复数知识框架

h _山匚高考要求数系的扩充 与复数的引 入要求层 次重难点复数的基本概念，复数 相等的条件B了解数系的扩充的基本过程与复数的概 念；掌握复数的几何意义与复数的代数形式 的四则运算法则复数的代数表示法及 几何意义A复数代数形式的四则 运算C复数代数形式加减法 的几何意义A知识内容一、复数的概念1.虚数单位 i:它的平方等于-1，即i2 = -1；(2) 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.(3) i 与1 的关系:i就是-1的一个平方根，即方程x2 =-1的一个根，方程X2 =-1的另一个根是-i. (4)i的周期性：叩叩14n+1 = i , i4n+2 = 1 ,4n+3 = i ,4n = 1 .实数 a(b = 0)2数系的扩充3.复数的定义：复数a + bi 虚数a + bi(b丰0)纯虚数bi( a = 0) 非纯虚数a + bi(a丰0)形如a + bi(a,b e R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示4.复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即z = a + bi (a, b e R)，把复数表示成a + bi的形式，叫做复数的代数形式.5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a + bi (a, b e R)，当且仅当b = 0时，复数a + bi (a, b e R)是实数a ；当b丰0 时，复数z = a + bi叫做虚数；当a = 0且b丰0时，z = bi叫做纯虚数；当且仅当 a = b = 0时，z就是实数0二正实数之是实数a 9实数0复数汁加(a、硬 R)负实数上工纯虚数hi 巴涯虚数(Eh硬R)厂三1一非纯虚数的虚数6. 复数集与其它数集之间的关系：7. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说如果a， b， c， d e R，那么 a + bi = c + di o a = c, b = d二、复数的几何意义1.复平面、实轴、虚轴：复数z = a + bi(a, beR)与有序实数对(a,b)是对应关系建立对应的关 系.点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z = a + bi(a,b e R)可用点Z(a,b)表示, 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.2对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定 的复数是z = 0 + 0i = 0表示是实数. 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数z = a + bi 一一对应复平面内的点Z(a,b)这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.三、复数的四则运算1.复数 z 与 z 的和的定义：12z + z (a + bi)+ (c + di)= (a + c )+ (b + d )i122.复数 z 与 z 的差的定义：12z - z = (a + bi) - (c + di) = (a c)+ (b - d)i123.复数的加法运算满足交换律: z +z = z +z1 2 2 14复数的加法运算满足结合律:(z + z ) + z = z + (z + z )1 2 3 1 2 35. 乘法运算规则：设 z = a + bi， z = c + di (a、b、 c、d e R)是任意两个复数， 12那么它们的积zz =(a + bi)( c+di)=(acbd)+(bc+ad)i12其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成-1, 并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.6. 乘法运算律：(1) z (z z )=(zz )z1 2 3 1 2 3(2) ( z - z ) - z = z - (z - z )1 2 3 1 2 3(3) z (z +z )=zz +zz7. 复1数除2 法定3 义：1 21 3满足(c + di)(x + yi)= (a + bi)的复数x + yi (x、y e R)叫复数a + bi 除以复数c + di的商，记为：(a + bi) -(c + di)或者也 c+ di8. 除法运算规则：设复数a + bi (a、b e R)，除以c + di (c , d e R)，其商为 x + yi ( x、y e R),即(a + bi)十(c + di)= x + yi V (x + yi)(c + di) = (ex dy)+ (dx + cy)i (cx - dy)+ (dx + cy)i = a + bi由复数相等定义可知cx - dy = a, dx + cy = b.解这个方程组，ac + bdx 二c 2 + d 2 bc - ad y 二c 2 + d 2() ac + bd bc - ad于是有：(a + bi)十lc + di丿=+ic2 +d2 c2 + d2利用(c + di)(c - di)二c2 + d2于是将也的分母有理化得: c+ dia + bi _ (a + bi)(c - di) _ ac + bi - (-di) + (bc - ad)i c + di(c + di)(c - di)c2 + d 2(ac + bd) + (bc - ad )i _ ac + bd + bc - ad j c2 +d2c2 +d2 c2 +d2(a + bi)十(c + di)_ ac + bd + 加-adic2 +d2 c2 + d2点评:是常规方法，是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分 母有理化思想方法，而复数c + di与复数c-di，相当于我们初中学习的+ J2 的对偶式a/3 - J2，它们之积 为1是有理数，而(c + di)(c-di)_ c2 + d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法.9. 共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚 部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.教师备案近年来高考对复数知识的考查都比较简单，基本都在选择的前四题 或者填空题的第一二道，新课标中，文理都要学习复数，但是只学习复数的代 数形式与加法乘除运算，不再学习复数的三角形式