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期中复习 2011.4,一、多元函数微分学及其应用,1、会求二元函数的极限,例2,例1,2、能利用一元函数的求导法则计算多元函数的一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分。,例1.（1）计算z = x2y+y3的全微分； （2）计算z = x2y+y3在点(2，1)处的全微分；,解 (1),(2),解,3、多元函数连续、偏导数存在、可微、偏导 数连续的关系,4、会求多元复合函数(特别抽象函数)的一阶，二阶偏导数,例1,解,5、 隐函数的偏导数（单个方程的情况）,解,6会求空间曲线的切线、法平面及空间曲面的切平面、法线,例1 求曲线 在 处的切线与法平面方程.,解:,切线方程,法平面方程,解,令,切平面方程,法线方程,7.会计算可微函数在一点沿某个方向的方向导数与函数在某一点的梯度,解,解,令,故,方向余弦为,故,例3 求函数f(x，y，z)=x2+y2+z2在点M0(1，1，2)处的梯度,解： grad f=2x，2y，2z，,grad f (1，1，2)=2，2，4,8. 会求多元函数极值,例1 求函数f (x，y)= x3y3+3x2+3y29x的极值,解 先解方程组,求得驻点为(1，0),(1，2),(3，0),(3,2).,在点（1，0）处，ACB2 = 126 0，又 A0,fxx(x，y) = 6x+6，fxy(x，y)=0，fyy(x，y)=6y+6,所以函数在（1，0）处有极小值f（1，0）=5；,同理：f（1,2）,f（-3,1）不是极值；,函数在（3，2）处有极大值31,9. 会用拉格朗日乘数法解决多元函数的条件极值问题。,例1 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积。,解：设长方体的三棱长为x，y，z，则问题就是在条件,V = xyz (x0，y0，z0)的最大值。,构成辅助函数,求其对x，y，z的偏导数，并使之为零，得到,F(x，y，z)= xyz+(2xy+2yz+2xza2)，,再与（1）联立求解。 因x，y，z都不为零，所以由（2）可得,由以上两式解得 x = y = z。,将此代入（1）式，便得,这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。,最大体积为,1、 会把二重积分化成直角坐标，极坐标下的二次 积分,会交换积分次序,二、重积分,例1 交换以下积分的积分顺序,2、 会适当选取坐标系来计算二重积分.,例1,解,3、 会把三重积分化成直角坐标，柱坐标、球面坐标下的三次 积分,会用截面法、柱面坐标、球面坐标来计算三重积分。,而Dxy可用不等式组,于是,用截面法。,用柱面坐标。,解,交线的投影为:,4、会利用二重积分、三重积分计算空间曲面的面积与空间立体的体积。,例1平面x+2y+3z8=0被柱面,三、 曲线积分,1、 掌握两类曲线积分的直接计算。,例1. 设 C 是下列曲线,所围区域的边界, 求,解: 分段积分,例2. 计算,其中L为,(1) 抛物线,(2) 抛物线,(3) 有向折线,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,2、 掌握格林公式及其应用。,例2,例3,取适当的l：x2+y2=r2，使其位于圆L内，取逆时针方向,则,3、 掌握曲线积分与路径无关的条件，会选择适当的路径来计算曲线积分,解：直接化为定积分需先求OAB的方程，此法不好。,例1 设L是以O（0，0）为起点，经A（0，1）到点B（1，2）的一段圆弧。试计算曲线积分,例2,
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