镶嵌时同一顶点处各角的和为360正方形内角90等边三角形内角60则 2X 90 + 3 X 60 = 360 答案：B! 总结对于给定的某种正多边形能否密铺，关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内 角特点，当围绕一点拼在一起时，几个多边形的内角加在一起是否恰好组成一个周角.三、平行四边形的性质【例3】如图，在平行四边形 ABCD中，/ BAD = 32分别以BC, CD为边向外作 BCE 和厶 DCF，使 BE = BC, DF = DC ,Z EBC = Z CDF，延长 AB 交边 EC 于点 H，点 H 在 E, C两点之间，连接 AE, AF.求证： ABEBA FDA ;(2)当AE丄AF时，求/ EBH的度数.(1) 证明：在平行四边形 ABCD中，AB = DC .又 DF = DC , AB = DF.同理 EB = AD .在平行四边形 ABCD中，/ ABC = Z ADC ,又/ EBC = Z CDF , / ABE = Z ADF . ABE FDA .(2) 解：/ ABE FDA ,AEB = Z DAF .vZ EBH = Z AEB + Z EAB, Z EBH = Z DAF + Z EAB = 90 32 = 58 Z EBH = 58J 总结1.利用平行四边形的性质可证明线段或角相等，或求角的度数.2利用平行四边形的性质常把平行四边形问题转化为三角形问题，通过证明三角形全 等而解决.变式训练如图，在YABCD中，点E, F是对角线AC上两点，且AE=CF.求证：Z EBF= ZFDE.四、平行四边形的判定【例4】 如图，在YABCD中，Z DAB = 60点E, F分别在CD , AB的延长线上, 且 AE = AD , CF = CB.(1) 求证：四边形 AFCE是平行四边形；若去掉已知条件的“Z DAB = 60 ，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过 程；若不成立，请说明理由.解：证明：v四边形ABCD是平行四边形， DC / AB , Z DCB = Z DAB = 60 Z ADE = Z CBF = 60/ AE= AD , CF = CB, AED , CFB 是正三角形.在 YABCD 中，AD = BC, ED = BF. ED + DC = BF + AB，即 EC= AF.又 v DC/ AB,即卩 EC / AF ,四边形AFCE是平行四边形.(2) 上述结论还成立.证明：v四边形ABCD是平行四边形， DC / AB , Z DCB = Z DAB , AD = BC, DC 綊 AB. Z ADE = Z CBF./ AE= AD , CF = CB,/ AED = Z ADE , / CFB = Z CBF./ AED = Z CF B .又/ AD = BC, ADE CBF. ED = FB ./ DC = AB , ED + DC = FB + AB，即 EC = FA. EC綊AF. 四边形EAFC是平行四边形.! 总结平行四边形的判定方法：（1）如果已知一组边平行，常考虑证另一组边平行或者证这组边相等；（2）如果已知一组边相等，常考虑证另一组边相等或者证这组边平行；（3）如果已知条件与对角线有关，常考虑证对角线互相平分.知能优化训练1. （2012江苏无锡）若一个多边形的内角和为 1 080，则这个多边形的边数为（）.A. 6 B. 7 C. 8 D. 9形ABCD的面积是24 cm2,则AC长是G,D. 11AB= AD，若四边2. （2011 安徽）如图，D 是厶 ABC 内一点，BD 丄 CD , AD = 6, BD = 4, CD = 3, E, F , ）.cm.B40 则这个多边形的边数是4. （2012贵州铜仁）一个多边形每一个外角都等于5. （2012广东湛江）如图，在平行四边形 ABCD中，E, F分别在AD , BC边上，且AE =CF.求证：（1） ABECDF ;（2）四边形BFDE是平行四边形. 模 ID 31 .如图，/ 1, / 2, / 3, 则/ AED的度数是（）./ 4是五边形 ABCDE的外角，且/ 1 = Z 2 =Z 3=Z 4= 70A . 110 B. 108 2.如图，在YABCD中,AC平分/ DAB , AB = 3,贝U YABCD的周长为（）.DcBC. 12 D. 15A . 6 B . 93.如图，YABCD的对角线相交于点 O,且ABM BC,过O点作OE丄AC交BC于E, 如果 ABE的周长为b，那么YABCD的周长是（）.A. b B. 1.5bC. 2b D . 3b4. 如图，在 YABCD中，AB= 6, AD = 9,Z BAD的平分线交 BC于点E,交DC的延 长线于点F , BG丄AE，垂足为G, BG= 4.2，则 CEF的周长为（）.A. 8 B. 9.5 C. 10 D. 11.55. 在 YABCD 中，若/ A :/ B = 2 : 1, AD = 20 cm , AB= 16 cm,则 Y ABCD 的面积为6. 如图，在 YABCD中，AC与BD相交于点 0,点E是边长BC的中点，AB = 4,则 0E的长是.B E C7. 如图，在 ABC中，AB= BC = 12 cm , F是AB边上一点，过点 F作FE / BC交AC 于点E,过点E作ED / AB交BC于点D，则四边形BDEF的周长是.&如图，在 YABCD中，AE丄BC于E, AE = EB = EC= a，且a是一元二次方程 x2 +2x 3= 0的根，贝U YABCD的周长为 .DB EC9.如图，在 ABC中，/ ACB = 90点E为AB中点，连接 CE,过点E作ED丄BC 于点D，在DE的延长线上取一点 F，使AF = CE.求证：四边形 ACEF是平行四边形.B参考答案基础自主导学自主测试1. C 2.B 3.B 4证明：（1）在?ABCD 中，AD = CB , AB = CD，/D = ZB.又 vE, F 分 别是AB, CD的中点，1 1DF = 2CD, BE = 2AB.DF = BE. z.AFD也/CEB.（2）在?ABCD 中，AB = CD , AB /CD，由（1）得 BE = DF ,AE綊CF.四边形AECF是平行四边形.规律方法探究变式训练证明：连接BD交AC于0点如图所示.四边形ABCD是平行四边形，OA = 0C , 0B = 0D.又VAE= CF ,.0E= OF.四边形BEDF是平行四边形， zEBF = ZFDE .知能优化训练中考回顾1. C 2.D3.4-34.95证明：四边形ABCD是平行四边形，AB = CD , ZA=ZC.在ABE与CDF中，AB = CD ,zT=ZC,AE = CF ,z.ABE也zCDF(SAS).(2) 四边形ABCD是平行四边形，AD = BC 且 AD /BC.AE = CF, zDE = BF.又DE /BF，四边形BFDE是平行四边形. 模拟预测1. D 2.C3.C4.A5. 160 . 3 cm26.27.248.4+ 2 29.证明：vzACB = 90 AE = BE,.CE = AE = BE. ED 丄 BC，/BED = ZCED .AF = CE,zAF = AE. /-zF = ZFEA. zFEA = ZBED，/ZF = ZCED.CE /FA./四边形ACEF是平行四边形.