插值方法(7-8学时).ppt

,重庆大学数理学院,数 值 分 析,第四讲,主讲教师： 谭 宏,1教学内容： 曲线拟合的概念、直线拟合、多项式拟合、正则方程组。 2重点难点： 拟合曲线的类型、正则方程组的建立、拟合多项式的求解。 3教学目标： 了解曲线拟合的概念、对给出的一组数据点，能判断其拟合曲线的类型、建立相应的正则方程组、求得拟合多项式,1、9 曲线拟合的最小二乘法,在实际应用中，常常需要给一组观测数据,设计一条连续曲线去描绘曲线 y=f(x) 的近似图象。由于观测数据往往具有不准确性、数据量大、能够基本反映因变量随自变量变化的形态等特点，实际应用中并不刻意要求曲线经过所有的观测点，而是在符合数据分布特征的某类曲线中，依某种标准选择一条“最好”的曲线作为观测数据的连续模型。即曲线拟合问题。,如果不是要求近似函数过所有的数据点,而是要求它反映原函数整体的变化趋势,可得到更简单更适用的近似函数,这样的方法称为数据拟合.数据拟合最常用的近似标准是最小二乘法则：,1、直线拟合,假设给定的数据点 的分布大致成一直线，虽然我们不能要求所做的拟合直线,严格地通过所有的数据点 ，但总希望它尽可能地从所给数据点附近通过，即要求近似成立,由于数据点数目通常远远大于待定系数的个数，因此，拟合直线的构造实际上是求解超定方程（矛盾）方程组的代数问题。,设,表示按拟合直线 y=a+bx 求得的近似值，它一般不同于观测值,两者之差,称为残差,显然，残差的大小是衡量拟合好坏的重要标志。,具体地说，构造拟合曲线可以采用下列三种准则之一：,（1）使残差的最大绝对值为最小：,（2）使残差的绝对值之和为最小：,（3）使残差的平方和为最小：,（1）、（2）两种由于含有绝值对运算不便于实际应用。,基于准则（3）来选取拟合曲线的方法称为曲线拟合的最小二乘法,直线拟合问题可用数学语言描述如下：,问题10 对于给定的数据点 求作一次式 y=a+bx，使总误差,为最小。,要使 Q 达到极值，参数a，b 应满足,即,由此可得：,解线性方程组（42）既可得到a，b,例：炼钢是个氧化脱碳的过程，钢液含碳量的多少直接影响 冶炼时间的长短，下表是某平炉的生产记录，表中 i 是次数， 为全部炉料熔化完毕时的钢液的含碳量， 为熔毕至出钢所许的冶炼时间。,解：,设所求的拟合直线为 y=a+bx,由（42）式可得关于a，b的线性方程组,解此线性方程组得：a=-60.9392，b=1.5138,故拟合直线为：,2、多项式拟合,多项式拟合,是最流行的数据处理方法之一.它常用于把观测数据(离散的数据)归纳总结为经验公式(连续的函数),以利于进一步的推演分析或应用.,问题11 对于给定的数据点 求作m（mN）次多项式,使总误差,为最小。,由于Q可以看成是关于 的多元函数，故上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的极值问题。,令,得：,既,这个关于系数 的线性方程组称为正则方程组,证：,用反证法，若不然，则对应的齐次方程组,定理7 正则方程组（43）有唯一解,有非零解,而,从而有,所以,而,因此有：,即拟合多项式,当Nm时，由代数学基本定理知必有,从而,故与正则方程组解不唯一矛盾，定理得证。,有N个零点,定理8 设 为正则方程（43）的解， 则 必为问题11的解。,证：,任给一组值,有,利用正则方程组（43）可以知道，该项应该为零,因而有,所以，只有,使得残差的平方和最小,故,必为问题11的解。,多项式拟合的一般方法可归纳为：,(1)根据具体问题，确定拟合多项式的次数n；（描点）,(2)计算正则方程组的系数和右端项,(3)写出正则方程组,(4)解正则方程组,求出a0,a1,an；,(5)写出拟合多项式Pn(x),例：试求一个多项式拟合下列数据。,解：,如图所示，它们大体分布在一条直线上，故考虑用线性函数拟合这些数据。,设所求的拟合直线为 y=a+bx,由（42）式,可得关于a，b的线性方程组,解此方程组得：a=1.11，b=1.95,故所求拟合直线为：,例：试求一个多项式拟合下列数据。,如图所示，它们大体分布在一条抛物线附近，故考虑用二次多项式函数拟合这些数据。,解：,由（43）式,设所求的拟合多项式为,得其正则方程组为：,解此方程组得：,所以，所求拟合多项式为：,3、观察数据的修匀,提高拟合多项式的次数不一定能改善逼近的效果，实际应用中常用不同的低次多项式去拟合不同的分段，这种方法称为分段拟合,对于给出的一组观察数据，不可避免地会产生随机干扰和误 差，分段拟合的曲线在两段曲线交接的地方，也可能产生不够光 滑的现象。因此，我们希望，根据数据分布的总趋势去剔除观察 数据中的偶然误差，这就是所谓数据修匀（或称数据平滑）,考察相邻的五个节点,假设节点是等距的，节点间距为h，记,有,数据如下表,设用二项式作拟合,则其正则方程组为,解出a，b，c，即可得出在节点,处的五点二次修匀公式,设函数f(x)在区间a ，b上有定义，且已知在一组互异点 上的函数 值 ，寻求一个简单的函数p(x)，使满足 （1.1） 并用p(x)近似代替f(x)，上述问题称为插值问题。,插值问题,小 结,拉格朗日插值基函数,拉格朗日插值公式：,拉格朗日插值多项式存在并且唯一，并有估计式,n阶差商可以递推定义为：,n阶差商的性质：,n阶差商关于节点是对称的,差商与导数的关系,差商表的建立与使用,牛顿插值公式,有限差分公式,差分的定义,差分表,正则方程组,问题11的解唯一,(1)根据具体问题，确定拟合多项式的次数n；（描点）,(2)计算正则方程组的系数和右端项,(3)写出正规方程组,(4)解正规方程组,求出a0,a1,an；,(5)写出拟合多项式Pn(x),多项式拟合的一般方法可归纳为：,例：令,写出,的一次多项式,插值，并估计误差。,解：,记,则,以,为插值节点的一次多项式为,因为,所以,故,作业,P54 6、11、12、13、16、17、31、36、37,