极限函数与和函数的性质

,9.4 函数项级数的和函数的性质,一、连续性,定理4.1(函数列的极限函数的连续性),定理4.2(函数项级数的和函数的连续性),分析：,定理4.1的证明：,由于,定理得证.,同理可证定理4.2.,例1,(1),证明：,(2),解：,所以,从而，,例2.内闭一致收敛,证明：,证明：,由于,2.Dini定理：,证明：,若不然，,矛盾！,定理,定理（级数形式）,二、逐项积分,1.函数列：,定理4.3,极限与积分交换,证明：,由定理4.1知，,于是有，,定理4.3与定理4.3的连续条件改为可积， 结论仍然成立.,注：,定理4.4,基本要求:,一致收敛+可积,可逐项积分,2.级数形式：,例3,解:,三、逐项可导,1.函数列形式：,定理4.5,(2),证明：,由，,由，,由，则有,由积分换序定理：,定理4.5表明：在一致收敛的条件下，极限运算与 求导运算的顺序可以交换.,定理4.6,2.函数项级数形式：,即有：,逐项可导,注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.,例如，级数,逐项求导后得级数,所以原级数不可以逐项求导,例4,解：,同理：,则由M判别法知，,例5.,证明：,所以不能直接用定理4.2.,内闭一致收敛,其他阶导数的连续性类似可证.,四、小结,3. 内闭一致收敛性.,1. 一致收敛的函数列的极限函数的积分性质；,2. 一致收敛的函数项级数的和函数的积分性质；,作业,习题10.5 1(1)(3), 2 ,4, 5, 6, 8(1),