椭球面上的测量计算

椭球面上的测量计算,控制测量,第 7 章,椭球面上的测量计算,本章主要内容,控制测量,7.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系 7.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 7.3 椭球面上的几种曲率半径 7.4 椭球面上的弧长计算 7.5 大地线 7.6 将地面观测值归算至椭球面 7.7 大地测量主题计算概述,控制测量,7.3椭球面上的几种曲率半径,为在椭球面上进行控制测量计算，须了解椭球面上有关曲线的性质。 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面；法截面与椭球面的交线叫法截弧（线）。 包含椭球面一点的法线可作无数个法截面，相应有无数个法截弧。椭球面上法截线的曲率半径不同于球面上的法截线（大圆弧）曲率半径（都等于圆球的半径），而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。为此先研究子午线及卯酉线的曲率半径。,控制测量,一、子午圈曲率半径（M）,在子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK=dS，相应地有(子午面直角坐标系)坐标增量dx，点n是微分弧dS的曲率中心，则线段Dn及Kn即是子午圈曲率半径，用M表示。,控制测量,由平面曲线的曲率半径定义公式可得： 由微分三角形DKE可得：,（dx取负号，是因为在子午面直角坐标系中，点的横坐标随纬度B的增大而缩小）,控制测量,两式相代得,控制测量,则曲率半径为，,则,又,或,控制测量,M与B有关，是纬度B的函数，随B的增大而增大，变化规律如下表：,控制测量,二、卯酉圈曲率半径 （N）,过椭球面上一点的法线，可作无数个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截所形成的闭合圈称之为卯酉圈。PEE即为过P点的卯酉圈，半径用N表示,过P点作以O为中心的平行圈PHK的切线PT，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于子午面，故PT也是卯酉圈在P点处的切线，即PT垂直于Pn。所以PT是平行圈PHK及卯酉圈在P点处的公切线。,控制测量,由麦尼尔定理知，假设通过曲面上一点引两条截弧，一条为法截弧、一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘于两截弧平面夹角的余弦。 即： 平行圈平面与卯酉圈平面之 间的夹角即为大地纬度B,平 行圈半径r就等于P点的横坐 标x，即：,由此可得卯酉圈半径为：,控制测量,由图看出,也就是说，卯酉圈曲率半径恰好等于椭球面和短轴之间的一段法线的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位于椭球的旋转轴上。,控制测量,N与B有关，是纬度B的函数,且随B的增大而增大，变化规律如下表：,控制测量,上述M和N是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，在微分几何中统称为主曲率半径。,控制测量,三、任意法截弧的曲率半径,子午法截弧是南北方向，其方位角为00或1800； 卯酉法截弧是东西方向，其方位角为900或2700，这两个法截弧在P点上是正交的。,控制测量,根据欧拉公式，由曲面上任意一点主曲率半径计算该点任意方位角A的法截弧的曲率半径的公式为： 上式分子分母同除M，并顾及 则有,控制测量,上式即为任意方向为A的法截弧的曲率半径的计算公式。,四、平均曲率半径,在测量工作中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把 椭球面当作球面来处理，为此，就要推求该球面的曲率半径 平均曲率半径（就是过椭球面上一点的一切法截弧(0-2）， 当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限， 用R表示)。推导得其最终公式为,控制测量,上式即平均曲率半径的计算公式，表明，曲面任意一点的平均曲率半径点是该点上主曲率半径的几何平均值。,平均曲率半径：指经过曲面任意一点所有可能方向上的法 截线曲率半径RA的算术平均值。,五、M、N、R的关系,椭球面上某一点的M、N、R值均是自该点起沿法线向内量取，其长度通常是不相等的，由前面公式可知它们有如下关系：NRM 只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：,控制测量,7.4 椭球面上的弧长计算,一、子午线弧长计算公式 二、平行圈弧长公式 三、子午线弧长和平行圈弧长变化的比较,控制测量,子午椭圆的一半，其端点与极点相重合。而赤道又把子午线分成对称的两部分，因此，我们只推导从赤道开始到已知纬度B子午线弧长的计算公式。 取子午线上某微分弧,要计算从赤道开始到任意纬度B的子午线弧长,必须求出下列积分值:,将积分因子按二项式定理展开为级数形式,一、子午线弧长计算公式,令P点纬度为B,P点纬度为B+dB,P点的 子午圈曲率半径为M,于是有,为积分方便,将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数.则由于:,控制测量,于是有:,其中：,经积分，进行整理后得子午线弧长计算式：,克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式：,控制测量,1975年国际椭球子午线弧长计算公式：,二、平行圈弧长公式,旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径r就是圆上任意一点的子午面直角坐标x,控制测量,如果平行圈上有两点，其经差,，可写出平行圈弧长公式,式中：,三、子午线弧长和平行圈弧长变化的比较,控制测量,从表中可以看出，单位纬差的子午线弧长随B的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随B的增大而急剧缩短。同时还知，子午弧长10约为110KM，1约为1.8KM，1约为30m；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着B的增大它们的差值愈来愈大。,控制测量,7.5 大地线,控制测量,？,两点间的最短距离？,一、相对法截线,设在椭球面上任取两点A、B，其纬度为 。过A、B两点分别作法线与短轴交于 点，与赤道面分别交于 。现证明 将不重合。,控制测量,顾及,，上式又可写成,故当时 时， ，故 是不重的。,控制测量,因此 （1）椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低； （2）纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点； （3）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的法线将在空间交错而不相交。因此当两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在。,现假定经纬仪的纵轴同A，B两点的法线 重合（忽略垂线偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面就是法截面。用A点照准B点，则照准面 同椭球面的截线为 ，叫做A点的正法截线，或B点的反法截线； 同理，由B点照准A点，则照准面 同椭球面的截线为 叫做B点的正法截线，或A点的反法截线。,控制测量,因法线,由上式可知，当 ，说明，某点的纬度愈高，其法线与短轴的交点愈低，即法截线 偏上，而 偏下。由此，现将AB方向在不同象限时，正反法截线的关系表示为图：,控制测量,当A、B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。 通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A、B、C三点处所测得的角度（各点上正法截线之夹角）将不能构成闭合三角形。为克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。,控制测量,二、大地线的定义和性质,椭球面上两点间的最短程曲线叫做大地线。 在微分几何中，大地线（又称测地线）另有这样的定义“大地线上每点的密切面（无限接近三个点构成的平面）都包含该点的曲线法线”亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”。因曲面法线互不相交，故大地线是一条空间的曲面曲线。,控制测量,假如在椭球模型表面A、B两点之间，画出相对法截线，然后在A、B两点上各插一个大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之间没有磨擦力。则橡皮筋形成一条曲线，恰好位于相对法截线之间，这就是一条大地线，由于橡皮筋处于拉力之下，故它实际上是两点的最短线。,不在同一子午圈或不在同一平行圈上的两点的正反法截线是不重合的，它们之间的夹角 ，在一等三角测量中可达千分之四秒，可见此时是不容忽视的。大地线是两点间唯一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角为,控制测量,在一等三角测量中， 数值可达千分之一二秒，可见在一等或相当于一等三角测量精度的工程三角测量中是不可忽视的。 大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度差异可以忽略不计。 根据大地线的性质可知，在椭球面上进行测量计算时，应以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等应归算到相应大地线的方向、距离。,三、大地线的微分方程和克莱劳方程,设P为大地线上任一点，其经度为L，纬度为B，大地方位角为A,当大地线增长dS到P1点时，则上述各量相应变化L+dl,B+dB,A+dA。 PP1P2为一椭球面直角三角形，由于该三角形无限小，可视为平面三角形,控制测量,子午线弧长,平行圈弧长,又,再过P和P1分别作子午线的切线，由于P和P1无限接近，故可视为两者的切线同交于短轴的延长线上的T点。由PT和P1T所决定的平面可视为通过P和P1点切平面，同时由于P2也无限接近于P1，所以可视为在切平面上，因此由小扇形TPP2可得,控制测量,大地线微分方程,克莱劳方程：,控制测量,代入,得：,顾及,两边积分得：,或,式中C也叫大地线常数，该式即为克莱劳方程（克莱洛定理）。它表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。克莱洛方程在椭球大地测量学中有重要意义，它是经典的大地主题解算的基础。由克莱洛方程可以写出：,利用这个关系式可以检查纬度与方位角计算的正确性,7.6 将地面观测值归算到椭球面,参考椭球面是测量计算的基准面，而野外的各种测量工作都是在地面上进行的，测站点和照准点一般都超过参考椭球面一定高度，观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线间存在着垂线偏差，因此，也就不能直接在地面上处理观测成果，而应将地面观测的元素（方向和距离等）归算至椭球面上。 在归算中有两条基本要求 （1）以椭球面的法线为基准； （2）将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。,控制测量,一、将地面观测的水平方向归算至椭球面-三差改正,将水平方向归算至椭球面，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项为三差改正。,控制测量,1.垂线偏差改正,地面上所有水平方向的观测都是以垂线为根据的，而在椭球面上则要求以该点的法线为依据。因此在每个三角点上，把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为垂线偏差改正。,垂线偏差改正同经纬仪垂直轴改正相似，以测站A为中心作出单位半径的辅助球，u是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别为,M是地面观测目标m在球面上的投影。,控制测量,若 垂直面内，无论观测方向以法线为准或以垂线为准，照准面都是一个，而无需作垂线偏差改正，因此我们把AO方向作为参考方向。若,垂直面内，如果以垂线,为准，照准m点得,则得OR。由此可见，垂线偏差对水平方向的影响是,，这个量就是,垂线偏差的计算公式为：,；如果以法线,AZ为准，,是测站点上的垂线偏差在子午圈和卯酉圈上的分量它们可在测区的垂线偏差分量图中内差取得,垂线偏差改正的数值主要与测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）有关。,控制测量,2.标高差改正,照准点高度引起的改正。 不在同一子午面或不在同一平行圈上的两点的法线是不共面的。因此，当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正称标高差改正。,控制测量,分别为A点及B点的法线，B点法线与椭球面的交点为b。,A为测站点，若测站点观测值已加垂线偏差改正，则可认为垂线与法线一致。这时测站点在椭球面上或者高出椭球面某一高度，对水平方向是没有影响的。这是因为测站点法线不变，则通过某一照准点只能有一个法截面，为此我们设A在椭球面上。设照准点高出椭球面的高程为,通常因为 不在同一平面内，故在A点照准B点得出的法截线是Ab而不是Ab，因而产生了Ab同Ab方向的差异。按归算的要求，地面各点都应沿自己法线方向投影到椭球面上，即需要的是Ab方向值而不是Ab方向值，因此需加入标高差改正数,以便将Ab方向改到Ab方向。,控制测量,标高差改正的计算公式为：,式中,为照准点大地纬度，,为测站点至照准点的大地方位角；,为照准点高出椭球面的高程。,控制测量,是照准点纬度,实用中为计算方便，设,相应的子午圈曲率半径。,在测量计算用表集（之一）中有表列数值，以照准点的高程,（单位米）和照准点纬度,由上可知，标高差改正主要与照准点的高程有关。经此项改正后，便将地面观测的水平方向值归化为椭球面上相应的法截弧方向。,为引数查取。,3.截面差改正,在椭球面上，纬度不同的两点由于其法线不共面，所以在对向观测时相对法截弧不重合，应当用两点间的大地线代替相对法截弧。这样将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正，用 表示。 AaB是A至B的法截弧，它在A点处的大地方位角为 ，ASB是AB间的大地线，它在A点的大地方位角是 ， 与A1之差就是截面差改正。截面差改正计算公式为：,控制测量,式中S为AB间大地线长度，,为测站点纬度,相对应的卯酉圈曲率半径。,控制测量,令,在测量计算用表集（之一）中有表列数值，以S（单位公里）和,为引数查取。由上式可知，截面差改正主要与测站点至照准点间的距离S有关。,二 将地面观测的长度归算到椭球面,根据测边使用仪器的不同，地面长度的归算可分为两种： 一是基线尺量距的归算； 二是电磁波测距的归算。,控制测量,（一）、基线尺量距的归算 将基线尺测量求得的长度加入尺段倾斜改正后，可认为它是基 线平均水准面上的长度值，用 表示。,而我们所求的是椭球面上的大地线的长度s，因此产生了长度归算问题。,1. 垂线偏差对长度归算的影响,由于垂线偏差的存在，使得垂线和法线不一致，水准面不平行于椭球面。为此在长度归算中应首先消除这种影响。,假设垂线偏差沿基线是线性变化的，则垂线偏差u对长度归算的影响式是：,控制测量,式中,和,为在基线端点1和2处垂线偏差在基线方向上的分量；,为各个测段测量的高差总和；H1和H2为基线端点1和2处的大地高。从式中可以看出，垂线偏差对基线长度归算的影响，主要与垂线偏差分量u及基线端点的大地高差 有关，其数值一般比较小，此项改正是否需要应结合测区及计算精度要求的实际情况进行具体分析。,2. 高程对长度归算的影响,假设基线两端点已经过垂线偏差改正，则基线平均水准面平行于椭球体面。此时由于水准面离开椭球体面一定距离，也引起长度归算的改正。 AB为平均高程水准面上的基线长度，以S0表示，现要计算其在椭球面上的长度S。,控制测量,由此得椭球面上的长度为,即基线端点平均大地高程；R为基线方向法截线曲率半径,式中,控制测量,如果将上式展开级数,取至二次项，则有,由此式可得由高程引起的基线归化改正数公式,可见此项改正数主要与基线的平均高程,及长度有关。,顾及以上两式，则有地面基线长度归算到椭球面上长度的公式为,二、电磁波测距的归算,电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点间的直线斜距，也应将它归算到参考椭球面上。大地点 的大地高分别为 ，其间用电磁波测距仪测得的斜距为D，现要求大地点在椭球面上沿法线的投影 间的大地线的长度S。,在椭球面上两点间大地线长度与相应法截线长度之差是极微小的，故可忽略不计，这样可将两点间的法截线长度认为是该两点间的大地线长度； 两点间的法截线长度与半径等于其起始点曲率半径的圆弧长相差也很微小(如当S=640KM时，之差等于0.3米；S=200KM时，之差等于0.005m)。 由于工程测量中边长一般为几公里，最长也不过十几公里，因而，这种差异又可忽略不计。,因此所求的大地线长度可以认为是半径,相应的圆弧长。则在平面三角形 中，由余弦定理得：,控制测量,又,由以上两式得,化简得：,控制测量,上式按反正弦函数展开级数并舍去五次项得：,电磁波测距的归算公式,式中大地高H由两项组成：一是正常高，一是高程异常。,为保证S的计算精度不低于,级，当D10KM时，高差,大地高H本身的精度应达5m级，而平均曲率半径,达1公里即可。,的精度必须达0.1m；当D10KM时，必达1m。,对上式进一步简化如下,控制测量,注：上式右端第二项是由于控制点之高差引起的倾斜改正的主项。经过此项改正，测线已变成平距； 第三项是由于平均测线高出参考椭球面而引起的投影改正，经过此项改正后，测线已变为弦线； 第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。,控制测量,式中第一项显然是经高差改化后的平距。,将以上三式比较得两点间的弦长为：,经过以上各项改正的计算，即将地面上用电磁波测距仪测得的两点间的斜距化算到参考椭球面上。,7.7 大地测量主题解算概述,一、一般概念 大地元素:椭球面上点的大地经度L、大地纬度B、两点间的大地线长度S及其正、反大地方位角 。 大地主题解算（有正算和反算）:知道某些大地元素推求另一些大地元素。 已知P1点的大地坐标（ ），P1至P2点的大地线长S及其大地方位角 ，计算P2点的大地坐标（ ）和大地线S在P2点的反方位角 ，这类问题叫做大地主题正解。,控制测量,如果已知P1和P2点的大地坐标（ ）和（ ），计算P1至P2点的大地线长S及其正、反大地方位角 和 ，这类问题叫做大地主题反解。 大地主题正解和反解（大地测量主题），从解析意义来讲，就是研究大地极坐标与大地坐标间的相互变换。,控制测量,大地测量主题的用途：天文大地测量中计算一等点的经纬度；空间技术和航空、航海、国防等科学技术。 大地测量主题分类： 以解算距离分为-短距离（400KM以内）、中距离（400-1000KM）、长距离（1000KM以上）； 以解算方法分为-直接解法和间接解法两种。,控制测量,一百多年以来，许多测量学者提出了种类繁多的解算公式和方法，目前已有70余种，对于这些解法的理论基础，大致可归纳为以下五类： 1、以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础,控制测量,基本思想：将这三个方程通过将大地线长度作为独立变量，将四个变量B、L、A、S紧紧联系在一起。将微分方程在P1和P2点间的大地弧长积分。 特点:解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，因此只适用较短的距离,2、以白赛尔大地投影为准,基本思想：找出大地线上某点的数值与椭球面上大圆弧相应点的数值之间的关系，从而找到从椭球面向球面过渡的必要公式，完成大地主题的解算。 解算步骤： 1）按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现椭球面向球面的过渡； 2）在球面上解算大地问题； 3）按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实现从圆球向椭球的过渡。 特点：即适用于短距离解算，也适用于长距离解算。,控制测量,3、利用地图投影理论解算大地问题,采用椭球面对球面的正形投影和等距离投影以及椭球面对平面的正形投影，都可以解算大地主题，这类解法受距离的限制，只在某些特殊情况下才比较有利。,控制测量,4、对大地线微分方程进行数值积分的解法,优点：该法易于编程，使用于任意长度距离。 缺点：随着距离的增加，计算工作量大，且精度降低，而在近极地区，这种方法无能为力。,5、依据大地线外的其他线为基础,弦线、法截线 利用弦线解决大地主题实质是三维大地测量问题,二、勒让德级数式,是大地主题正算的一组基本公式，仅适用于边长短于30km的情况,控制测量,本章小结,确定椭球所需参数 椭球面上的常用坐标系及其定义方法 法截面、法截线 子午线曲率半径、卯酉圈曲率半径、平均曲率半径及三者的关系 大地线 将地面观测值归算至椭球面的基本要求及步骤 大地主题解算基本概念,控制测量,