8.8 差分方程

1计算下列各题的差分：；【解】。【解】。2求下列差分方程的通解：；【解】这是一阶常系数非齐次线性差分方程，先求其对应齐次差分方程的通解：由得，可知通解为，再求非齐次线性差分方程的一个特解：由于方程右边为一次多项式，可知可以为多项式，而一阶差分的结果比高一次，因此可设方程有特解，将该特解代入方程，得，即为，对比应有，解之得，故有，从而所求方程的通解为。；【解】这是一阶常系数非齐次线性差分方程，先求其对应齐次差分方程的通解：由得，可知通解为，再求非齐次线性差分方程的一个特解：由于方程右边为二次多项式，可知可以为多项式，再因的结果与同次，因此可设为方程的一个特解，代入方程，得，即为，对比应有，解之得，故方程有特解，从而所求方程的通解为。；【解】这是一阶常系数非齐次线性差分方程，先求其对应齐次差分方程的通解：由得，可知通解为，再求非齐次线性差分方程的一个特解：由于方程右边含指数函数，可知应含，又因，可知应含多项式，易见所含的多项式与所含的多项式同次，而方程右边所含多项式为0次的，故可设所含的多项式为0次的，因此可设为方程的一个特解，代入方程，得，整理得，解得，故有，从而所求方程的通解为。【解】这是一阶常系数非齐次线性差分方程，先求其对应齐次差分方程的通解：由得，可知通解为，再求非齐次线性差分方程的一个特解：由于方程右边为0次多项式1，可知可以为多项式，再因的结果与同次，因此可设方程特解为，代入方程，得，亦即，解得即得，故有，从而所求方程的通解为。3求下列二阶差分方程的通解：；【解】这是二阶常系数线性齐次差分方程，其特征方程有两个相异实根，根据相异特征根，对应方程有两个特解，可知方程有两个特解为，由于常数，知与线性无关，从而得差分方程的通解为。；【解】这是二阶常系数线性齐次差分方程，其特征方程，方程有两个共轭复根，根据共轭复根对应方程两个特解，其中，可得：由于，而得，于是方程有两个特解为，由于常数，知与线性无关，从而得差分方程的通解为。；【解】这是二阶常系数线性非齐次差分方程，先求齐次差分方程的通解：由于特征方程有两个实重根，于是方程有一个特解为，可以验证，方程有另一特解为，由于常数，知与线性无关，从而得差分方程的通解为。再求非齐次差分方程的一个特解：由于方程右边为0次多项式3，可知可以为多项式，再因的运算结果与同次，因此可设方程有特解为，代入方程，得，整理得，即知方程有特解为。综上得，方程的通解为。【解】这是二阶常系数线性非齐次差分方程，先求齐次差分方程的通解：由于特征方程有两个实重根，于是方程有一个特解为，可以验证，方程有另一特解为，由于常数，知与线性无关，从而得差分方程的通解为。再求非齐次差分方程的一个特解：由于方程右边含因子，可知必含因子,去掉因子后，还可以含多项式，因此可设方程有特解,代入方程，得，整理得，再因的运算结果比低2次，因此可设为，代入方程，得，可取，即知方程有特解为。综上得，方程的通解为。