《差分方程》PPT课件.ppt

第一节 差分方程的基本概念,一、 差分的概念,定义1 设函数yt=f(t)在t=,-2,-1,0,1,2,处有定义,对应的函数值为,y-2,y-1,y0,y1,y2,则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为 Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t) 依此定义类推,有 Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1), Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2), ,一阶差分的性质,(1) 若yt=C(C为常数),则Dyt=0; (2) 对于任意常数k,D(kyt)=kDyt; (3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt,定义2 函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分,即 D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt =(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt 依此定义类推,有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2, 类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分 D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt, D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1, ,一般地,k阶差分(k为正整数)定义为 这里,二、 差分方程,定义3 含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分yt, 2yt,的函数方程,称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分方程中的差分的最高阶数,称为差分方程的阶.,n阶差分方程的一般形式为 F(t,yt, yt, nyt)=0, 其中F是t,yt, yt, nyt的已知函数,且nyt一定要在方程中出现,定义3 含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,的函数方程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶,n阶差分方程的一般形式为 F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0, 其中F为t,yt,yt+1,，yt+n的已知函数,且yt和yt+n一定要在差分方程中出现.,三、 差分方程的解,定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0,使其对t=,-2,-1,0,1,2,成为恒等式,则称yt=j(t)为方程的解.含有n个任意(独立)常数C1,C2,Cn的解 yt=(t,C1,C2,Cn) 称为n阶差分方程的通解.在通解中给任意常数C1,C2,Cn以确定的值所得的解,称为n阶差分方程的特解.,例如,函数yt=at+C(a为已知常数,C为任意常数)是差分方程yt+1-yt=a的通解.而函数yt=at,yt=at-1,均是这个差分方程的特解.,由差分方程的通解来确定它的特解,需要给出确定特解的定解条件.n阶差分方程F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0常见的定解条件为初始条件. y0=a0, y1=a1，,yn-1=an-1， 这里a0,a1,a2,，an-1均为已知常数,只要保持差分方程中的时间滞后结构不变,无论对t提前或推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方程是等价的,即二者有相同的解.例如,方程 ayt+1-byt=0 与方程 ayt+2-byt+1=0 都是相互等价的,四、 线性差分方程及其基本定理,形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+an-1(t)yt1+an(t)yt=f(t) 的差分方程,称为n阶非齐次线性差分方程.其中a1(t),a2(t),an-1(t),an(t)和f(t)都是t的已知函数,且an(t)0,f(t)0.而形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+an-1(t)yt+1+an(t)yt=0 的差分方程,称为n阶齐次线性差分方程.其中ai(t)(i=1,2,，n)为t的已知函数,且an(t)0.,如果ai(t)=ai(i=1,2,n)均为常数(an0),则有 yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=f(t)， yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0 分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程.,定理1(齐次线性差分方程解的叠加原理) 若y1(t),y2(t),ym(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0的m个特解(m2),则其线性组合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+Amym(t)也是方程 的解,其中A1，A2，Am为任意常数,定理2 n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解,定理3(齐次线性差分方程通解结构定理) 如果y1(t),y2(t),yn(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关的特解,则方程 的通解为： yA(t)A1y1(t)+A2y2(t)+Anyn(t)， 其中A1，A2，An为n个任意(独立)常数,定理4(非齐次线性差分方程通解结构定理) 如果 (t)是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 +an-1(t)yt1+an(t)yt=f(t)的一个特解,yA(t)是其对应的齐次线性方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +an-1yt+1+anyt=0的通解,那么,非齐次线性差分方程的通解为： y(t)=yA(t)+ (t) 即 y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+Anyn(t)+ (t)， 这里A1，A2,An为n个任意(独立)常数,第二节 一阶常系数线性差分方程,一阶常系数线性差分方程的一般形式为 yt+1+ayt=f(t) 和 yt+1+ayt=0, 其中f(t)为t的已知函数,a0为常数.分别称为一阶常系数非齐次线性差分方程和其对应的齐次差分方程.,一、 齐次差分方程的通解,将方程yt+1+ayt=0改写为:yt+1=-ayt, t=0,1,2,假定在初始时刻(即t=0)时,函数yt取任意值A,那么由上式逐次迭代,算得 y1=-ay0=-aA, y2=-ay1=(-a)2A, ,方程的通解为yt =A(-a)t, t=0,1,2,如果给定初始条件t=0时yt=y0,则A=y0,此时特解为： yt =y0(-a)t,二、 非齐次方程的通解与特解,1. 迭代法求通解,将方程改写为 yt+1=(-a)yt+f(t), t=0,1,2,逐步迭代,则有 y1=(-a)y0+f(0), y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1), y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2), ,由数学归纳法,可得 yt=(-a)ty0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+f(t-1) =(-a)ty0+ , (t=0,1,2,)，,yA(t)=(-a)ty0为 对应的齐次方程 的通解.,解,例,方程的通解,2.待定系数法求特解,情形 f(t)为常数,方程变为yt+1+ayt=b, a,b均为非零常数,试以 (为待定常数)形式的特解代入方程得 +a =(1+a) =b,当a-1时,可求得特解,方程的通解为,解,例,情形 f(t)为t的多项式,不妨设f(t)=b0+b1t(t的一次多项式),即 yt+1+ayt=b0+b1t, t=1,2,， 其中a,b0,b1均为常数,且a0,b10,试以特解 =a+bt,(a,b为待定系数)代入方程得 a+b (t+1)+a(a+bt)=b0+b1t，,上式对一切t值均成立,其充分必要条件是：,当1+a0时,即a-1时，,方程的特解为,当a=-1时,改设特解 =(a+bt)t=at+bt2,将其代入方程可求得特解,方程的通解为,解,例,情形 f(t)为指数函数,不妨设f(t)=bdt, b,d均为非零常数,方程变为 yt+1+ayt=bdt, t=0,1,2,求得特解,当a+d0时,设方程有特解 =mdt, m为待定系数.将其代入方程得 mdt+1+amdt=bdt,当a+d=0时,改设方程的特解 =tdt,为待定系数,将其代入方程可求得特解 =btdt,方程的通解为,解,例,情形 f(t)为正弦、余弦型三角函数,设f(t)=b1cost+b2sint,其中b1,b2,均为常数,且 0,b1与b2不同时为零.于是非齐次方程变为 yt+1+ayt=b1cost+b2sint,a0, t=0,1,2,设方程有特解 =acost+bsint,a,b均为待定系数.,将其代入方程得 acos(t+1)+bsin(t+1)+aacost+absint =b1cos t+b2sint,(acos+bsin +aa)cost+(-asin +bcos +ab)sinwt =b1cost+b2sint,(acos+bsin +aa)cost+(-asin +bcos +ab)sinwt =b1cost+b2sint,上式对t=0,1,2,恒成立的充分必要条件是,其系数行列式,当D0时,则可求得其解,当D=(a+cosw)2sin2w=0时,则有,改设特解,代入方程并整理可得,方程的通解为,例 求差分方程yt+1-2yt=cost的通解,解 对应齐次方程的通解为 yA(t)=A2t,设非齐次方程的特解为 =acost+bsint, 其中a, b为待定系数,将其代入原方程,并利用三角函数的和角公式,得,所给方程的通解为,第三节 二阶常系数线性差分方程,二阶常系数线性差分方程的一般形式为 yt+2+a1yt+1+a2yt=f(t)，t=0,1,2,， 其中f(t)为t的已知函数,a1,a2为已知常数,且a20,称为二阶常系数非齐次线性差分方程 特别地,当f(t)0时,方程变为 yt+2+a1yt+1+a2yt=0 称为对应的齐次差分方程,一、 齐次差分方程的通解,称2a1+a2=0为二阶常系数非齐次线性差分方程或其对应的齐次差分方程的特征方程它的解(或根)称为方程的特征根(值),特征方程的两个根为,(1) 特征根为相异的两实根,当0时,1, 2为两相异的实根. y1(t)= 1t与y2(t)=2t是齐次差分方程的两个线性无关的特解.,齐次差分方程的通解,1,2由特征方程确定,A1,A2为两任意(独立)常数,例 求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=0的通解,解 特征方程为2-7+12=( -3)( -4)=0,有两相异实特征根 1=3, 2=4,原方程的通解为,(2) 特征根为两相等的实根,当=0时,=1=2= 为两相等的实根.,方程的一个特解：yt(t)=t,方程的另一个特解为y(t)=tt，且与t线性无关.,方程的通解为,例 求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=0的通解.,解 特征方程为2-4+4=(-2)2=0，,方程有重特征根 = 1= 2=2,原方程的通解为 yA(t)=(A1+A2t)2t, A1,A2为任意常数,(3) 特征根为一对共轭复根,当0时,1, 2为一对共轭复根.,1,2=i=r(cosisin),y1(t)=rtcost, y2(t)=rtsint 是方程的两个线性无关特解.,方程的通解为 yA(t)=rt(A1cos t+A2sin t) 其中 A1，A2为任意常数.,例 求差分方程yt+2-2yt+1+2yt=0的通解,解 特征方程 2-2+2=(-1)21=0,特征根为一对共轭复根 1,2=1i,方程的通解为,二、 非齐次方程的特解与通解,例 求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=6的通解,解 对应的齐次方程的通解为 yA(t)=A13t+A24t，,原方程的通解为 yt=yA(t)+=A13t+A24t+1， 这里A1,A2为任意常数,由于1+a1+a2=1-7+120,设特解 =B,B为待定常数,将其代入原方程,求得B=1.,例 求差分方程yt+2-3yt+1+2yt=4的通解,解 特征方程为2-3+2=(-1)(-2)=0,特征根1=1,2=2.,对应齐次方程的通解为 yA(t)=A1+A22t,因1+a1+a2=1-3+2=0,故应设非齐次方程的特解为 =Bt,B为待定系数,将其代入原方程,求得B=-4,原方程的通解为 yt=yA(t)+ =A1+A22t-4t， 这里A1,A2为任意常数,例 求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=3+2t的通解.,解 对应齐次方程的通解为 yA(t)=(A1+A2t)2t,此式对t=0,1,2,恒成立的充要条件是 B0-2B1=3, B1=2. 由此解得：B0=7，B1=2,设非齐次方程有特解 =B0+B1t,B0,B1为待定系数.将其代入原方程中,得 (B0-2B1)+B1t=3+2t,所求非齐次方程的特解为,原方程的通解为,A1,A2为任意常数,例 求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=5t的通解,解 对应齐次方程的通解为 yA(t)=(A1+A2t)2t,设所给非齐次方程的特特为 =B5t,B为待定系数.,将其代入所给方程,可得 B5t+2-4B5t+1+4B5t=5t,非齐次方程的特解为,所给方程的通解为,其中A1,A2为任意常数,常系数线性齐次差分方程的一般形式为,其中,为差分方程的阶数，其中,为差分方程,的系数，且,对应的特征方程,(1),1 特征根为单根(互不相同的根),设差分方程(1)有,个单特征根(互不相同的根),则该差分方程(1)的通解为,为任意常数，且当给定初始条件,时，可以确定一个特解。,其中,2 特征根为重根,设差分方程(1)有,。则该差分方程(1)的通解为,个根 ，重数分别为,，且,3 特征根为复根,一对共轭复根,和相异的,个单根,。则该差分方程(1)的通解为,其中,，,设差分方程具有形如,的特解.,若,当 时，(*)式左端为 次多项式，要使 (*) 式成立，则要求,故可设差分方程（8）具有形如,的特解.,前面三种情况都是差分方程（8）的特殊情形：,当 时，取 否则，取,第四节差分方程平衡点、稳定性,对于k阶差分方程,F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (1),若有xn = x (n), 满足,F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,则称xn = x (n)是差分方程(1)的解, 包含 个任意常数的解称为(1)的通解, x0, x1, , xk-1为已知时称为(1)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(1)的特解.,若x0, x1, , xk-1已知, 则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现.,若有常数a是差分方程(1)的解, 即,F (n; a, a, , a ) = 0, 则称 a是差分方程(1)的平衡点. 又对差分方程(1)的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有 xna (n), 则称这个平衡点a是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a -1, 0)的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当|a|1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.,二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, b, r为常数.,当r = 0时, 它有一特解 x* = 0； 当r 0, 且a + b + 1 0时, 它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形, x*是其平衡点. 设其特征方程 2 + a + b = 0 的两个根分别为 =1, =2., 当1, 2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; 当1, 2=是两个相同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x* + (C1 + C2 n)n; 当1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知,当且仅当特征方程的任一特征根 |i |1时, 平衡点x*是稳定的.,则,对于一阶非线性差分方程 xn+1 = f (xn ),其平衡点x*由代数方程 x = f (x) 解出. 为分析平衡点x*的稳定性, 将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程,市场经济中的蛛网模型,问 题,供大于求,现 象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,蛛 网 模 型,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,减函数,增函数,f与g的交点P0(x0,y0) 平衡点,一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0,设x1偏离x0,x1,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点,曲线斜率,蛛 网 模 型,在P0点附近用直线近似曲线,P0稳定,P0不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致, 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度, 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量,考察 , 的含义, 消费者对需求的敏感程度, 生产者对价格的敏感程度,小, 有利于经济稳定, 小, 有利于经济稳定,结果解释,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,结果解释,经济不稳定时政府的干预办法,1. 使 尽量小，如 =0,以行政手段控制价格不变,2. 使 尽量小，如 =0,靠经济实力控制数量不变,结果解释,模型的推广,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,x0为平衡点,研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件,方程通解,(c1, c2由初始条件确定),1, 2特征根，即方程 的根,平衡点稳定，即k, xkx0的条件:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,模型的推广,