反常积分概念课件

1 反常积分概念一、反常积分的背景 反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分，是定积分概念 的推广.二、两类反常积分的定义一、反常积分的背景 在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间间但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间例例1(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火的有穷性的有穷性;被积函数的有界性被积函数的有界性.上的上的“积分积分”或无界函数的或无界函数的“积分积分”.箭箭,要使火箭克服地球引力无限远离地球要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初试问初 速度速度 v0 至少要多大？至少要多大？解解 设地球半径为设地球半径为 R,火箭质量为火箭质量为 m,地面上的地面上的重重处火箭所受的引力为处火箭所受的引力为,22xmgRF 于是火箭从地面上升到距地心为于是火箭从地面上升到距地心为 处需作处需作功功 Rr .11d222rRmgRxxmgRrR Rx 力加速度为力加速度为 g,按万有引力定理按万有引力定理,在距地心在距地心 r 当当 时时,其极限其极限 mgR 就是火箭无限远离地就是火箭无限远离地的的积积分分2222dlimd.rRRrmgRmgRxxmgRxx由机械能守恒定律可求初速度由机械能守恒定律可求初速度 至少应使至少应使0v201.2mvmgR269.81(m/s),6.371 10(m)gR用用代代入入,得得0211.2(km/s).vgR球需作的功于是自然把这一极限写作上限为球需作的功于是自然把这一极限写作上限为例例2 圆柱形桶的内壁高为圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为内半径为 R,桶底有桶底有2().vg hx在时间在时间d t内内,桶中液面降低的微小量为桶中液面降低的微小量为d x,它们它们22dd,0,.2Rtxxhrg hx解解 桶内水位高度为桶内水位高度为 时时,流出水的速度为流出水的速度为hx一半径为一半径为 r 的小孔试问从盛满水开始打开小孔的小孔试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水直至流完桶中的水,共需多少时间？共需多少时间？22dd,Rxv rt 因此因此之间应满足之间应满足于是流完一桶水所需时间为于是流完一桶水所需时间为220d.2hRtxrg hx但由于被积函数是但由于被积函数是 上的无界函数上的无界函数,所以它的所以它的 h,0220limd2uuhRtxrg hx222limuhRhhug r确切含义为确切含义为22.hRgr二、两类反常积分的定义区区间间 a,u 上可积上可积.若存在极限若存在极限lim()d,uauf xxJ则称此极限则称此极限 J 为函数为函数 f 在在 上的上的无穷限无穷限反反 ,a()d,aJf xx()d,af xx并并称称收收敛敛()d.af xx否否则则称称发发散散定义定义1设函数设函数 f 定义在定义在 a,+)上上,且在任何有限且在任何有限 常积分常积分(简称无穷积分简称无穷积分),记作记作类似定义类似定义()dlim()d,bbuuf xxf xx()d()d()d.aaf xxf xxf xx).a 其其中中是是(，内内任任意意一一点点域域内无内无界界,但在任何内闭区间但在任何内闭区间 u,b 上有界且可积上有界且可积.如如果存果存在极限在极限lim()d,buuaf xxJ定义定义2 设函数设函数 f 定义在定义在(a,b 上上,在在 a 的任意右邻的任意右邻 则称此极限为无界函数则称此极限为无界函数 f 在在(a,b 上的反常积分上的反常积分,()d,baJf xx()dbaf xx则则称称发发散散.()dbaf xx并并称称收收敛敛.lim()d,buuaf xx若若极极限限不不存存在在类似定义瑕点为类似定义瑕点为 b 时的瑕积分时的瑕积分()dlim()d.buaaubf xxf xx()dbaf xx又又称称为为瑕瑕积积分分,通常称通常称a 为为 f 的瑕点的瑕点.记作记作其中其中 f 在在 a,b)有定义有定义,在在 b 的任一左邻域内无界的任一左邻域内无界,()d()d()dbcbaacf xxf xxf xxlim()dlim()d.ubavucvcf xxf xx若若 f 的瑕点的瑕点 ,定义定义(,)ca b()d()d,()dcbbacaf xxf xxf xx若若和和都都收收敛敛 则则称称.收收敛敛,a ua b在任何在任何 上可积上可积.例例1 讨论无穷积分讨论无穷积分1d.pxx的的收收敛敛性性Oxy111pyx1p 1p 1p 1p 1p 1p 11,1,d1lim,1.upupxpxp解解111d1,1,11,ln,pupxuppxpu 因因此此,无穷积分的牛顿无穷积分的牛顿莱布尼莱布尼若若 f(x)的原函数为的原函数为 F(x),()d(),aaf xxF x解解21edee,ptptpttttCpp 例例2 讨论无穷积分讨论无穷积分0ed0.ptttp的的收收敛敛性性2001edeeptptpttttpp 因此因此()()lim()().uFF aF uF a 茨公式写作茨公式写作2211(00)0.pp例例3 讨论讨论瑕瑕积分积分10d0qxqx的收敛性的收敛性.解解1111,1d1ln,1,qquuqxqxuq1100dd101,lim;1qquuxxqqxx故故当当时时10d1,.qxqx 当当时时发发散散同样同样,若若 f(x)的原函数为的原函数为 F(x),瑕积分的牛顿瑕积分的牛顿-莱莱()d()()()bbaaf xxF xF bF a()lim().uaF bF u例例4 计算计算瑕瑕积分积分10lnd.xx解解10ln dx x的瑕点为的瑕点为 0.因此因此,11100ln dlimlndx xxxx 0lim0ln11.布尼茨公式写作布尼茨公式写作是否必有是否必有lim()0?xf x2.(),)f xa 在在上非负连续上非负连续,0)(lim xfx是否可是否可推得推得()daf xx收敛收敛?3.(),)f xa 在在上定义上定义,且且.)(limAxfx 复习思考题()d0?af xxA当当收收敛敛时时,是是否否必必有有1.(),)f xa 在在上非负连续上非负连续,且且 收敛收敛,()daf xx