非线性信号的特征和表示法.ppt

第四章 非线性信号的特征和表示法( Features and Representation of Nonlinear Signal),第一节 分形体和分维数（Fractal and Fractal Dimension）,一、分形体（Fractal） 具有非整数维的结构叫做分形体。就是说真实空间都充满分形(fractal)特征，即现实世界是一个分形的世界。维数大于1小于2的结构，是一个比直线复杂而又未完全填充平面的一种结构。维数大于2小于3的结构，是一个比平面复杂而又未完全填充三维空间的一种结构。 分形体的局部与整体的某种相似性叫做自相似性（self-similarity）。子女与父母，大小不同的树叶，海上的波涛，天空的云彩，叠嶂的群山，蜿蜒的海岸线，纵横交错的毛细血管网，呼吸道的微绒毛，肺支气管，心电和脑电,都是局部与整体具有某种相似性的客观现实。 典型的理想的分形的例子有科赫雪花(Koch snowflake)和康托尘土(Kongtor dust)。,典型的理想的分形的例子有科赫雪花(Koch snowflake)和康托尘土(Kongtor dust)。,二、分维数（fractal dimension）,量度分形体的这种结构复杂性的量叫分维数。计算其自相似复杂性的分数维叫相似维。 下面以科赫雪花为例，说明如何计算相似维及相似维量度其自相似复杂性的能力。图4-3是用与图4-1同一个1/3的生成子生成的三种不同的结构。,由计算可以得出以下推论：,1.用生成子单位去量度同一分形体，所得的分维值最大； 2.用同一量度单位去量度具有不同的自相似复杂性的分形体，所得的分维值是不同的:复杂性大的,分维数大。 3.用不同的量度单位去量度同一分形体，结果不同。这提示：要用同一单位进行量度，才能比较不同分形体的复杂性。 4.用生成子去量度具有不同复杂性的分形体，所得的差异最大 因此，用生成子去量度具有不同复杂性的分形体, 更便于区分其不同的复杂性。,第二节 混沌特征及其定量描述（Chaotic Characteristics and Its Quantitative Description）,一、混沌（chaos） 结果对初始条件的敏感性，也就是说出现了结果的不可预测性。科学界就把这样的现象称为“混沌”。就是说非线性就有可能导致混沌。在对大气和湍流的研究中，都会得到非线性微分方程组，而大气和湍流的运动都具有局部与整体的某种自相似性。研究表明自相似性也是混沌想象的一种特征。,混沌运动具有以下特征：,1非线性、非周期性、非随机性。 2对初始条件的敏感性，即短期的不可预测性。 3具有某种自相似性，因而分形是混沌运动的一 种特征。 4宽带谱也是混沌运动的一种特性。 5有界性，混沌运动虽然变化的范围很大，但过程只限于一定的时空范围。 6由于很小的初始条件的变化（扰动）会导致结果的巨大变化，因而运动的某种不稳定性，也是混沌运动的一种特征。,二、混沌运动的图形特征,1相平面图（phase plane plot）,2延迟映射图（return map）,三、混沌诊断指标（Signs for Diagnosing Chaos）,所谓混沌诊断，即如何判断一种运动是否具有混沌特征。满足以下两个以上的条件，可以判断为混沌。 1初始条件的敏感性。 2大于1的分维数。 3大于0的李雅普诺夫指数。 4宽带谱。,四、非线性导致混沌的数值例子,1三分岔现象 2无限循环而不重复 3初始条件的敏感性 4类似随机的特征 5有界性,第三节 复杂性和复杂度（Complexes and Complexity）,一、复杂性（Complexes） 关于什么是复杂性？尚无确切的定义。研究复杂性多数认为是研究非线性。但是非线性是确定性。如果这样认为，则非线性就成了确定性的一个分支。也有人从随机性出发研究复杂性，这就认为复杂性不是确定性。这样就成了两种不同复杂性：非线性复杂性和随机性复杂性。,二、复杂度(Complexity),复杂度就是复杂性的数字量度，或称为数学模型。从非线性出发提出了一些数学模型；从随机性出发也提出了一些数学模型。 除了前面已经介绍过的分维数外，再举几个具体的量度复杂性的例子：近似熵和信息熵，李雅普诺夫指数和混沌度。,近似熵是用一个非负数来度量一个时间序列的复杂性的一种方法。 信息是客观事物的运动状态和存在方式的描述。信息熵（entropy，物理学家严济慈将之译成“熵”，隐含了Entropy的物理意义和计算要点）从信息论的角度描述信息的复杂性, 用以表示信息（由信号携载）的复杂程度。 从混沌运动的轨道发散性出发，提出了量度运动状态复杂性的公式，称为里雅普诺夫指数 。,