流体运动学和动力学基础复习习题

第二章 流体运动学和动力学基础,本章作业：习题1,3,6,8,9,10,11,13,15, 流场(流场及其描述方法,迹线、流线和流管) 流体微团运动的分析(散度、旋度和速度位) 连续方程和流函数(连续方程、流函数) 旋涡运动(涡线、涡管及旋涡强度、环量诱导速度及相关定理) 欧拉运动方程及其积分(欧拉运动方程、伯努利方程) 流体力学中的动量定理(一般原理及例子),2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第2页 共112页,2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法 1、Lagrange方法（拉格朗日方法，质点法） 着眼于流场中每一个运动着的流体质点，跟踪观察每一个流体质点的运动轨迹以及运动参数（速度、压强、加速度等）随时间的变化，然后综合所有流体质点的运动，得到整个流场的运动规律。 2、Euler方法 观察者相对于坐标系是固定不动的，着眼于不同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。,2.1 描述流体运动的方法,一个速度场,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第3页 共112页,2.1 描述流体运动的方法,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第4页 共112页,右边第1项： 表示速度对时间的偏导数，是由流场的非定常性引起的，称为局部加速度，或当地加速度； 右边其他项： 表示因流体质点位置迁移引起的加速度，称为迁移加速度，位变加速度，或对流加速度。 二者的合成称为全加速度，或随体加速度。,加速度描述,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第5页 共112页,算子 表示随流体质点运动的导数，称随体导数。除速度外，对流场中其它变量也成立。如对于压强p，有,推广,流线: 流场中的瞬时光滑曲线，在曲线上流体质点的速度方向与各该点的切线方向重合。 迹线： 流体质点在一定时间内所经过的所有空间点的集合。 场、定常与非定常 流管、流面、流量：,流量是单位时间内穿过指定截面的流体量（体积、质量或重量），例如穿过上述流管中任意截面A的体积流量 、质量流量 和重量流量 可分别表为,其中， 是局部速度向量， 是密度， 是微元面积 的法线向量,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第7页 共112页,或,2.1.2 流线微分方程,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第8页 共112页,流体微团平动速度： 流体微团线变形速率： 流体微团角变形速率（剪切变形速率）： 流体微团旋转角速度：, 2.2.1 流体微团的基本运动形式,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第9页 共112页,按速度泰勒级数展开有, 2.2.2 流体微团速度分解定理,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第10页 共112页, 2.2.3 散度及其意义,散度在流体力学里表示流体微团的相对体积膨胀率（单位时间单位体积的增长量）。,三个相互垂直方向的线变形率之和在向量分析中称为速度V的散度，符号为divV，即,在密度不变的不可压流动里，微团的体积不变，其速度的散度必为零。,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第11页 共112页,一个流场，如果各处的都等于零，这样的流场称为无旋流场，其流动称为无旋流。否则为有旋流场，其流动称有旋流。根据数学上Stokes定律, 2.2.4 旋度和位函数,流体微团绕自身轴的旋转角速度的三个分量为x，y，x，合角速度可用矢量表示为 这个值在向量分析里记为（1/2）rotV，称为V的旋度。 即有旋度为旋转角速度的二倍：,如果是无涡流场，那么其旋度为零，由此得到 说明速度场的曲线积分与路径无关，仅是坐标位置的函数。,。,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第12页 共112页,；,；, 2.2.4 旋度和位函数,在数学上表示下列微分代表某个函数的全微分，即,上式中这个函数称为速度势函数或速度位，其存在的充分必要条件是无涡流动。 速度势函数仅是坐标位置和时间的函数。即 速度势函数与速度分量的关系为 说明速度势函数在某个方向的偏导数等于速度矢量在那个方向的分量。,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第13页 共112页,微分形式的连续方程：,对于不可压缩流体，连续方程变为, 2.3.1 连续方程,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第14页 共112页,结论：流体在运动时，应服从质量守恒定律，这条定理在空气动力学中的数学表达式称为连续方程或质量方程.,对于定常不可压流体的极坐标方程,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第15页 共112页,2.3.2 流函数,又,故有,(2-23),(2-24),(2-25),速度位与流函数关系：等位线族与流线族正交,(x,y)称为流函数,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第16页 共112页,欧拉方程微分形式（牛顿第二定律的描述）(教材更直观)：,上三式即为笛卡儿坐标系下理想流体运动的欧拉方程（1755年）。表明了流体质点的加速度等于质量力减去压力梯度。写成另一种形式，为, 2.3.2 Euler运动微分方程组,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第17页 共112页,如果上式右边项为零，有,这样在曲线上，下式成立。,这就是Bernoulli积分，或伯努利方程。上式表明，对于理想正压流体的定常流动，在质量力有势条件下，单位体积流体微团沿着这条特定曲线s的势能、压能和动能之和不变，即总机械能不变。（1738年）, 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义,Bernoulli积分成立的条件，是,（1）沿着任意一条流线，Bernoulli积分成立。这是因为，在此情况下,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第18页 共112页,现任取一体积，边界表面积为S0的确定系统作为考察对象。 （1）连续方程（质量守恒） 表示，在系统内不存在源和汇的情况下，系统的质量不随时间变化。 （2）动量方程 表示：系统的动量对时间的变化率等于外界作用于系统上的所有外力的合力。 （3）动量矩方程 表示：系统对某点的动量矩对时间的变化率等于外界作用于系统上所有外力对同一点力矩之和。, 2.4.2 Lagrange型积分方程,附 2.4 流体运动的积分方程,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第19页 共112页,由动量积分方程，可得,积分形式动量方程的一个重要方面在于人们往往不需要知道控制体中的流动细节，只需要知道控制面边界处的流动属性来求作用力，这个作用力可以包含摩擦力的影响在内，例如用上述方程来求物体受到的阻力等。,上述方程常常用于定常流动的气体中，用于定常流时上式中的当地变化率一项等于零，用于气体则质量力可以忽略。,附 2.4 流体运动的积分方程,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第20页 共112页,2.6 旋涡运动-要点,2.6.1 涡线、涡管及旋涡强度,涡线式充满运动流体的旋涡场中的一系列曲线，它具有这样的性质：在某瞬时该曲线上微团的旋转角速度向量（旋转轴线方向按右手定则）都和曲线相切，如图,其微分方程为,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第21页 共112页,2.6.3 直线涡的诱导速度及毕奥萨瓦定律,我们把流场中由旋涡存在而产生的速度称为诱导速度。其大小可由毕奥萨瓦公式来确定。 在不可压流动中，其数学表达式为,或,式中dL为涡线上的微段长度； r 为流场中任意点至微段的距离； 为微段dL与r之间的夹角； 为旋涡强度。 d的方向垂直于ONM平面，见图,2.6 旋涡运动-要点,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第22页 共112页,2.6.4 海姆霍兹旋涡定理,定理一 在同一瞬间沿旋涡线或涡管的旋涡强度不变。 定理二 涡线不能在流线中中断；只能在流体边界上中断或形成 定理三 在理想流中，涡的强度不随时间变化，既不会增强也不会,削弱或消失。,闭合圈。,2.6 旋涡运动-要点,2020年9月7日4时8分,沈阳航空工业学院飞行器设计教研室,第23页 共112页,本章基本要求 了解两种描述流场的方法的区别与特点，重点掌握欧拉法下加速度的表达和意义 掌握流体微团的几种变形和运动及其数学表达，掌握流体微团的运动分解与刚体运动的异同； 了解系统分析方法与控制体分析方法的区别与联系； 基本方程是本章重点，积分形式方程要掌握质量方程和动量方程的表达和意义，并会用它们解决实际工程问题；微分形式方程要重点掌握连续方程和欧拉方程的表达和意义；了解微元控制体分析方法；掌握伯努利方程的表达、意义、条件和应用； 重点需要掌握的概念：流线、流量、散度、旋度、位函数、流函数、环量与涡的表达、意义及其相互之间的关系；,