1.1.3四种命题间的相互关系9

1.1.3四种命题间的相互关系【自我预习自我预习】1.1.四种命题间的关系四种命题间的关系若若q q，则，则p p若若p p，则，则q q若若q q ，则，则p p2.2.四种命题真假性间的关系四种命题真假性间的关系(1)(1)两个命题互为逆否命题两个命题互为逆否命题,则它们的真假性则它们的真假性_._.(2)(2)两个命题为互逆命题或互否命题两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性它们的真假性_._.相同相同没有关系没有关系微提醒微提醒在判断一个命题的真假性时在判断一个命题的真假性时,若命题本身难以若命题本身难以判断判断,可以转化为判断其逆否命题的真假来说明原命题可以转化为判断其逆否命题的真假来说明原命题的真假的真假.微课堂微课堂微思考微思考【思考思考1 1】能不能说能不能说“若若p,p,则则q”q”是逆命题或否命题是逆命题或否命题?为为什么什么?提示提示:不能不能,逆命题或否命题都是相对于原命题而言的逆命题或否命题都是相对于原命题而言的.只有确定了原命题只有确定了原命题,才有逆命题、否命题的说法才有逆命题、否命题的说法,它们它们与原命题互为逆命题、互为否命题与原命题互为逆命题、互为否命题.【思考思考2 2】如何利用原命题的逆命题写出原命题的逆否如何利用原命题的逆命题写出原命题的逆否命题命题?提示提示:原命题的逆命题与原命题的逆否命题互为否命题原命题的逆命题与原命题的逆否命题互为否命题,所以只需写出原命题的逆命题的否命题所以只需写出原命题的逆命题的否命题,即得原命题的即得原命题的逆否命题逆否命题.【自我总结自我总结】1.1.四种命题的相对性四种命题的相对性四种命题中原命题具有相对性四种命题中原命题具有相对性,任意确定一个为原命题任意确定一个为原命题,其逆命题、否命题、逆否命题就确定了其逆命题、否命题、逆否命题就确定了,所以所以“互逆互逆”“互否互否”“”“互为逆否互为逆否”具有相对性具有相对性.2.2.四种命题中的四种命题中的“互逆互逆”“”“互否互否”“”“互为逆否互为逆否”关系关系(1)(1)两对互逆命题两对互逆命题:原命题与逆命题原命题与逆命题,否命题与逆否命题否命题与逆否命题.(2)(2)两对互否命题两对互否命题:原命题与否命题原命题与否命题,逆命题与逆否命题逆命题与逆否命题.(3)(3)两对互为逆否命题两对互为逆否命题:原命题与逆否命题原命题与逆否命题,逆命题与否逆命题与否命题命题.【自我检测自我检测】1.1.命题命题“若一个数是负数若一个数是负数,则它的平方是正数则它的平方是正数”的逆命的逆命题是题是()A.A.若一个数是负数若一个数是负数,则它的平方不是正数则它的平方不是正数B.B.若一个数的平方是正数若一个数的平方是正数,则它是负数则它是负数C.C.若一个数不是负数若一个数不是负数,则它的平方不是正数则它的平方不是正数D.D.若一个数的平方不是正数若一个数的平方不是正数,则它不是负数则它不是负数【解析解析】选选B.B.将原命题的条件和结论互换位置即得逆将原命题的条件和结论互换位置即得逆命题命题,则原命题的逆命题为则原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数若一个数的平方是正数,则它是负数则它是负数”.2.2.命题命题“若若a a A,A,则则bB”bB”的否命题是的否命题是()A.A.若若a a A,A,则则b b B BB.B.若若aA,aA,则则b b B BC.C.若若bB,bB,则则a a A AD.D.若若b b B,B,则则a a A A【解析解析】选选B.B.命题命题“若若p,p,则则q”q”的否命题是的否命题是“若非若非p,p,则则非非q”.q”.注意注意“”与与“”互为否定形式互为否定形式.3.3.命题命题“若若a-3,a-3,则则a-6”a-6”以及它的逆命题、否命题、以及它的逆命题、否命题、逆否命题中逆否命题中,真命题的个数为真命题的个数为()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选B.B.易知原命题为真命题易知原命题为真命题,从而逆否命题为真从而逆否命题为真命题命题.因为逆命题为因为逆命题为“若若a-6,a-6,则则a-3”,a-3”,所以逆命题为所以逆命题为假命题假命题,所以否命题为假命题所以否命题为假命题.从而真命题的个数是从而真命题的个数是2.2.4.“4.“若若sin=,sin=,则则=”=”的逆否命题是的逆否命题是_ _ _,_,逆否命题是逆否命题是_命题命题.(.(填填“真真”或或“假假”)126【解析解析】“若若sin=,sin=,则则=”=”的逆否命题是的逆否命题是“若若 ,则则sin ”,sin ”,是假命题是假命题.答案答案:若若 ,则则sin sin 假假126126126类型一四种命题的相互关系及应用类型一四种命题的相互关系及应用【典例典例】1.1.若若p p的否命题是命题的否命题是命题q q的逆否命题的逆否命题,则命题则命题p p是命题是命题q q的的()A.A.逆命题逆命题B.B.否命题否命题C.C.逆否命题逆否命题D.D.与与p p是同一命题是同一命题2.2.下列命题中下列命题中:世纪金榜导学号世纪金榜导学号5316200653162006若一个四边形的四条边不相等若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形则它不是正方形;若一个四边形对角互补若一个四边形对角互补,则它内接于圆则它内接于圆;正方形的四条边相等正方形的四条边相等;圆内接四边形对角互补圆内接四边形对角互补;对角不互补的四边形不内接于圆对角不互补的四边形不内接于圆;若一个四边形的四条边相等若一个四边形的四条边相等,则它是正方形则它是正方形.其中其中,互为逆命题的有互为逆命题的有_;_;互为否命题的有互为否命题的有_ _ _;_;互为逆否命题的有互为逆否命题的有_._.3.3.下列命题下列命题:世纪金榜导学号世纪金榜导学号5316200753162007“若若xy=1,xy=1,则则x,yx,y互为倒数互为倒数”的逆命题的逆命题;“四条边相等的四边形是正方形四条边相等的四边形是正方形”的否命题的否命题;“梯形不是平行四边形梯形不是平行四边形”的逆否命题的逆否命题;“若若acac2 2bcbc2 2,则则ab”ab”的逆命题的逆命题.其中是真命题的是其中是真命题的是_(_(填序号填序号).).【思路导引思路导引】首先首先,要熟练掌握四种命题间的相互关系要熟练掌握四种命题间的相互关系,注意它们之间的等价性注意它们之间的等价性;其次其次,利用其他知识判断真假利用其他知识判断真假时时,一定要对有关知识熟练掌握一定要对有关知识熟练掌握.【解析解析】1.1.选选A.A.设设p:p:若若A,A,则则B,B,则则p p的否命题为若的否命题为若A,A,则则B,B,从而命题从而命题q q为若为若B,B,则则A,A,则命题则命题p p是命题是命题q q的逆命题的逆命题.2.2.命题可改写为命题可改写为“若一个四边形是正方形若一个四边形是正方形,则它的四则它的四条边相等条边相等”;命题可改写为命题可改写为“若一个四边形是圆内若一个四边形是圆内接四边形接四边形,则它的对角互补则它的对角互补”;命题可改写为命题可改写为“若一若一个四边形对角不互补个四边形对角不互补,则它不内接于圆则它不内接于圆”.所以所以,互为逆互为逆命题的有和命题的有和,和和;互为否命题的有和互为否命题的有和,和和;互为逆否命题的有和互为逆否命题的有和,和和.答案答案:和和,和和和和,和和和和,和和3.3.“若若xy=1,xy=1,则则x,yx,y互为倒数互为倒数”的逆命题是的逆命题是“若若x,yx,y互互为倒数为倒数,则则xy=1xy=1”,是真命题是真命题;“四条边相等的四边形是正方形四条边相等的四边形是正方形”的否命题是的否命题是“四四条边不都相等的四边形不是正方形条边不都相等的四边形不是正方形”,是真命题是真命题;“梯形不是平行四边形梯形不是平行四边形”本身是真命题本身是真命题,所以其逆否所以其逆否命题也是真命题命题也是真命题;“若若acac2 2bcbc2 2,则则abab”的逆命题是的逆命题是“若若ab,ab,则则acac2 2 bcbc2 2”,是假命题是假命题.所以真命题是所以真命题是答案答案:【解题流程解题流程】【方法技巧方法技巧】判断四种命题之间四种关系的两种方法判断四种命题之间四种关系的两种方法方法一方法一:利用四种命题的定义判断利用四种命题的定义判断.方法二方法二:可以巧用可以巧用“逆、否逆、否”两字进行判断两字进行判断,如如“逆命逆命题题”与与“逆否命题逆否命题”中不同有中不同有“否否”字字,是互否关系是互否关系;而而“逆命题逆命题”与与“否命题否命题”中不同有中不同有“逆、否逆、否”二字二字,其关系为逆否关系其关系为逆否关系.【变式训练变式训练】判断命题判断命题“若若m0,m0,则方程则方程x x2 2+2x-3m=0+2x-3m=0有实数根有实数根”的逆的逆否命题的真假否命题的真假.【解析解析】因为因为m0,m0,所以方程所以方程x x2 2+2x-3m=0+2x-3m=0的判别式的判别式=12m+40.=12m+40.所以原命题所以原命题“若若m0,m0,则方程则方程x x2 2+2x-3m=0+2x-3m=0有有实数根实数根”为真为真.又因为原命题与它的逆否命题等价又因为原命题与它的逆否命题等价,所以所以“若若m0,m0,则方则方程程x x2 2+2x-3m=0+2x-3m=0有实数根有实数根”的逆否命题也为真的逆否命题也为真.【补偿训练补偿训练】命题命题“若若p,p,则则q”q”是真命题是真命题,则下列命题一定是真命则下列命题一定是真命题的是题的是()A.A.若若p,p,则则q qB.B.若若q,q,则则p pC.C.若若q,q,则则p pD.D.若若q,q,则则p p【解析解析】选选C.C.命题命题“若若p,p,则则q q”的逆否命题为的逆否命题为“若若q,q,则则p p”.类型二等价命题在证明中的应用类型二等价命题在证明中的应用【典例典例】判断命题判断命题“已知已知a,xa,x为实数为实数,若关于若关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集是空集的解集是空集,则则a2”a0,4a-70,即抛物线与即抛物线与x x轴有交点轴有交点,所以关于所以关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集不是空集的解集不是空集,故原命题的逆否故原命题的逆否命题为真命题为真.方法二方法二:先判断原命题的真假如下先判断原命题的真假如下:因为因为a,xa,x为实数为实数,关于关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的的解集为空集解集为空集,所以所以=(2a+1)=(2a+1)2 2-4(a-4(a2 2+2)=4a-70.+2)=4a-70.所以所以a 2.a 2.所以原命题是真命题所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假因为互为逆否命题的两个命题同真同假,所以原命题的所以原命题的逆否命题为真命题逆否命题为真命题.74【延伸探究延伸探究】1.1.将典例改为求逆命题的真假将典例改为求逆命题的真假.【解析解析】原命题的逆命题为原命题的逆命题为“已知已知a,xa,x为实数为实数,若若a2,a2,则关于则关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集是空集的解集是空集”.判断真假如下判断真假如下:抛物线抛物线y=xy=x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+2+2的开口向上的开口向上,判别式判别式=(2a+1)=(2a+1)2 2-4(a-4(a2 2+2)=4a-7,+2)=4a-7,因为因为a2,a2,所以所以4a-71,4a-71,当当0101时时,抛物线与抛物线与x x轴有交轴有交点点,当当00+20的解集是的解集是R,R,则则a ”a0+20的的解集为解集为R,R,且抛物线且抛物线y=xy=x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+2+2的开口向上的开口向上,所以所以=(2a+1)=(2a+1)2 2-4(a-4(a2 2+2)=4a-70.+2)=4a-70.所以所以a .a .74所以原命题是真命题所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假因为互为逆否命题的两个命题同真同假,所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题的逆否命题为真命题.【方法技巧方法技巧】“正难则反正难则反”的处理原则的处理原则(1)(1)当原命题的真假不易判断当原命题的真假不易判断,而逆否命题较容易判断而逆否命题较容易判断真假时真假时,可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假真假.(2)(2)在证明某一个命题的真假性有困难时在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它可以证明它的逆否命题为真的逆否命题为真(假假)命题命题,来间接地证明原命题为真来间接地证明原命题为真(假假)命题命题.(3)(3)四种命题中四种命题中,原命题与其逆否命题是等价的原命题与其逆否命题是等价的,有相同有相同的真假性的真假性,原命题的否命题与逆命题也是互为逆否命题原命题的否命题与逆命题也是互为逆否命题,解题时不要忽视解题时不要忽视.【核心素养培优区核心素养培优区】易错误区案例易错误区案例 四种命题的真假及应用四种命题的真假及应用【典例典例】已知已知p:lg(xp:lg(x2 2-2x-2)0;q:0 x4,-2x-2)0;q:0 x4,若若p p是真命题是真命题,q,q是假命题是假命题,则实数则实数x x的取值范围是的取值范围是_._.【错解案例错解案例】因为命题因为命题p p是真命题是真命题,所以所以x x2 2-2x-21,-2x-21,解得解得,x-1,x-1或或x3.x3.因为命题因为命题q q是假命题是假命题,所以所以x0 x4,x4,综上综上,x,x的取值范围是的取值范围是x-1x-1或或x4.x4.答案答案:x-1x-1或或x4x4错误原因错误原因防范措施防范措施由命题由命题q q是假命题是假命题求解求解x x的取值范围的取值范围忽略了等号忽略了等号.判断一个命题的真假需弄清判断一个命题的真假需弄清楚命题的条件和结论楚命题的条件和结论,由命题由命题的真假求参数的取值范围时的真假求参数的取值范围时,考虑问题要全面考虑问题要全面,不能漏解不能漏解.【正解正解】因为命题因为命题p p是真命题是真命题,所以所以x x2 2-2x-21,-2x-21,解得解得,x-1,x-1或或x3.x3.因为命题因为命题q q是假命题是假命题,所以所以x0 x0或或x4,x4,综上综上,x,x的取值范围是的取值范围是x-1x-1或或x4.x4.答案答案:x-1x-1或或x4x4【即时应用即时应用】已知已知p(x):xp(x):x2 2+2x-m0,+2x-m0,若若p(1)p(1)是假命是假命题题,p(2),p(2)是真命题是真命题,则实数则实数m m的取值范围为的取值范围为_._.【解析解析】因为因为p(1)p(1)是假命题是假命题,所以所以1+2-m0,1+2-m0,解得解得m3;m3;又又p(2)p(2)是真命题是真命题,所以所以4+4-m0,4+4-m0,解得解得m8.m8.故实数故实数m m的取的取值范围是值范围是3,8)3,8).答案答案:3,8)3,8)