概率论与数理统计习题.ppt

概率论与数理统计典型习题讲解,中国人民大学 统计学院 李因果 ,第一章 随机事件与概率,1.2 随机事件的概率,1.3 古典概型与几何概型,一. 古典概型,1.4 条件概率,例2 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,设A-从盒中随机取到一只红球. B-从盒中随机取到一只新球.,A,B,例3 盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放 入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、 第3、4次取得红球的概率。,解：设Ai为第i次取球时取到白球，则,例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,B,例6 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,由Bayes公式:,二. 有限个事件的独立性,第二章 随机变量的分布与数字特征, 2.1 随机变量及其分布,一. 随机变量的概念,由第一章可知: 随机试验具有: (1)结果的不确定性; (2)结果往往表现为数量形式,或可以“数量化”.,分布函数的性质,1、单调不减性：若x1x2, 则F(x1)F(x2); 2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且,3、右连续性：对任意实数x，,反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是 分布函数的充分必要性质。,一般地，对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为,离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应值的概率; 反之,如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型.,X,P,四. 离散型随机变量的分布函数,五. 连续型随机变量及其概率密度,1. 均匀分布 若Xf(x),则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 XU(a, b),对任意实数c, d (acdb)，都有,2. 指数分布 若 X,则称X服从参数为0的指数分布。 其分布函数为,例 .电子元件的寿命X(年）服从参数为0.5的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？,解, 2.2 随机变量的数字特征一. 离散型随机变量的数字特征,二. 连续型随机变量的数学期望,连续型随机变量函数的密度函数,1、一般方法 若Xf(x), - x +, Y=g(X)为随机变量X 的函数，则可先求Y的分布函数 FY (y) PYyP g(X) y,然后再求Y的密度函数,此法也叫“ 分布函数法”,2、公式法一般地 若XfX(x), y=g(x)是单调可导函数，则,注：1 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以 上公式推求Y的密度函数。 2 注意定义域的选择,其中h(y)为yg(x)的反函数.,例 设XU(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a0),解: Y=ax+b关于x严单,反函数为,故,而,故,设随机变量X服从0，2均匀分布，求Y=sin(X)的概率密度。,注3 若XfX(x) ，y=g(x)关于X分段严格单调，且在第i个单调区间上，反函数为hi(y),则Y=g(X）的概率密度为,EX,四. 数学期望的性质,方差与标准差的定义,方差的算术平方根 称为标准差,方差的计算式: D(X)=E(X2)-E(X)2,说明:,1.切贝谢夫不等式成立的条件是:,存在.,2.切贝谢夫不等式给出了随机变量的离差的绝 对值 与其方差DX的关系.,方差DX越小,随机变量X与其期望EX的,离差也越小.,EX的代表性强., 2.3 常用的离散型分布,四. 二项分布,对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.,当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p达到最大值；,( x 表示不超过 x 的最大整数),二项分布,请看演示, 2.4 常见的连续型分布,一. 均匀分布,二. 指数分布,指数分布常用于描述各种“寿命”.,三. 正态分布,决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点, 2.5 随机变量的函数的分布,例如:已知离散型随机变量X的概率分布为:,X,P,0.1 0.3 0.4 0.2,Y=2X+3,-5 -3 -1 1,P,0.1 0.3 0.4 0.2,0 1 4,P 0.3 0.5 0.2,例1,例1,例1,例1,例1,例2,例2,例2,例2,例3,例3,例3,例4,例5 （2010数学一、三）,例6 （2010数学一、三）,例7 （2010数学一、三）,例8（2010数学一、三）,例8 （2010数学一、三）,例8（2010数学一、三）,例9（2009数学一、三）,例10（2009数学一、三）,例11（2009数学一、三）,例11（2009数学一、三）,例12（2009数学一、三）,例12（2009数学一、三）,例13（2009数学一、三）,例13（2009数学一、三）,例14（2008数学一、三）,例15（2008数学一、三）,例15（2008数学一、三）,例15（2008数学一、三）,例15（2008数学一、三）,例16（2007数学一、三）,例16（2007数学一、三）,例16（2007数学一、三）,