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一元微积分学,大 学 数 学（一）,第五十六讲,脚本编写：,教案制作：,微分方程的基本概念,设所求曲线的方程为yy(x).,例1. 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M(x, y)处的切线的斜率为2x, 求这曲线的方程.,根据导数的几何意义, 可知未知函数yy(x)应满足,解:,此外, 未知函数yy(x)还应满足下列条件:,由(1)式得，,其中C是任意常数.,(1),把条件“x1时, y2”代入(3)式, 得 212C, C1.,把C1代入(3)式, 得所求曲线方程: yx21.,(3),下页,微分方程,常微分方程与偏微分方程 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.,下页,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,例2. 列车在平直线路上以20m/s的速度行驶; 当制动时列车获得加速度0.4m/s2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?,解:,设列车制动后t秒所行驶的距离为s(t)米. 根据题意未知函数ss(t)应满足: s=-0.4. (1) s|t0=0, s|t0=20. (2) 由(1)式，积分一次, 得 s=-0.4tC1; (3) 再积分一次, 得 s0.2t2 C1tC2, (4) 这里C1, C2都是任意常数.,把条件s|t0=20代入(3)式得 20C1; 把条件s|t0=0代入(4)式得 0C2. 把C1, C2的值代入(3)及(4)式得 v0.4t20, (5) s0.2t220t. (6) 在(5)式中令v0, 得t=50(s). 再把t50代入(6), 得 s0.25022050500(m).,下页,提示:,微分方程,常微分方程与偏微分方程 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.,下页,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶.,提示:,这是一阶微分方程,这是二阶微分方程,几个基本概念,下页,几个基本概念,提示:,微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解.,在例1中, 微分方程y=2x的解有y=x2C和y=x21.,在例2中, 微分方程s=-0.4的解有 s0.2t2 C1tC2, s0.2t2 20tC2和s0.2t220t.,下页,求所给函数的导数:,解:,这表明函数 满足所给方程, 因此所给函数是所给方程的解.,下页,例2,由上式得:,下页,若一个函数中出现的两个常数不能通过运算合并为一个,常数，那么这两个常数是独立的，,中的,是独立的，,而,中的,可以合并为一个常数，,所以这里的 不独立,例如,常数互相独立,几个基本概念,提示:,微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解.,通解 如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.,特解 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解叫特解.,在例1中, 微分方程y=2x的解有y=x2C和y=x21.,在例2中, 微分方程s=-0.4的解有 s0.2t2 C1tC2, s0.2t2 20tC2和s0.2t220t.,下页,解,通解,特解,其它,共同点：,不同点：,几个基本概念,提示:,初始条件 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件.,对于一阶微分方程, 通常用于确定任意常数的条件是,对于二阶微分方程, 通常用于确定任意常数的条件是,例1是求微分方程满足初始条件y|x12的解.,例2是求微分方程s=-0.4满足初始条件s|t0=0, s|t0=20的解.,下页,y=2x,几个基本概念,初始条件 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件.,初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.,问题, 记为,提示:,例1是求微分方程满足初始条件y|x12的解.,例2是求微分方程s=-0.4满足初始条件s|t0=0, s|t0=20的解.,下页,y=2x,解,微分方程,初始条件,通解,特解,作业P165,1. (1)(3)(5),3.,2.,5., 一元微积分学,大 学 数 学（一）,脚本编写：,教案制作：,可分离变量的微分方程,9.2 可分离变量的微分方程,上页,下页,铃,结束,返回,首页,第二节 可分离变量的一阶微分方程,为微分方程的通解.,两边积分,为可分离变量的方程.,称,则,下页,例2. 求微分方程 的通解.,方程可化为,解:,分离变量得,两边积分得,于是原方程的通解为,解,或解,例2,( C1为任意常数 ),例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y0 ),作业P172,1. (1)(2)(3)(4),3. (1),2. (1)(2)(5), 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第五十七讲,脚本编写：,教案制作：,一阶线性微分方程,一、线性方程,二、伯努利方程,9.3 一阶线性微分方程,上页,下页,铃,结束,返回,首页,第四节 一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法:,使用分离变量法,2. 线性非齐次方程,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,积分得,所以一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程的通解,非齐次方程特解,解,例1,例7 求方程,解 将方程改写为,的通解.,先求齐次方程,的通解.,分离变量, 得,两端积分并整理, 得齐次方程的通解,用常数变易法求非齐次线性方程的通解，,故原方程的通解为：y = (ex + c) (x+1)2 ,将 y与y代入非齐次方程, 并整理, 得,两端积分, 得,例1,求方程,的通解.,解:,对应的齐次方程为:,分离变量得,即,或,所以齐次方程的通解为:,用常数变易法求非齐次线性方程的通解，,代入方程,得,即,所以,因此非齐次方程的通解为:,二、伯努利方程,伯努利方程,下列方程中哪些是伯努利方程？,讨论:,提示:,下页,方程为线性微分方程.,解法:,二、伯努利(Bernoulli)方程,求出通解后, 将 代入即得原方程的通解 .,代入上式得,例3.,以y2除方程的两端, 得,解:,令zy1, 则上述方程成为,这是一个线性方程, 它的通解为,以y1代z , 得所求方程的通解为,下页,例3,求,的通解.,解: 此方程是伯努利方程:,方程两边同乘 得,即,令,得,变量分离,常数变易,变量代换,练习,1991年考研数学一, 3分,解:,可分离变量方程,两边积分,由原关系式,得,得,分离变量,练习,两边对,关于 求导,例8.,解：,求方程,的通解.,将 与 互换,得方程,齐次方程,分离变量得,所以齐次方程的通解为:,用常数变易法求非齐次线性方程 的通解，,得,的通解为:,例8.,解：,求方程,的通解.,将 与 互换,得方程,的通解为:,将 与 换回,得方程,的通解为:,作业P177,2. (1)(3)(5),1. (2)(4)(6),3.,5.,6.,7.,8.(1), 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第五十八讲,脚本编写：,教案制作：,二阶线性微分方程,一、二阶线性微分方程举例,二、线性微分方程的解的结构,9.4 二阶线性微分方程,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、二阶线性微分方程举例,二阶线性微分方程,二阶线性微分方程的一般形式为,若方程右端f(x)0时, 方程称为齐次的, 否则称为非齐次的.,或 y+P(x)y+Q(x)y=f(x).,下页,二、线性微分方程的解的结构,C1y1+C2y2+P(x)C1y1+C2y2+Q(x)C1y1+C2y2,000.,=C1y1+P(x)y1+Q(x)y1C2y2+P(x)y2+Q(x)y2,方程y+P(x)y+Q(x)y=0的任意两个解y1(x)与y2(x)的线性组合C1y1(x)+C2y2(x)也是它的解, 其中C1、C2是任意常数.,简要证明:,这是因为,定理1(齐次方程的解的叠加原理),下页,举例： 已知cos x与sin x都是方程y+y=0的解. 方程的通解为 y=C1cos xC2sin x.,将其代入方程,故有,特征根,二阶,设解,得,特征方程,常系数,齐次,线性方程,(characteristic equation),(characteristic root),二、二阶常系数齐次线性方程解法,其中r为待定常数.,两个 特解,有两个不相等的实根,特征方程,得齐次方程的通解为,设解,其中r为待定常数.,有两个相等的实根,一特解为,化简得,设,取,则,知,得齐次方程的通解为,其中r为待定常数.,设解,特征方程,有一对共轭复根,为了得到实数形式的解,重新组合,的两个复数形式的解.,其中r为待定常数.,得齐次方程的通解为,设解,特征方程,小结,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,的通解的不同形式.,特征根r的不同情况决定了方程,解,特 征 根,通 解 形 式,解,特 征 根,通 解 形 式,称为,解,特征方程,故所求通解为,例,由常系数齐次线性方程的特征方程的根,确定其通解的方法,特征方程法.,特征根,解,特征方程,故所求通解为,例,特征根,特 征 根,通 解 形 式,例,解初值问题,解,特征方程,特征根,所以方程的通解为,(二重根),特解,作业P188,1. (2)(4), 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第五十九讲,脚本编写：,教案制作：,二阶常系数线性非齐次微分方程,二、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法,回顾,一阶线性微分方程,对应齐次方程的通解,非齐次方程特解,(1),提示:,我们把方程y+P(x)y+Q(x)y=0叫做与非齐次方程 y+P(x)y+Q(x)y=f(x) 对应的齐次方程.,设y*(x)是二阶非齐次线性方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解, Y(x)是对应的齐次方程的通解, 那么 y=Y(x)+y*(x) 是二阶非齐次线性微分方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的通解.,定理3(非齐次方程的通解的结构),举例:,已知Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y+y=0的通解, y*=x2-2是非齐次方程y+y=x2的一个特解, 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2 是非齐次方程y+y=x2的通解.,下页,证明提示:,Y(x)+y*(x)+P(x)Y(x)+y*(x)+Q(x)Y(x)+y*(x) = Y +P(x)Y+Q(x)Yy*+P(x)y*+Q(x)y* 0f(x)f(x).,设y*(x)是二阶非齐次线性方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解, Y(x)是对应的齐次方程的通解, 那么 y=Y(x)+y*(x) 是二阶非齐次线性微分方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的通解.,定理3(非齐次方程的通解的结构),下页,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法：,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式, 待定系数法,三角函数,三角函数,多项式,多项式,指数函数,指数函数,方程 (2) 对应的齐次方程 (1) 的特征方程及特征根为,单根,二重根,一对共轭复根,为常数 ,方程,有下列形式的特解：,假设方程,有下列形式的特解：,则,代入方程 (2) ，得,即,综上讨论可知,设特解为,其中,代入原方程,来确定Q(x).,例2. 求微分方程y-5y+6y=xe2x的通解.,这里Pm(x)x, 2. 与所给方程对应的齐次方程为 y-5y+6y=0, 它的特征方程为 r2-5r +6=0. 特征方程有两实根r12, r23. 于是齐次方程的通解为 YC1e2xC2e3x. 由于2是特征方程的单根, 所以特解应设为 y*x(b0 xb1)e2x.,解:,把 代入所给方程, 得 2b0 x2b0b1x. 比较两端x同次幂的系数, 得 -2b0=1, 2b0-b1=0.,于是求得所给方程的一个特解为,从而所给方程的通解为,首页,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,例6,解,对应的齐次方程的特征方程为,特征根为,对应的齐次方程的通解为,将它代入原方程，得,比较两边同类项的系数，得,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,解,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐次方程的通解为,将它代入原方程，得,上式即,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,解,设y1*(x)与y2*(x)分别是方程 y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)与 y+P(x)y+Q(x)y=f2(x) 的特解, 那么y1*(x)+y2*(x)的是方程 y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+f2(x) 的特解.,定理4(非齐次方程的解的叠加原理),简要证明: 这是因为 y1*+y2*P(x)y1*+y2*Q(x)y1*+y2* =y1*P(x)y1*Q(x)y1*y2*P(x)y2*Q(x)y2* =f1(x)f2(x).,结束,解,综上所述，原方程的通解为,二选一,先选0,再选.,解,例7,所求通解为,解,例8,所求通解为,珍惜时间认真复习,作业P188,2. (1)(2),1. (6)(7),4.,5.,
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