第二节 算术平均数与几何平均数

算术平均数与几何平均数（算术平均数与几何平均数（1 1）引入新课引入新课例题：某工厂要建造一个长方形无盖蓄水例题：某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为池，其容积为4800m3,深为深为3m，如果池底，如果池底每每1m2的造价为的造价为150元，池壁每元，池壁每1m2的造价的造价为为120元问怎样设计水池能使总造价最低，元问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少？最低总造价是多少？跳跃跳跃重要不等式及其应用重要不等式及其应用一、重要不等式的推导一、重要不等式的推导课题课题ii重要不等式重要不等式1 1 如果如果a a、b bR R,那么那么 a ab b22a ab b (当且仅当当且仅当a ab b时取时取“”号号)以公式以公式(1)为基础为基础,运用不等式的性质推导公式运用不等式的性质推导公式(2)这种由已这种由已知推出未知知推出未知(或要求证的不等式或要求证的不等式)的证明方法通常叫做的证明方法通常叫做综合法综合法。i如果如果a、bR,那么有那么有 (ab)0 (1)把把(1)式左边展开，得式左边展开，得 a 2abb 0 ab 2ab (2)(2)式中取等号成立的充要条件是什么？式中取等号成立的充要条件是什么？公公式式2、探索、探索设设a、b、cR，依次对其中的两个运用，依次对其中的两个运用公式公式(2)，有，有a +b 2ab;b +c 2bc;c +a 2ca.a+b2ab(a、bR，当且仅当，当且仅当a=b时取时取“=”号号)把以上三式叠加，得把以上三式叠加，得 a b c abbcca(3)(当且仅当当且仅当a=b=c时取时取“=”号号)从以上推导过程中可以从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法式问题的数学思想与方法迭代与叠加迭代与叠加.由于由于 ab(ab)(aabb),启示我们把公式启示我们把公式(2)变成变成 aabbab,两边同乘以两边同乘以a+b，为了得到同向不等式，这里，为了得到同向不等式，这里要求要求a、b0,得到得到 a+babab。(4)3 3、再探索、再探索 考查两个以上实数的更高次幂的和，考查两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢？又能得到什么有趣的结果呢？a+b2ab(a、bR当且仅当当且仅当ab时取时取“”号号)重要不等式重要不等式2 2 如果如果a、b、c0,0,那么那么abc 3 3abc (当且仅当当且仅当abc时取时取“”号号)考查三个实数的立方和又具有什么考查三个实数的立方和又具有什么性质呢？性质呢？由由公式公式(3)的推导方法，再增加一个正实数的推导方法，再增加一个正实数c，对对b、c,c、a 迭代迭代(4)式，并应用公式式，并应用公式(2)，得，得 2(a+b+c)a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)a 2bc+b 2ca+c 2ab=6abc a+b+c3abc(5)(当且仅当当且仅当a=b=c时取时取“=”号）号）4、定理、定理(6)(当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”号号)在公式在公式(5)中用中用 、分别替换分别替换a、b、c，可得可得 ()+()+()3 a +b +c 33a3a3a3b3b3b3c3c3c3abc （a+b+c)/3 (7)(当且仅当当且仅当abc时取时取“”号）号）3abca+b2ab(a、bR当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”号号)公式公式a+b+c 3abc (a,b,cR+当且仅当当且仅当a=b=c时取时取“=”号号)问题：若问题：若a,b都为正数，试比较都为正数，试比较 与与 的大小关系的大小关系.2ab ab2211()()2222abababab 2abab 定理定理1 1：如果如果a、b0,0,那么那么 (当且仅当当且仅当ab时取时取“”号号)2abab 定理定理1 1的推广的推广 如果如果a、b、c0,0,那么那么 (当且仅当当且仅当abc时取时取“”号号)33abcabc重要不等式及其应用重要不等式及其应用重要不等式重要不等式1 1 如果如果a、bR,R,那么那么a+b22ab(当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”=”号号)重要不等式重要不等式2 2 如果如果a、b、c 0,0,那么那么a+b+c 3 3abc (当且仅当当且仅当a=b=c时取时取“=”=”号号)定理定理1 1 如果如果a、b 0,0,那么那么(当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”=”号号)2abab定理定理1 1的推论的推论 ：如果如果a、b、c 0,0,那么那么(当且仅当当且仅当a=b=c时取时取“=”=”号号)3abc33abcabc5 5、两、两 个个 概概 念念公式公式定理表明：两个正数的算术平均数不小于（即大于定理表明：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。或等于）它们的几何平均数。a+b2ab(a、bR当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”号号)a+b+c 3abc (a,b,c R+当且仅当当且仅当a=b=c时取时取“=”号号)如果如果a1，a2，an 0，且，且 n1，那么，那么 叫做这叫做这n个正数的个正数的算术平均数算术平均数.123naaaan叫做这叫做这n个正数的个正数的几何平均数几何平均数。123nna a aa说明说明公式公式（1）a+b2ab 成立的条件是成立的条件是a、bR，而均值不等式，而均值不等式 成立的条件是成立的条件是a、b R 2abab（2）若把）若把 看作是正数看作是正数a,b的等差中项，的等差中项，看作是正数看作是正数a,b的等比的等比中项，那么这个定理可叙述为中项，那么这个定理可叙述为“两个正数的等差中项不小于它们的等两个正数的等差中项不小于它们的等比中项比中项”2abab（3）若以）若以a+b为直径作圆，在直径上取点为直径作圆，在直径上取点C，使，使ACa,CB=b,过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE，连接，连接AD,BD.可知可知 Rt ACDRt DCB 2DCAC BC故故有有 CDab即即 2abr又又（4）不等式）不等式 的变式有的变式有这些变式对我们今后解题会有很大的帮助的这些变式对我们今后解题会有很大的帮助的.2abab 2a bab 2()2abab例例1：2 P例例2：已知：已知x,y都为正数，求证：都为正数，求证：（1）如果积）如果积xy为定值为定值P，那么当，那么当x=y时，和时，和x+y有最小值有最小值（2）若）若x+y为定值为定值S，那么当，那么当x=y时，积时，积xy有最大值有最大值214S例例3：已知：已知a,b,c,d都为正数，求证：都为正数，求证：()()4abcdacbdabcd课本：课本：P11练习练习如果如果a、b、cR,那么有那么有 (a-b)0 a+b 2ab a +b +c ab+bc+ca 如果如果a、b、c0,那么有那么有 a+b ab+ab a+b+c 3abc (a+b)/2 （a+b+c)/3 (当且仅当当且仅当a=b=c时取时取“=”号）号）公式总汇公式总汇算术平均数与几何平均数（2）重要不等式重要不等式1 1 如果如果a、bR,R,那么那么a+b22ab b(当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”=”号号)重要不等式重要不等式2 2 如果如果a、b、c 0,0,那么那么a+b+c 3 3abc (当且仅当当且仅当a=b=c时取时取“=”=”号号)定理定理1 1 如果如果a、b 0,0,那么那么(当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”=”号号)2abab定理定理1 1的推论的推论 ：如果：如果a、b、c 0,0,那么那么(当且仅当当且仅当a=b=c时取时取“=”=”号号)33abcabc已知已知x,y都为正数，都为正数，（1）如果积）如果积xy为定值为定值P，那么当，那么当x=y时，和时，和x+y有最小值有最小值2 P（2）若）若x+y为定值为定值S，那么当，那么当x=y时，积时，积xy有最大值有最大值214S这个结论反映在利用均值不等式求最值时，要这个结论反映在利用均值不等式求最值时，要注意以下三个条件注意以下三个条件（1）函数式中各项必须都是正数）函数式中各项必须都是正数（2）函数式中含变量的各项的和或积必须）函数式中含变量的各项的和或积必须是常数是常数（3）等号成立的条件必须存在）等号成立的条件必须存在一正、二定、三相等一正、二定、三相等例例1、（、（1）求函数）求函数 的最小的最小值并求相应的值并求相应的x的值的值 1(0)1yxxx（2）求函数）求函数 的最小值的最小值并求相应的并求相应的x的值的值(5)(2)(1)1xxyxx （3）求函数）求函数 的最大值的最大值1(1 2)(0)2yxxx 析：求函数的最值，可考虑利用和，积不等式，关键析：求函数的最值，可考虑利用和，积不等式，关键在于对函数式结构的调整，使得函数的结构为和的形式在于对函数式结构的调整，使得函数的结构为和的形式（或积的形式），并且相应的和（或积）为定值（或积的形式），并且相应的和（或积）为定值 说明：此题通过恰当的恒等变形说明：此题通过恰当的恒等变形分拆变量，使之满足定理条件，把问题转化为分拆变量，使之满足定理条件，把问题转化为定积条件下的两个变量和的问题定积条件下的两个变量和的问题例例3、（1）某种汽车购买时的费用是）某种汽车购买时的费用是10万元，每年的保险费、万元，每年的保险费、养路养路 费、汽车油费、汽车油 费合计为费合计为9千元，汽车的维修费平均为第一千元，汽车的维修费平均为第一年年2千元，第二年为千元，第二年为4千元，第三年为千元，第三年为6千元千元依等差数列逐年依等差数列逐年递增，问这种汽车使用多少年报废最合算（即年平均费用最少）递增，问这种汽车使用多少年报废最合算（即年平均费用最少）（2）设计一幅宣传画，要求画面面积为）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的，画面的宽与高的宽与高的 比为比为 ，画面的上下各留，画面的上下各留8cm的空白，左右的空白，左右各留各留5cm的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小画所用纸张面积最小.(1)在应用均值不等式解决实际问题时应注意：在应用均值不等式解决实际问题时应注意：（1）设变量）设变量.一般把要求最大值或最小值的变量设为函数一般把要求最大值或最小值的变量设为函数（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题最值问题（3）在定义域内，求函数的最大值或最小值）在定义域内，求函数的最大值或最小值练习：练习：111.lglg2,xyxy 已已知知求求的的最最小小值值2.(0)1x 2 2x x求求y y=的的最最值值x x23.225(05)yxxx 求求的的 最最 值值再见再见